Примери за математически понятия и структура на дефинициите. Методи за изучаване на математически понятия. Записи на формата: наречени обикновени дроби

теза

1.1 Математически понятия, тяхното съдържание и обхват, класификация на понятията

Понятието е форма на мислене за интегрален набор от съществени и несъществени свойства на даден обект.

Математическите понятия имат свои собствени характеристики: те често произтичат от нуждите на науката и нямат аналози в реалния свят; те имат висока степен на абстракция. По силата на това е желателно да се покаже на студентите появата на изучаваната концепция (или от необходимостта от практика, или от необходимостта от наука).

Всяка концепция се характеризира с обем и съдържание. Съдържание- много съществени характеристики на концепцията. Сила на звука- набор от обекти, за които е приложима тази концепция. Помислете за връзката между обхвата и съдържанието на понятието. Ако съдържанието отговаря на реалността и не включва противоречиви знаци, тогава обемът не е празен набор, което е важно да се покаже на учениците при въвеждане на концепция. Съдържанието изцяло определя обема и обратно. Това означава, че промяната в едната води до промяна в другата: ако съдържанието се увеличава, тогава обемът намалява.

o трябва да се извършва на една основа;

o класовете не трябва да се припокриват;

o обединение на всички класове трябва да даде целия набор;

o класификацията трябва да бъде непрекъсната (класовете трябва да са най-близките видови понятия във връзка с концепцията, която подлежи на класификация).

Разграничават се следните видове класификация:

1. На модифицирана основа. Обектите, които трябва да бъдат класифицирани, могат да имат няколко характеристики, така че могат да бъдат класифицирани по различни начини.

Пример. Понятието "триъгълник".

2. Дихотомични. Разделянето на обхвата на понятието на две видови понятия, едната от които има тази характеристика, а другата няма.

Нека да подчертаем целите на преподаването на класификация:

1) развитие на логическото мислене;

2) чрез изучаване на видовите разлики, ние формираме по-ясна представа за родовата концепция.

И двата вида класификация се използват в училището. Като правило, първо е дихотомично, а след това според модифициран характер.

Гражданско образование в предучилищна възраст

За първи път думата "патриот" се появява по време на Френската революция от 1789 - 1793 година. По това време борци за народната кауза, защитници на републиката, за разлика от предатели, предатели на родината от монархисткия лагер, се наричаха патриоти ...

Разделяне на понятията

За да се използват смислено понятията, за да се използват правилно при решаването на теоретични и практически проблеми, е необходимо да можете да идентифицирате две основни логически характеристики: обхват и съдържание на понятието ...

Разделяне на понятията

Класификация - разпределението на обектите в групи (класове), в които всеки клас има свое постоянно място. Класификацията е вид разделяне на понятието ...

Изследване на ефективността от използването на домашните в процеса на физическо възпитание

Независимата дейност се разбира като съвкупност от действия, обединени от обща цел и изпълняващи определена социална функция (В. Н. Шаулин, 1986). В нашия случай имаме работа с физическа активност, тоест активност ...

Интердисциплинарни връзки в обучението

Интердисциплинарните връзки могат да помогнат на учениците да разберат света около тях, неговите свойства, основните явления и процеси, протичащи в него и законите, на които се подчиняват. По този начин...

Методи и техники на преподаване на чужд език в старши етап

Напоследък привличането на местни и чуждестранни изследователи, като А.А. Щукин, И.П. Podlasy, M.A. Данилов, И.П. Пидкасисти, И. Я. Lerner et al.

Организиране на студентски проектни дейности чрез телекомуникации

За първи път използва думата „проект“ през 1908 г. от началника на образователния отдел на земеделските училища Д. Снезден в земеделското образование. Предложените проекти за свързване на училищната работа с нуждите на селскостопанското производство ...

Особености на логопедичната работа за преодоляване на аграматичната дисграфия при ученици от средното училище

За първи път А. Кусмаул посочва нарушенията на четенето и писането като самостоятелна патология на речевата дейност през 1877 г. Тогава се появяват много произведения, в които са дадени описания на деца с различни нарушения на четенето и писането ...

Особености на формирането на математически понятия в 5-6 клас

Да дефинираш обект - да избереш от неговите съществени свойства такива и толкова много, че всяко от тях е необходимо и всички заедно са достатъчни, за да различиш този обект от другите. Резултатът от това действие се записва в дефиницията ...

В съвременните педагогически изследвания, свързани с проблемите за подобряване на функционирането на педагогическите системи, повишаване на ефективността на образователния процес, един от аспектите от най-голям интерес ...

Психолого-педагогически аспекти на решаването на проблемите на междуличностните отношения на подрастващите

Всяка възраст е добра по свой начин. И в същото време всяка възраст има свои характеристики и трудности. Юношеството не е изключение. Юношеството е определен сегмент от живота между детството и зрелостта ...

Работа с даровити деца

28. Триъгълник - петоъгълни геометрични фигури Двойките на понятията могат да се произнасят на глас, или могат да бъдат представени под формата на картички или отпечатани на отделен лист. Децата могат да отговарят устно или писмено. Задача 4 ...

Съвременни проблеми на отглеждането на деца в семейство и начини за тяхното решаване

В Малкия енциклопедичен речник понятието семейство се тълкува като „малка група, основана на брак или кръвно родство, чиито членове са свързани от общ живот, взаимопомощ, морална и юридическа отговорност“. М. И. Демков отбелязва ...

Формиране на познавателни универсални образователни действия, основани на индивидуализация и диференциация на обучението по химия в основното средно училище

Както всяка социална институция, общообразователното училище подлежи на постоянна модернизация. В момента социално-политическото търсене на общообразователно училище е такава конструкция на учебния процес ...

Експериментално изследване на чувството за гражданство при деца в предучилищна възраст

Учителят, който започва да се занимава с проблема за формирането на гражданската компетентност, на първо място се нуждае от познания по терминология, ключови понятия за гражданско и патриотично възпитание ...

Лекция номер 2

математика

Тема: "Математически понятия"

Математически понятия

Определение на понятията

Изисквания за дефиниция

Някои видове дефиниции

1. Математически понятия

Понятията, които се изучават в началния курс на математиката, обикновено се представят под формата на четири групи. Първият включва понятия, свързани с числата и операции върху тях: число, събиране, сумиране, по-голямо и др. Вторият включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнение и др. и т.н. и т.н. Четвъртата група се състои от понятия, свързани с величините и тяхното измерване.

Как може да се изучи такова изобилие от много различни понятия?

На първо място, човек трябва да има представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.

В логиката понятията се разглеждат като форма на мисъл, отразяваща обекти (предмети или явления) в техните съществени и общи свойства. Езиковата форма на понятието е дума или група думи.

Съставянето на концепция за обект означава да можете да го различавате от други обекти, подобни на него. Математическите понятия имат редица особености. Основната е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формира понятие, в действителност не съществуват. Математическите обекти се създават от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални предмети или явления. Например в геометрията се изучава формата и големината на обектите, без да се вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и т.н. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Следователно в геометрията вместо думата „обект“ се казва „геометрична фигура“.

Резултатът от абстракцията са също такива математически понятия като "число" и "величина".

Като цяло математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които формират математическия език.

Към казаното може да се добави, че докато изучава пространствените форми и количествените отношения на материалния свят, математиката не само използва различни методи за абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятията, появили се при изучаването на реални обекти, но и понятията, възникнали въз основа на първите. Например общото понятие за функция като съответствие е обобщение на понятията за конкретни функции, т.е. абстракция от абстракции.

За да овладее общите подходи за изучаване на понятията в началния курс на математиката, учителят се нуждае от знания за обема и съдържанието на понятието, за връзката между понятията и за видовете определения на понятията.

2. Обхватът и съдържанието на понятието. Връзки между понятията

Всеки математически обект има определени свойства. Например, квадрат има четири страни, четири прави ъгли, равни на диагонала. Можете да посочите и други свойства.

Сред свойствата на даден обект се разграничават съществени и незначителни. Свойството се счита за съществено за даден обект, ако е присъщо на този обект и без него не може да съществува. Например, всички свойства, споменати по-горе, са от съществено значение за квадрат. Свойството "страната AD е хоризонтална" е без значение за квадрата ABCD. Ако обърнете квадрата, страната AD ще бъде разположена по различен начин (фиг. 26).

Следователно, за да се разбере какво е даден математически обект, човек трябва да знае неговите съществени свойства.

Когато говорят за математическа концепция, те обикновено означават набор от обекти, обозначени с един термин (дума или група думи). И така, говорейки за квадрат, те означават всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че множеството от всички квадрати е обхватът на понятието "квадрат".

В общи линии обхватът на понятието е съвкупността от всички обекти, обозначени с един термин.

Всяка концепция има не само обем, но и съдържание.

Помислете например за понятието "правоъгълник".

Обхватът на понятието е набор от различни правоъгълници и съдържанието му включва такива свойства на правоъгълници като „имат четири прави ъгли“, „имат равни противоположни страни“, „имат равни диагонали“ и т.н.

Съществува връзка между обема на понятието и неговото съдържание: ако обемът на понятието се увеличи, тогава съдържанието му намалява и обратно. Така например, обхватът на понятието "квадрат" е част от обхвата на понятието "правоъгълник", а съдържанието на понятието "квадрат" съдържа повече свойства, отколкото съдържанието на понятието "правоъгълник" ("всички страни са равни", "диагоналите са взаимно перпендикулярни" и т.н.).

Всяко понятие не може да се научи, без да се осъзнае връзката му с други понятия. Следователно е важно да се знае в какви взаимоотношения могат да бъдат понятията и да може да се установят тези връзки.

Връзката между понятията е тясно свързана с връзката между техните обеми, т.е. комплекти.

Нека се съгласим да обозначаваме понятията с малки букви на латинската азбука: a, b, c, ..., z.

Нека бъдат дадени две понятия a и b. Обемите им ще бъдат обозначени с A и B.

Ако B (A ≠ B), тогава те казват, че концепцията а - специфично по отношение на концепциятаб, и концепцията б - родово във връзка с понятието a.

Например, ако a е "правоъгълник", b е "четириъгълник", тогава обемите им A и B са във връзка с включването (A B и A ≠ B), тъй като всеки правоъгълник е четириъгълник. Следователно може да се твърди, че понятието "правоъгълник" е специфично по отношение на понятието "четириъгълник", а понятието "четириъгълник" е родово по отношение на понятието "правоъгълник".

Ако A \u003d B, тогава те казват това понятия а иб са идентични.

Например понятията "равностранен триъгълник" и "равностранен триъгълник" са идентични, тъй като обемите им съвпадат.

Ако множествата A и B не са свързани по отношение на включването, те казват, че понятията a и b не са във връзка с рода и видовете и не са идентични. Например понятията "триъгълник" и "правоъгълник" не са свързани от такива отношения.

Нека разгледаме по-подробно връзката между рода и видовете между понятията. Първо, понятията за род и вид са относителни: едно и също понятие може да бъде родово по отношение на едно понятие и специфично по отношение на друго. Например, понятието "правоъгълник" е родово по отношение на понятието "квадрат" и специфично по отношение на понятието "четириъгълник".

На второ място, няколко родови понятия често могат да бъдат посочени за дадена концепция. И така, за понятието "правоъгълник" общи са понятията "четириъгълник", "паралелограм", "многоъгълник". Сред тях можете да посочите най-близкия. За понятието "правоъгълник" най-близко е понятието "паралелограм".

На трето място, определена концепция притежава всички свойства на родова концепция. Например квадратът, като специфично понятие по отношение на понятието "правоъгълник", притежава всички свойства, присъщи на правоъгълника.

Тъй като обхватът на понятието е набор, е удобно, когато се установяват връзки между обхвата на понятията, да се изобразяват с помощта на кръгове на Ойлер.

Нека установим например връзката между следните двойки понятия a и b, ако:

1) a - "правоъгълник", b - "ромб";

2) a - "многоъгълник", b - "паралелограм";

3) a - "линия", b - "сегмент".

В случай 1) обемите на концепциите се пресичат, но нито един набор не е подмножество на друг (фиг. 27).

Следователно може да се твърди, че тези понятия a и b не са във връзка с рода и видовете.

В случай 2) обемите от данни на концепцията са във връзка с включването, но не съвпадат - всеки паралелограм е многоъгълник, но не и обратно (фиг. 28). Следователно може да се твърди, че понятието "паралелограм" е специфично по отношение на понятието "многоъгълник", а понятието "полигон" е родово по отношение на понятието "паралелограм".

В случай 3) обемите на понятията не се пресичат, тъй като за нито един сегмент не може да се каже, че е права линия и нито една права линия не може да се нарече сегмент (фиг. 29).

Следователно тези понятия не са във връзка с рода и видовете.

За понятията "линия" и "сегмент" можем да кажем, че те са във връзка с цялото и частта: сегментът е част от права линия, а не нейния вид. И ако конкретна концепция притежава всички свойства на родова концепция, тогава една част не е задължително да притежава всички свойства на цялото. Например сегментът няма същото свойство на права линия като своята безкрайност.

Сред уменията, на които преподава математиката и които всички трябва да научите, е способността класифицират концепции.

Факт е, че математиката, подобно на много други науки, изучава не отделни обекти или явления, а масивна... И така, когато изучавате триъгълници, изучавате свойствата на всякакви триъгълници и има безкраен брой от тях. Като цяло обхватът на всяка математическа концепция по правило е безкраен.

За да се разграничат обектите на математически понятия, за да се изследват техните свойства, тези понятия обикновено се разделят на видове, класове. В действителност, в допълнение към общите свойства, всяка математическа концепция има много по-важни свойства, които не са присъщи на всички обекти на тази концепция, а само на обекти от някакъв вид. Така че правоъгълните триъгълници, в допълнение към общите свойства на всеки триъгълник, имат много свойства, които са много важни за практиката, например теоремата на Питагор, съотношения между ъгли и страни и др.

В процеса на вековно изучаване на математически понятия, в процеса на многобройните им приложения в живота, в други науки, от техния обем, някои специални видове бяха разграничени от техния обем, притежаващи най-интересните свойства, които най-често се срещат и се прилага на практика. И така, има безкрайно много различни четириъгълници, но на практика в технологията най-често се използват само определени видове от тях: квадрати, правоъгълници, паралелограми, ромбове, трапеции.

Разделянето на обема на понятието на части е класификацията на това понятие. По-точно класификацията се разбира като разпределение на обекти от всяка концепция във взаимосвързани класове (типове, типове) според най-съществените признаци (свойства). Извиква се атрибутът (свойството), чрез който се прави класификацията (разделянето) на понятието на типове (класове) основа класификация.

Правилно изградената класификация на понятието отразява най-съществените свойства и връзки между обектите на дадена концепция, помага за по-доброто ориентиране в набора от тези обекти, прави възможно установяването на такива свойства на тези обекти, които са най-важни за прилагането на тази концепция в други науки и ежедневна практика.

Класификацията на понятието се прави на едно или повече от най-значимите основания.

И така, триъгълниците могат да бъдат класифицирани според ъглите. Получаваме следните видове: остър ъгъл (всички ъгли са остри), правоъгълни (единият ъгъл е прав, останалите са остри), тъп ъглови (единият ъгъл е тъп, останалите са остри). Ако вземем връзката между страните като основа за разделяне на триъгълниците, тогава ще получим следните типове: универсален, равнобедрен и правилен (равностранен).

По-трудно е, когато трябва да класифицирате понятие на няколко основания. И така, ако изпъкналите четириъгълници са класифицирани според успоредността на страните, тогава по същество трябва да разделим всички изпъкнали четириъгълници едновременно според два критерия: 1) една двойка противоположни страни е успоредна или не; 2) втората двойка противоположни страни е успоредна или не. В резултат на това получаваме три вида изпъкнали четириъгълници: 1) четириъгълници с непаралелни страни; 2) четириъгълници с една двойка успоредни страни - трапеци; 3) четириъгълници с две двойки успоредни страни - успоредници.

Доста често понятието се класифицира на етапи: първо на една основа, след това някои видове се разделят на подвидове на различна основа и т.н. Пример е класификацията на четириъгълниците. На първия етап те се разделят според изпъкналостта. Тогава изпъкналите четириъгълници се разделят според паралелизма на противоположните страни. На свой ред паралелограмите се разделят според наличието на прави ъгли и т.н.

При извършване на класификация трябва да се спазват определени правила. Нека посочим основните.

1. Като основа за класификация може да се вземе само обща характеристика на всички обекти от дадена концепция. Така например, невъзможно е да се вземе знакът за подреждането на термините по степени на някаква променлива като основа за класифицирането на алгебрични изрази. Тази характеристика не е обща за всички алгебрични изрази, например, няма смисъл за дробни изрази или мономи. Само полиномите имат тази характеристика, така че полиномите могат да бъдат класифицирани според най-високата степен на главната променлива.
2. В основата на класификацията трябва да се вземат основните свойства (атрибути) на понятията. Помислете отново за концепцията за алгебричен израз. Едно от свойствата на тази концепция е, че променливите, включени в алгебричен израз, се означават с някои букви. Това свойство е общо, но не е съществено, тъй като характерът на израза не зависи от това коя буква е посочена тази или онази променлива. По този начин, алгебрични изрази x + y и a + b е по същество един и същ израз. Следователно не трябва да класифицирате изрази въз основа на обозначаването на променливи с букви. Друг е въпросът, ако вземем за основа на класификацията на алгебричните изрази атрибута на типа действия, чрез които променливите са свързани, тоест действия, които се извършват върху променливите. Тази обща характеристика е много важна и класификацията въз основа на тази характеристика ще бъде правилна и полезна.
3. На всеки етап от класификацията може да се приложи само един вид основа.Не можете едновременно да класифицирате понятие на две различни основания. Например невъзможно е да се класифицират едновременно триъгълници както по размер, така и по отношение на страните, тъй като в резултат на това получаваме класове триъгълници, които имат общи елементи (например остроъгълен и равнобедрен или тъп и равнобедрен и т.н. .). Тук е нарушено следното изискване за класификация: в резултат на класификацията на всеки етап, получените класове (типове) не трябва да се пресичат.
4. В същото време класификацията по някаква причина трябва да бъде изчерпателна и всеки обект на концепцията трябва да попадне в резултат на класификацията в един и един клас.

Следователно разделянето на всички цели числа на положителни и отрицателни е неправилно, тъй като цяло числото нула не попада в нито един от класовете. Трябва да кажем това: целите числа се разделят на три класа - положителни, отрицателни и числото нула.

Често при класифицирането на понятията ясно се разграничават само някои класове, а останалите се подразбират. Така например, при изучаването на алгебрични изрази, обикновено се разграничават само такива видове от тях: мономи, полиноми, дробни изрази, ирационални. Но тези типове не изчерпват всички видове алгебрични изрази, следователно такава класификация е непълна.

Пълната правилна класификация на алгебричните изрази може да се направи, както следва.

На първия етап от класификацията на алгебричните изрази те се разделят на два класа: рационални и ирационални. На втория етап рационалните изрази се разделят на цели и дробни. В третата стъпка цели изрази се разделят на мономи, полиноми и сложни цели изрази.

Тази класификация може да бъде представена по следния начин

Задание 7

7.1. Защо рационалните числа не могат да бъдат класифицирани според тяхната равномерност?

7.2. Установете дали разделението на концепцията е правилно:

а) Стойностите могат да бъдат равни или неравни.

б) Функциите се увеличават и намаляват.

в) Равнобедрените триъгълници могат да бъдат остроъгълни, правоъгълни и тъпоъгълни.

г) Правоъгълниците са квадрати и ромбове.

7.3. Разделете понятието "геометрична фигура" по нейното свойство да заема част от равнината и дайте примери за всеки тип.

7.4. Изградете възможни схеми за класификация за рационални числа.

7.5. Изградете схема за класификация за следните понятия:

а) четириъгълник;

б) два ъгъла.

7.6. Класифицирайте следните понятия:

а) триъгълник и окръжност;

б) ъгли в кръг;

в) два кръга;

г) права линия и окръжност;

д) квадратни уравнения;

е) система от две уравнения от първа степен с две неизвестни.

Лекция 7. Математически понятия

1. Групи от понятия, изучавани в началния курс на математиката. Особености на математическите понятия.

2. Обхватът и съдържанието на понятието.

3. Връзки между понятията.

4. Операции с понятия: обобщение, ограничение, дефиниция и разделяне на понятията.

5. Правилата, необходими за формулирането на дефиницията на понятията чрез разликата между родовете и видовете.

6. Контекстуални и показателни определения. Описание, сравнение.

Групи от понятия, изучавани в началния курс на математиката. Особености на математическите понятия.

Понятията, които се изучават в началния курс по математика, обикновено се представят под формата на четири групи. Първият включва понятия, свързани с числата и операции върху тях: число, събиране, сбирка, още и др. Секундата включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнение и др. Третият съставят геометрични понятия: права линия, отсечка, триъгълник и др. Четвърто групата се състои от понятия, свързани с величините и тяхното измерване.

Как може да се изучи такова изобилие от много различни понятия?

На първо място, човек трябва да има представа за понятието като логическа категория и характеристиките на математическите понятия.

В логиката на концепцията обмислят като форма на мисълта, отразяващи обекти (обекти или явления) в техните съществени и общи свойства... Езиковата форма на понятието е дума или група думи.

Направете концепция за обекта - това означава да можете да го различавате от други обекти, подобни на него.

Математическите понятия имат редица характеристики... Основната е, че математическите обекти, за които е необходимо да се формира понятие, в действителност не съществуват. Математическите обекти се създават от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални предмети или явления. Например в геометрията се изучава формата и големината на обектите, без да се вземат предвид другите им свойства: цвят, маса, твърдост и т.н. Те са разсеяни от всичко това, абстрахирани. Следователно в геометрията вместо думата „обект“ се казва „геометрична фигура“.

Резултатът от абстракцията са също такива математически понятия като "число" и "величина".

Изобщо математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които формират математическия език.

Към казаното можем да добавим, изучаване на пространствени форми и количествени взаимоотношения материалния свят, математиката не само използва различни техники на абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятията, появили се при изучаването на реални обекти, но и понятията, възникнали въз основа на първите. Например общото понятие за функция като съответствие е обобщение на понятията за конкретни функции, т.е. абстракция от абстракции.

За да овладее общите подходи за изучаване на понятията в началния курс на математиката, учителят се нуждае от знания за обема и съдържанието на понятието, за връзката между понятията и за видовете определения на понятията.

2. Обхват и съдържание на концепцията

Всеки математически обект има определени свойства. Например, квадрат има четири страни, четири прави ъгли, равни на диагонала. Можете да посочите и други свойства.

Между обектни свойства разграничавам от съществено значение и неуместен.

Брой имоти от съществено значениеза обект, ако е присъщ на този обект и без него не може да съществува. Например всички свойства, споменати по-горе, са от съществено значение за квадрат. Свойството "страната AD е хоризонтална" е без значение за квадрата ABCD. Ако обърнете квадрата, страната AD ще бъде разположена по различен начин (фиг. 26). Следователно, за да се разбере какво е даден математически обект, човек трябва да знае неговите съществени свойства.

Когато говорят за математическа концепция, те обикновено означават набор от обекти, обозначени с един термин (дума или група думи). И така, говорейки за квадрат, те означават всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че множеството от всички квадрати е обхватът на понятието "квадрат".

Всяка концепция се характеризира с дума, обем и съдържание.

Обхват на концепцията и е набор от всички обекти, които могат да бъдат извикани от дадена дума (термин)

Пример. Нека да подчертаем обема и съдържанието на понятието „правоъгълник“.

Обхват на концепцията е набор от различни правоъгълници и в него съдържание включва такива свойства на правоъгълници като "имат четири прави ъгли", "имат равни противоположни страни", "имат равни диагонали" и т.н.

Съществува връзка между обхвата на понятието и неговото съдържание.: ако обемът на дадена концепция се увеличи, тогава нейното съдържание намалява и обратно. Така например, обхватът на понятието "квадрат" е част от обхвата на понятието "правоъгълник", а съдържанието на понятието "квадрат" съдържа повече свойства, отколкото съдържанието на понятието "правоъгълник" ("всички страни са равни", "диагоналите са взаимно перпендикулярни" и т.н.).

Всяко понятие не може да се научи, без да се осъзнае връзката му с други понятия. Ето защо е важно да се знае в какви взаимоотношения могат да бъдат понятията и да може да се установят тези връзки.

Лекция 5. Математически понятия

1. Обхватът и съдържанието на понятието. Връзки между понятията

2. Определение на понятията. Дефинирани и недефинирани понятия.

3. Начини за дефиниране на понятия.

4. Основни констатации

Понятията, които се изучават в началния курс по математика, обикновено се представят под формата на четири групи. Първата включва понятия, свързани с числата и операции върху тях: число, събиране, сбирка, още и т.н. Втората включва алгебрични понятия: израз, равенство, уравнения и др. Третата група се състои от геометрични понятия: права, отсечка, триъгълник и т.н. .d. Четвъртата група се състои от понятия, свързани с величините и тяхното измерване.

За да изучите цялото разнообразие от понятия, трябва да имате представа за понятието като логическа категория и за характеристиките на математическите понятия.

В логиката концепцииразглежда като мисловна формаотразяващи обекти (предмети и явления) в техните съществени и общи свойства. Езиковата форма на понятието е дума (термин) или група думи.

Да съставяш идея за обект - означава да можеш да го различиш от други подобни обекти. Математическите понятия имат редица особености. Основното е, че математическите обекти, за които е изключително важно да се формира концепция, в действителност не съществуват. Математическите обекти се създават от човешкия ум. Това са идеални обекти, които отразяват реални предмети или явления. Например в геометрията се изучава формата и големината на обектите, без да се вземат предвид други свойства: цвят, маса, твърдост и т.н. Всичко това е абстрактно. Поради тази причина в геометрията вместо думата „обект“ се казва „геометрична фигура“.

Резултатът от абстракцията са също такива математически понятия като "число" и "величина".

По принцип математическите обекти съществуват само в човешкото мислене и в онези знаци и символи, които образуват математически език.

Към казаното можем да добавим и това, изучавайки пространствени форми и количествени отношения на материалния свят, математиката не само използва различни методи за абстракция, но самата абстракция действа като многоетапен процес. В математиката те разглеждат не само понятията, появили се при изучаването на реални обекти, но и понятията, възникнали въз основа на първите. Например общото понятие за функция като съответствие е обобщение на понятията за специфични функции, ᴛ.ᴇ. абстракция от абстракции.

1. Обхватът и съдържанието на концепцията. Връзки между понятията

Всеки математически обект има определени свойства. Например, квадрат има четири страни, четири прави ъгли, равни на диагонала. Можете да посочите и други свойства.

Сред свойствата на обекта са значими и незначителни... Брой имоти от съществено значение за даден обект, ако той е присъщ на този обект и без него той не може да съществува... Например за квадрат всички свойства, споменати по-горе, са от съществено значение. Свойството "страната AB е хоризонтална" не е от съществено значение за квадрата ABCD.

Когато говорят за математическа концепция, те обикновено означават набор от обекти, обозначени с един срок(дума или група думи). И така, говорейки за квадрат, те означават всички геометрични фигури, които са квадрати. Смята се, че множеството от всички квадрати е обемът на понятието "квадрат".

Изобщо, обхватът на понятието - ϶ᴛᴏ съвкупността от всички обекти, обозначени с един термин.

Всяка концепция има не само обем, но и съдържание.

Помислете например за понятието "правоъгълник".

Обхватът на концепцията е ϶ᴛᴏ набор от различни правоъгълници и съдържанието му включва такива свойства на правоъгълници като „имат четири прави ъгъла“, „имат равни противоположни страни“, „имат равни диагонали“ и др.

Между обхвата на понятието и неговото съдържание има връзка: ако обемът на дадена концепция се увеличи, тогава нейното съдържание намалява и обратно... Така например, обемът на понятието "квадрат" е част от обхвата на понятието "правоъгълник", а съдържанието на понятието "квадрат" съдържа повече свойства, отколкото съдържанието на понятието "правоъгълник" ("всички страни са равни", "диагоналите са взаимно перпендикулярни" и т.н.).

Всяко понятие не може да се научи, без да се осъзнае връзката му с други понятия. Поради тази причина е важно да знаете в какви взаимоотношения могат да бъдат понятията и да можете да установите тези взаимоотношения.

Връзката между понятията е тясно свързана с връзката между техните обеми, ᴛ.ᴇ. комплекти.

Нека се съгласим да обозначаваме понятия с малки букви от латинската азбука: a, b, c, d, ..., z.

Нека бъдат дадени две понятия a и b. Обемите им ще бъдат обозначени с A и B.

Ако A ⊂ B (A ≠ B), те казват, че понятието a е специфично по отношение на понятието b, а понятието b е родово по отношение на понятието a.

Например, ако a е "правоъгълник", b е "четириъгълник", тогава обемите им A и B са във връзка с включването (A ⊂ B и A ≠ B), в това отношение всеки правоъгълник е четириъгълник. Поради тази причина може да се твърди, че понятието "правоъгълник" е специфично по отношение на понятието "четириъгълник", а понятието "четириъгълник" е родово по отношение на понятието "правоъгълник".

Ако A \u003d B, тогава те казват, че понятията A и B са идентични.

Например понятията за "равностранен триъгълник" и "равнобедрен триъгълник" са идентични, тъй като обемите им съвпадат.

Нека разгледаме по-подробно връзката между рода и видовете между понятията.

1. На първо място, понятията за род и вид са относителни: едно и също понятие може да бъде родово по отношение на едно понятие и специфично по отношение на друго. Например понятието "правоъгълник" е родово по отношение на понятието "квадрат" и специфично по отношение на понятието "четириъгълник".

2. На второ място, за дадена концепция често могат да бъдат посочени няколко родови понятия. И така, за понятието "правоъгълник" общи са понятията "четириъгълник", "паралелограм", "многоъгълник". Сред посочените можете да посочите най-близкия. За понятието "правоъгълник" най-близко е понятието "паралелограм".

3. Трето, конкретна концепция притежава всички свойства на родова концепция. Например квадратът, като специфично понятие по отношение на понятието "правоъгълник", притежава всички свойства, присъщи на правоъгълника.

Тъй като обхватът на понятието е набор, е удобно, когато се установяват връзки между обхвата на понятията, да се изобразяват с помощта на кръгове на Ойлер.

Нека установим например връзката между следните двойки понятия a и b, ако:

1) a - "правоъгълник", b - "ромб";

2) a - "многоъгълник", b - "паралелограм";

3) a - "права линия", b - "сегмент".

Връзките между множествата са показани съответно на фигурата.

2. Определение на понятията. Дефинирани и недефинирани понятия.

Появата в математиката на нови понятия, а оттам и нови термини, обозначаващи тези понятия, предполага тяхното дефиниране.

По дефиницияобикновено се нарича изречение, изясняващо същността на нов термин (или обозначение). Като правило те правят това въз основа на предварително въведени понятия. Например, правоъгълник може да бъде дефиниран по следния начин: "Правоъгълникът обикновено се нарича четириъгълник, в който всички ъгли са прави." Това определение има две части - дефинираната концепция (правоъгълник) и дефиниращата концепция (четириъгълник с всички ъгли вдясно). Ако означим първата концепция с a, а втората с b, тогава тази дефиниция може да бъде представена по следния начин:

a е (по дефиниция) b.

Думите „е (по дефиниция)“ обикновено се заменят със символа ⇔ и тогава определението изглежда така:

Те четат: „а по дефиниция е равно на b“. Можете също да прочетете този запис така: „но ако и само ако b.

Извикват се дефиниции с тази структура изрично... Нека ги разгледаме по-подробно.

Нека се обърнем към втората част на дефиницията на „правоъгълник“.

Може да се различи:

1) понятието "четириъгълник", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ е родово по отношение на понятието "правоъгълник".

2) свойството “има всички ъгли прави”, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ ви позволява да изберете един вид от всички възможни четириъгълници - правоъгълници; в това отношение се нарича видова разлика.

Като цяло, специфично разграничение са ϶ᴛᴏ свойства (едно или повече), които дават възможност да се отделят дефинираните обекти от обхвата на родово понятие.

Резултатите от нашия анализ могат да бъдат представени под формата на диаграма:

Знакът "+" се използва като заместител на частицата "и".

Знаем, че всяка концепция има обем. Ако понятието а се дефинира чрез разликата между родовете и видовете, то за неговия обем - множеството A - можем да кажем, че съдържа обекти, които принадлежат към множеството C (обемът на родовото понятие c) и имат свойството P:

A \u003d (x / x ∈ C и P (x)).

Тъй като дефиницията на понятието чрез разликата между родовете и видовете по същество е условно споразумение за въвеждането на нов термин, който да замести всеки набор от известни термини, за дефиницията е невъзможно да се каже дали е вярно или невярно; нито е доказано, нито опровергано. Но при формулирането на определения те се придържат към редица правила. Нека ги повикаме.

1. Определението трябва да бъде пропорционален... Това означава, че обемите на дефинираните и определящите понятия трябва да съвпадат.

2. В дефиницията (или тяхната система) не трябва да има порочен кръг... Това означава, че не можете да определите понятие чрез себе си.

3. Определението трябва да бъде ясно... Изисква се например значението на термините, включени в дефиниращата концепция, да са известни към момента на въвеждане на дефиницията на новата концепция.

4. Една и съща концепция се определя чрез разликата между родовете и видовете, като се спазват правилата, формулирани по-горе, могат да бъдат различни... И така, квадрат може да се определи като:

а) правоъгълник, чиито съседни страни са равни;

б) правоъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни;

в) ромб, който има прав ъгъл;

г) паралелограм, при който всички страни са равни, а ъглите са прави.

Възможни са различни дефиниции на едно и също понятие поради големия брой свойства, включени в съдържанието на понятието, само няколко са включени в определението. И тогава от възможните дефиниции се избира едно, като се изхожда от кое от тях е по-просто и по-целесъобразно за по-нататъшното изграждане на теорията.

Нека назовем последователността от действия, които трябва да следваме, ако искаме да възпроизведем дефиницията на позната концепция или да изградим дефиниция на нова:

1. Назовете определената концепция (термин).

2. Посочете най-близката родова концепция (във връзка с дефинираната) концепция.

3. Избройте свойствата, които различават дефинираните обекти от общия обем, т.е. формулирайте видовата разлика.

4. Проверете дали са спазени правилата за дефиниране на понятието (дали е пропорционално, има ли порочен кръг и т.н.).