Презентація на тему "квадратний корінь з добутку". Формули коренів. Властивості коренів. Як множити коріння? Приклади Як витягти корінь з добутку

Прийшов час розібрати способи добування коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яке справедливо для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче ми по черзі розглянемо основні способи добування коренів.

Почнемо з найпростішого випадку - з вилучення коренів з натуральних чисел з використанням таблиці квадратів, таблиці кубів і т.п.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів і т.п. немає під руками, то логічно скористатися способом добування кореня, який має на увазі розкладання подкоренного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на, що можливо для коренів з непарними показниками.

Нарешті, розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів і т.д.

У найпростіших випадках витягувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж являють собою ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) складається з двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому тлі, вона за допомогою вибору певного рядка і певного стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99. Для прикладу виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим ми зафіксували кількість 83. Друга зона займає частину таблиці. Кожна її осередок знаходиться на перетині певного рядка і певного стовпчика, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99. На перетині обраної нами рядки 8 десятків і стовпці 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6 889 яке є квадратом числа 83.

Таблиці кубів, таблиці четверте ступенів чисел від 0 до 99 і так далі аналогічні таблиці квадратів, тільки вони в другій зоні містять куби, четверті ступеня і т.д. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четверте ступенів і т.д. дозволяють витягувати квадратний корінь, кубічні корені, корені четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що знаходяться в цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування при добуванні коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-го ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n -их ступенів. З цієї таблиці знаходимо число b таке, що a \u003d b n. тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як за допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19 683. Знаходимо число 19 683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27, отже, .

Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при добуванні коренів. Однак їх часто не надається під руками, а їх складання вимагає певного часу. Більш того, часто доводиться витягати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів вилучення коренів.

Розкладання подкоренного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести добування кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання подкоренного числа на прості множники. його суть полягає в наступному: Після його досить легко уявити у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. В цьому випадку вірно рівність a \u003d b n. Число b як будь-яке натуральне число можна подати у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1, p 2, ..., pm у вигляді p 1 · p 2 · ... · pm, а підкореневе число a в цьому випадку представляється як (p 1 · p 2 · ... · pm) n. Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання подкоренного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 · p 2 · ... · p m) n, що дає можливість обчислити значення кореня як.

Зауважимо, що якщо розкладання на прості множники подкоренного числа a не може бути представлено у вигляді (p 1 · p 2 · ... · p m) n, то корінь n-го ступеня з такого числа a остачі не виймається.

Розберемося з цим при вирішенні прикладів.

Приклад.

Вийміть квадратний корінь з 144.

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то добре видно, що 144 \u003d 12 2, звідки зрозуміло, що квадратний корінь з 144 дорівнює 12.

Але в світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання подкоренного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб вирішення.

розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. На підставі з отриманим розкладанням можна провести такі перетворення: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2. отже, .

Використовуючи властивості ступеня і властивості коренів, рішення можна було оформити і трохи інакше:.

відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

Приклад.

Розрахуйте значення кореня.

Рішення.

Розклад на прості множники подкоренного числа 243 має вигляд 243 \u003d 3 5. Таким чином, .

відповідь:

Приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкореневе число на прості множники і подивимося, представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 \u003d 2 3 • 3 6 ∙ 7 2. Отримане розкладання не представляється у вигляді куба цілого числа, так як ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь з числа 285 768 не розгорнеться остачі.

відповідь:

Ні.

Витяг коренів з дрібних чисел

Прийшов час розібратися, як витягується корінь з дрібного числа. Нехай дробове підкореневе число записано в вигляді як p / q. Відповідно до властивості кореня з приватного справедливо наступне рівність. З цієї рівності випливає правило добування кореня з дробу: Корінь з дробу дорівнює частці від ділення кореня з чисельника на корінь з знаменника.

Розберемо приклад радикал з дробу.

Приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь з звичайного дробу 25/169.

Рішення.

По таблиці квадратів знаходимо, що квадратний корінь з чисельника вихідної дробу дорівнює 5, а квадратний корінь з знаменника дорівнює 13. тоді . На цьому добування кореня з звичайного дробу 25/169 завершено.

відповідь:

Корінь з десяткового дробу або змішаного числа витягується після заміни підкореневих чисел звичайними дробами.

Приклад.

Вийміть кубічний корінь з десяткового дробу 474,552.

Рішення.

Уявімо вихідну десяткову дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 \u003d 474552/1000. тоді . Залишилося отримати кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманої дробу. Так як 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 і 1 000 \u003d 10 3, то і . Залишилося лише завершити обчислення .

відповідь:

Витяг кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коренів з негативних чисел. При вивченні коренів ми сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може перебувати негативне число. Таким записів ми додали наступний сенс: для негативного числа -a і непарного показника кореня 2 · n-1 справедливо . Це рівність дає правило вилучення коренів непарного степеня з негативних чисел: Щоб витягти корінь з від'ємного числа потрібно витягти корінь з протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідне вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайної дробом: . Застосовуємо правило добування кореня з звичайного дробу: . Залишилося обчислити корені в чисельнику і знаменнику отриманої дробу: .

Наведемо коротку запис рішення: .

відповідь:

Порязрядное знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається представити у вигляді n-го ступеня будь-якого числа. Але при цьому буває необхідність знати значення даного кореня, хоча б з точністю до деякого знака. В цьому випадку для вилучення кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому кроці даного алгоритму потрібно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться до рівня n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевершує підкореневе число. Тоді число, яке ми зводили в ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Для прикладу розглянемо цей крок алгоритму при добуванні квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, ... і зводимо їх в квадрат, поки не отримаємо число, що перевершує 5. Маємо 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, значить, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також більш молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи від найстаршого, а просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня на першому кроці виходить 2, на другому - 2,2, на третьому - 2,23, і так далі 2,236067977 .... Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться за рахунок перебору їх можливих значень 0, 1, 2, ..., 9. При цьому паралельно обчислюються n -і ступеня відповідних чисел, і вони порівнюються з подкоренное числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкореневе число, то значення розряду, відповідне попереднього значення, вважається знайденим, і проводиться перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо ж цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9.

Пояснимо ці моменти все на тому ж прикладі добування квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Будемо перебирати значення 0, 1, 2, ..., 9, обчислюючи відповідно 0 2, 1 2, ..., 9 2 до того моменту, поки не отримаємо значення, більше подкоренного числа 5. Всі ці обчислення зручно представляти у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (так як 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, порівнюючи отримані значення з подкоренное числом 5:

Так як 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5, то значення розряду десятих дорівнює 2. Можна переходити до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо добування кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього будуємо в куб числа 0, 10, 100 і т.д. поки не отримаємо число, що перевершує 2 151,186. Маємо 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Тому що 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, то значення розряду десятків дорівнює 1. Переходимо до одиниць.

Таким чином, значення розряду одиниць дорівнює 2. Переходимо до десятих.

Так як навіть 12,9 3 менше подкоренного числа 2 151,186, то значення розряду десятих дорівнює 9. Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що існує маса інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

√2601 \u003d 51, так як (51) 2 \u003d 2601.

З іншого боку, зауважимо, що число 2601 є твір двох співмножників, з яких корінь витягується легко:

Винесемо квадратний корінь з кожного співмножники і перемножимо ці корені:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

Ми отримали однакові результати і тоді, коли витягували корінь з добутку, що стоїть під коренем, і тоді, коли витягували корінь з кожного співмножники окремо і результати перемножуються.

У багатьох випадках другим способом знайти результат легше, так як доводиться витягувати корінь з менших чисел.

Теорема 1. Щоб витягти квадратний корінь з добутку, можна витягти його з кожного співмножники окремо і результати перемножити.

Доведемо теорему для трьох співмножників, тобто доведемо справедливість рівності:

Доказ проведемо безпосередньо перевіркою, на підставі визначення арифметичного кореня.

Припустимо, що нам треба довести рівність:

√A \u003d B

(A і B - невід'ємні числа). За визначенням квадратного кореня, це означає, що

B 2 \u003d A.

Тому досить піднести до квадрата праву частину доказуваного рівності і переконатися, що вийде подкоренное вираз лівій частині.

Застосуємо це міркування до доказу рівності (1). Зведемо в квадрат праву частину; але в правій частині знаходиться твір, а щоб звести в квадрат твір, досить піднести до квадрата кожен співмножник і результати перемножити (див. § 40):

(√a √b √c) 2 \u003d (√a) 2 (√b) 2 (√c) 2 \u003d abc.

Вийшло підкореневе вираз, що стоїть в лівій частині. Значить, рівність (1) вірно.

Ми довели теорему для трьох співмножників. Але міркування залишаться тими ж, якщо під коренем буде 4 і т. Д. Сомножителей. Теорема вірна для будь-якого числа співмножників.

Приклад.

Результат легко знайдений усно.

2. Корінь з дробу.

Доведемо теорему.

Теорема 2. Щоб витягти корінь з дробу, можна витягти корінь окремо з чисельника і знаменника і перший результат розділити на другий.

Потрібно довести справедливість рівності:

Для доказу застосуємо спосіб, яким була доведена попередня теорема.

Зведемо праву частину в квадрат. Будемо мати:

Отримали підкореневе вираз, що стоїть в лівій частині. Значить, рівність (2) вірно.

Отже, ми довели наступні тотожності:

і сформулювали відповідні правила вилучення квадратного кореня з добутку і частки. Іноді при виконанні перетворень доводиться застосовувати ці тотожності, читаючи їх «справа наліво».

Поставивши ліву і праву частини, перепишемо доведені тотожності наступним чином:

Щоб перемножити коріння, можна перемножити подкоренное вираження і з твору витягти корінь.

Щоб розділити коріння, можна розділити подкоренное вираження і з приватного витягти корінь.

3. Корінь зі ступеня.

В обох прикладах ми в результаті отримували підставу подкоренного вираження в ступені, що дорівнює частці від ділення показника ступеня на 2.

Доведемо це положення в загальному вигляді.

Теорема 3. Якщо m - парне число, то

Коротко говорять так: щоб витягти квадратний корінь з ступеня, досить розділити на 2 показник ступеня (Не змінюючи підстави).

Для доказу застосуємо той спосіб перевірки, яким були доведені теореми 1 і 2.

Так як m - парне число (за умовою), то - ціле число. Зведемо в квадрат праву частину рівності (3), для чого (див. § 40) помножимо на 2 показник ступеня, не змінюючи підстави

Отримали підкореневе вираз, що стоїть в лівій частині. Значить, рівність (3) вірно.

Приклад. Обчислити.
На обчислення 76 довелося б витратити чимало часу і працю. Теорема 3 дозволяє знайти результат усно.

слайд 2

Мета уроку:

Повторити визначення арифметичного квадратного кореня. Ввести і довести теорему про квадратному корені з твору. Навчитися знаходити. Перевірити знання і вміння з допомогою самостійної роботи.

слайд 3

Квадратний корінь з добутку

План уроку: Актуалізація знань. Вивчення нового матеріалу. Закріплення формули на прикладах. Самостійна робота. Підведення підсумків. Завдання додому.

слайд 4

Привіт, хлопці!

Повторимо: 2. Що називається арифметичним квадратним коренем з числа 3. При якому значенні вираз має сенс? 1. Як називається вираз

слайд 5

Знайдіть:

1) 2) 3) 7 або або 7

слайд 6

Сьогодні ми познайомимося з одним з властивостей арифметичного квадратного кореня. Введемо і доведемо теорему про квадратному корені з твору, розглянемо приклади її застосування. Потім Вам будуть запропоновані завдання для самоперевірки. Бажаю удачі!

слайд 7

спробуємо вирішити

Розглянемо арифметичний корінь Знайдіть значення виразу: Значить, Отже, корінь з добутку двох чисел дорівнює добутку коренів з цих чисел.

слайд 8

Корінь з добутку невід'ємних множників дорівнює добутку коренів з цих множників. Якщо то Теорема

слайд 9

Квадратний корінь з добутку

Доказ: значить, - мають сенс. 4. Висновок: (тому що твір двох невід'ємних чисел неотрицательно) 5. Отже,

слайд 10

Ми розглянули доказ теореми про видаляння квадратного кореня з добутку. Перейдемо до практичної роботи. Зараз я вам покажу як застосовується ця формула при вирішенні прикладів. Вирішуйте разом зі мною.

слайд 11

Розрахуйте значення квадратного кореня, використовуючи теорему про корінь з добутку: Вирішуємо приклади:

слайд 12

Вирішуємо приклади:

2. Знайдіть значення виразу:

слайд 13

Швидкий рахунок

А я здогадався, як можна використовувати цю формулу для швидких обчислень. Дивись і вчись.

слайд 14

Варіант 1 Варіант 2 Пропоную вам приклади для самостійного рішення.

До появи калькуляторів студенти і викладачі обчислювали квадратні коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують тільки приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

кроки

Розклад на прості множники

Розкладіть підкореневе число на множники, які є квадратними числами. Залежно від подкоренного числа, ви отримаєте приблизний або точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники - числа, які при перемножуванні дають вихідне число. Наприклад, множителями числа 8 є 2 і 4, так як 2 х 4 \u003d 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, так як √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7. Квадратні множники - це множники , які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкореневе число на квадратні множники.

Наприклад, обчисліть квадратний корінь з 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 кратно 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 також є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 і 16, тобто 25 х 16 \u003d 400.
Записати це можна наступним чином: √400 \u003d √ (25 х 16).

Квадратні корінь з добутку деяких членів дорівнює добутку квадратних коренів з кожного члена, тобто √ (а х b) \u003d √a x √b. Скористайтеся цим правилом і витягніть квадратний корінь з кожного квадратного множника і перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.
- У нашому прикладі витягніть корінь з 25 і з 16.
  - √ (25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 \u003d 20
Якщо подкоренное число не розкладається на два квадратних множника (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши подкоренное число на квадратний множник і звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви отримаєте квадратний корінь з квадратного множника і будете отримувати корінь із звичайної множника.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь з числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратних множника, але його можна розкласти на такі множники: 49 і 3. Вирішіть задачу в такий спосіб:
  - \u003d √ (49 х 3)
  - \u003d √49 х √3
  - = 7√3
Якщо потрібно, оцініть значення кореня. Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до подкоренного числу. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, яку необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.
- Повернемося до нашого прикладу. Підкореневе число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 \u003d 1) і 4 (√4 \u003d 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Та як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 \u003d 1,7. Множимо це значення на число у знака кореня: 7 х 1,7 \u003d 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашого відповіді.
  - Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкореневе число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (√25 \u003d 5) і 36 (√36 \u003d 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.
Ще один спосіб - розкладіть підкореневе число на прості множники . Прості множники - числа, які діляться тільки на 1 і самих себе. Запишіть прості множники в ряд і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь з 45. Розкладаємо підкореневе число на прості множники: 45 \u003d 9 х 5, а 9 \u003d 3 х 3. Таким чином, √45 \u003d √ (3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 \u003d 3√5. Тепер можна оцінити √5.
- Розглянемо ще один приклад: √88.
  - \u003d √ (2 х 44)
  - \u003d √ (2 х 4 х 11)
  - \u003d √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множника 2; візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
  - \u003d 2√ (2 х 11) \u003d 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 і √11 і знайти приблизний відповідь.
Обчислення квадратного кореня вручну

За допомогою ділення в стовпчик
1. Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь. Спочатку проведіть вертикальну лінію, яка ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю аркуша до вертикальної лінії прірісуйте горизонтальну лінію. Тепер розділіть підкореневе число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число +79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Для прикладу обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть дане число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша зліва цифра є непарною цифрою. Відповідь (корінь з даного числа) будете записувати справа зверху.
2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менше або дорівнює даної парі чисел (або одного числа). Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва парі чисел (або одного числа), але менше її, і витягніть квадратний корінь з цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху справа, а квадрат n запишіть знизу праворуч.
  - У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Відніміть квадрат числа n, яке ви тільки що знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа). Результат обчислення запишіть під від'ємником (квадратом числа n).
  - У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримаєте 3.
4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого в попередньому кроці. Потім подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_ × _ \u003d".
  - У нашому прикладі другою парою чисел є "80". Запишіть "80" після 3. Потім, подвоєне число зверху справа дає 4. Запишіть "4_ × _ \u003d" знизу праворуч.
5. Заповніть прочерки справа.
  - У нашому випадку, якщо замість прокреслень поставити число 8, то 48 х 8 \u003d 384, що більше 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прокреслень і отримаєте: 47 х 7 \u003d 329. Запишіть 7 зверху справа - це друга цифра в шуканому квадратному корені числа 780,14.
6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва. Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю і запишіть її під від'ємником.
  - У нашому прикладі, відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.
7. Повторіть крок 4. Якщо зноситься парою чисел є дрібна частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілої та дробової частин в шуканому квадратному корені зверху справа. Зліва знесіть вниз наступну пару чисел. Подвійте число зверху справа і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_ × _ \u003d".
  - У нашому прикладі наступної зноситься парою чисел буде дрібна частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої та дробової частин в шуканому квадратному корені зверху справа. Знесіть 14 і запишіть знизу зліва. Подвоєним числом зверху справа (27) буде 54, тому напишіть "54_ × _ \u003d" знизу праворуч.
8. Повторіть кроки 5 і 6. Знайдіть таке найбільше число на місце прокреслень справа (замість прокреслень потрібно підставити одне і теж число), щоб результат множення був менше або дорівнює поточному числу зліва.
  - У нашому прикладі 549 х 9 \u003d 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху справа і відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 \u003d 173.
9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, до тих пір поки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).
розуміння процесу
1. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa \u003d 7 в нашому прикладі) і знайдемо її квадратний корінь. В цьому випадку першою цифрою A шуканого значення квадратного кореня буде така цифра, квадрат якої менше або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Припустимо, що потрібно розділити 88962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або рівне 8. Тобто шукаємо таке число d, при якому вірно нерівність: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

РІВЕНЬ З РАЦІОНАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ,

Статечної функції IV

§ 79. Витяг коренів з добутку і частки

Теорема 1. корінь п -го ступеня з добутку позитивних чисел дорівнює добутку коренів п -го ступеня з співмножників, тобто при а > 0, b \u003e 0 і натуральному п

n √ab = n √a n √b . (1)

Доведення. Нагадаємо, що корінь п -го ступеня з позитивного числа ab є таке позитивне число, п -я ступінь якого дорівнює ab . Тому довести рівність (1) - це все одно, що довести рівність

(n √a n √b ) n = ab .

По властивості ступеня твори

(n √a n √b ) n = (n √a ) n (n √b ) n =.

Але за визначенням кореня п -го ступеня ( n √a ) n = а , (n √b ) n = b .

Тому ( n √a n √b ) n = ab . Теорема доведена.

вимога а > 0, b \u003e 0 істотно лише для парного п , Оскільки при негативних а і b і парному п коріння n √a і n √b не визначені. Якщо ж п непарній, то формула (1) справедлива для будь-яких а і b (Як позитивних, так і негативних).

Приклади: √16 121 \u003d √16 √121 \u003d 4 11 \u003d 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Формулу (1) корисно використовувати при обчисленні коренів, коли подкоренное вираз представляється у вигляді добутку точних квадратом. наприклад,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Теорему 1 ми довели для випадку, коли під знаком радикала в лівій частині формули (1) стоїть твір двох позитивних чисел. Насправді ж ця теорема вірна для будь-якого числа позитивних сомножителей, тобто при будь-якому натуральному k > 2:

Слідство. Читаючи це тотожність справа наліво, ми отримуємо наступне правило множення коренів з одінаковимі.показателямі;

Щоб перемножити коріння з однаковими показниками, досить перемножити подкоренное вираження, залишивши показник кореня колишнім.

Наприклад, √3 √8 √6 \u003d √3 8 6 \u003d √144 \u003d 12.

Теорема 2. корінь п-го ступеня з дробу, чисельник і знаменник якого - позитивні числа, дорівнює частці від ділення кореня тій же мірі з чисельника на корінь тій же мірі з знаменника, Тобто при а \u003e 0 і b > 0

(2)