Vrste matematičkih pojmova i struktura primjera definicija. Metode proučavanja matematičkih pojmova. Zapisi oblika: nazivaju se obični razlomci
teza
1.1 Matematički pojmovi, njihov sadržaj i opseg, klasifikacija pojmova
Koncept je oblik razmišljanja o integralnom skupu bitnih i nebitnih svojstava predmeta.
Matematički pojmovi imaju svoje osobine: često proizlaze iz potreba znanosti i nemaju analoga u stvarnom svijetu; imaju visok stupanj apstrakcije. Zahvaljujući tome, poželjno je studentima pokazati pojavu pojma koji se proučava (bilo iz potrebe prakse, bilo iz potrebe znanosti).
Svaki koncept karakterizira volumen i sadržaj. Sadržaj- puno bitnih obilježja koncepta. Volumen- skup predmeta na koje se ovaj koncept odnosi. Razmotrite odnos između opsega i sadržaja pojma. Ako sadržaj odgovara stvarnosti i ne uključuje proturječne znakove, tada volumen nije prazan skup, što je važno pokazati studentima prilikom uvođenja pojma. Sadržaj u potpunosti određuje glasnoću i obrnuto. To znači da promjena jednog povlači za sobom promjenu drugog: ako se sadržaj povećava, volumen se smanjuje.
o mora se provoditi na jednoj osnovi;
o nastava se ne smije preklapati;
o unija svih klasa trebala bi dati cijeli skup;
o klasifikacija treba biti kontinuirana (klase trebaju biti najbliži koncepti vrsta u odnosu na koncept koji je podložan klasifikaciji).
Razlikuju se sljedeće vrste klasifikacije:
1. Izmijenjeno. Predmeti koji se klasificiraju mogu imati nekoliko karakteristika, pa se mogu klasificirati na različite načine.
Primjer. Pojam "trokuta".
2. Dihotomni. Podjela opsega koncepta na dvije koncepcije vrsta, od kojih jedan ima ovu značajku, a drugi nema.
Istaknimo ciljeve klasifikacije poučavanja:
1) razvoj logičkog mišljenja;
2) proučavanjem razlika u vrstama oblikujemo jasniju predstavu o generičkom konceptu.
U školi se koriste obje vrste klasifikacije. U pravilu je prvo dihotomno, a zatim prema modificiranom liku.
Građanski odgoj i obrazovanje u predškolskoj dobi
Po prvi puta riječ "domoljub" pojavila se tijekom Francuske revolucije 1789. - 1793. Tada su se borci za narodnu stvar, branitelji republike, za razliku od izdajica, izdajica domovine iz monarhističkog tabora, nazivali domoljubima ...
Podjela pojmova
Da bi se pojmovi smisleno koristili, kako bi ih ispravno koristili u rješavanju teorijskih i praktičnih problema, potrebno je znati prepoznati dvije glavne logičke karakteristike: opseg i sadržaj pojma ...
Podjela pojmova
Klasifikacija - raspodjela predmeta u skupine (razrede), u kojima svaka klasa ima svoje stalno mjesto. Klasifikacija je svojevrsna podjela pojma ...
Istraživanje učinkovitosti korištenja domaćih zadaća u procesu tjelesnog odgoja
Neovisna aktivnost shvaća se kao skup radnji koje objedinjuje zajednički cilj i izvršavaju određenu društvenu funkciju (V.N. Shaulin, 1986). U našem slučaju imamo posla s tjelesnom aktivnošću, odnosno aktivnošću ...
Interdisciplinarne veze u učenju
Interdisciplinarne veze mogu pomoći školarcima da razumiju svijet oko sebe, njegova svojstva, glavne pojave i procese koji se u njemu događaju i zakone kojima se pokoravaju. Tako...
Metode i tehnike podučavanja stranog jezika u starijoj fazi
Nedavno je privlačnost domaćih i stranih istraživača, poput A.A. Shchukin, I.P. Podlasy, M.A. Danilov, I.P. Pidkasisty, I. Ya. Lerner i sur.
Organizacija studentskih projektnih aktivnosti putem telekomunikacija
Po prvi puta je riječ "projekt" upotrijebio 1908. godine voditelj odjela za obrazovanje poljoprivrednih škola D. Snezden u poljoprivrednom obrazovanju. Predloženi projekti povezivanja školskog rada s potrebama poljoprivredne proizvodnje ...
Značajke logopedskog rada na prevladavanju agramatske disgrafije kod učenika srednjih škola
A. Kussmaul je prvi put ukazao na kršenje čitanja i pisanja kao samostalnu patologiju govorne aktivnosti 1877. Tada su se pojavila mnoga djela u kojima su dani opisi djece s različitim poremećajima čitanja i pisanja ...
Značajke formiranja matematičkih pojmova u razredima 5-6
Definirati objekt - odabrati između njegovih bitnih svojstava takva i tolika da je svako od njih potrebno, a sva su skupa dovoljna za razlikovanje ovog predmeta od ostalih. Rezultat ove akcije zabilježen je u definiciji ...
U suvremenim pedagoškim istraživanjima vezanim uz probleme poboljšanja funkcioniranja pedagoških sustava, povećanja učinkovitosti obrazovnog procesa, jedan od aspekata od najvećeg interesa ...
Psihološko-pedagoški aspekti rješavanja problema međuljudskih odnosa adolescenata
Svako doba je dobro na svoj način. A istodobno, svako doba ima svoje osobine i poteškoće. Adolescencija nije iznimka. Adolescencija je određeni segment života između djetinjstva i zrelosti ...
Rad s nadarenom djecom
28. Trokut - geometrijski oblici peterokuta. Parovi pojmova mogu se izgovarati naglas, ili se mogu predstaviti u obliku karata ili otisnuti na zasebnom listu. Djeca mogu odgovarati usmeno ili pismeno. 4. zadatak ...
Suvremeni problemi odgoja djece u obitelji i načini njihovog rješavanja
U Malom enciklopedijskom rječniku pojam obitelji tumači se kao „mala skupina koja se temelji na braku ili srodstvu, čiji su članovi povezani zajedničkim životom, uzajamnom pomoći, moralnom i pravnom odgovornošću“. M.I.Demkov napominje ...
Formiranje kognitivnih univerzalnih obrazovnih radnji temeljenih na individualizaciji i diferencijaciji nastave kemije u glavnoj srednjoj školi
Kao i svaka socijalna ustanova, i općeobrazovna škola podliježe trajnoj modernizaciji. Trenutno je društveno-politički zahtjev za općeobrazovnom školom takva konstrukcija procesa učenja ...
Eksperimentalno istraživanje osjećaja građanstva kod djece predškolske dobi
Učitelj koji se počinje baviti problemom formiranja građanske kompetencije, prije svega, treba znanje terminologije, ključnih pojmova građanskog i domoljubnog odgoja ...
Predavanje broj 2
matematika
Tema: "Matematički pojmovi"
Matematički pojmovi
Definicija pojmova
Zahtjevi za definicijom
Neke vrste definicija
1. Matematički pojmovi
Pojmovi koji se proučavaju u osnovnom kolegiju matematike obično su predstavljeni u obliku četiri skupine. Prva uključuje pojmove vezane uz brojeve i operacije na njima: broj, zbrajanje, sabiranje, veći itd. Druga uključuje algebarske pojmove: izraz, jednakost, jednadžba itd. Treću čine geometrijski pojmovi: linija, odsječak, trokut itd. itd. itd. Četvrtu skupinu čine pojmovi koji se odnose na veličine i njihovo mjerenje.
Kako se može proučavati takvo obilje vrlo različitih koncepata?
Prije svega, mora se imati predodžba o pojmu kao logičnoj kategoriji i značajkama matematičkih pojmova.
U logici se pojmovi smatraju oblikom mišljenja koji odražava predmete (predmete ili pojave) u njihovim bitnim i općim svojstvima. Jezični oblik pojma je riječ ili skupina riječi.
Sastavljanje pojma o predmetu znači mogućnost razlikovanja od drugih njemu sličnih objekata. Matematički pojmovi imaju brojne osobitosti. Glavna je ta da matematički objekti o kojima je potrebno oblikovati pojam u stvarnosti ne postoje. Matematičke predmete stvara ljudski um. To su idealni objekti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Primjerice, u geometriji se proučava oblik i veličina predmeta, ne uzimajući u obzir njihova druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Oni su rastreseni od svega ovoga, apstrahirani. Stoga u geometriji umjesto riječi "objekt" kažu "geometrijska figura".
Rezultat apstrakcije su također takvi matematički pojmovi kao što su "broj" i "veličina".
Općenito, matematički predmeti postoje samo u ljudskom razmišljanju i u onim znakovima i simbolima koji tvore matematički jezik.
Rečenom se može dodati da, proučavajući prostorne oblike i kvantitativne odnose materijalnog svijeta, matematika ne koristi samo razne metode apstrakcije, već apstrakcija sama djeluje kao višestupanjski proces. U matematici ne uzimaju u obzir samo pojmove koji su se pojavili u proučavanju stvarnih objekata, već i pojmove koji su nastali na temelju prvih. Primjerice, opći pojam funkcije kao korespondencije generalizacija je pojmova specifičnih funkcija, t.j. apstrakcija od apstrakcija.
Da bi savladao opće pristupe proučavanju pojmova u osnovnom kolegiju matematike, učitelju je potrebno znanje o obujmu i sadržaju pojma, o odnosu pojmova i o vrstama definicija pojmova.
2. Opseg i sadržaj koncepta. Odnosi između pojmova
Svaki matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri stranice, četiri prava kuta jednaka dijagonali. Možete odrediti i druga svojstva.
Među svojstvima predmeta razlikuju se bitna i beznačajna. Svojstvo se smatra bitnim za objekt ako je njemu svojstveno i ako bez njega ne može postojati. Na primjer, sva gore navedena svojstva bitna su za kvadrat. Svojstvo "strana AD je vodoravna" nevažno je za kvadrat ABCD. Ako okrenete kvadrat, tada će se strana AD smjestiti na drugačiji način (slika 26).
Stoga, da bi se shvatilo što je dati matematički objekt, moraju se znati njegova bitna svojstva.
Kad govore o matematičkom pojmu, obično podrazumijevaju skup predmeta označenih jednim pojmom (riječ ili skupina riječi). Dakle, govoreći o kvadratu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Smatra se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "kvadrat".
Općenito opseg pojma je skup svih predmeta označenih jednim pojmom.
Bilo koji koncept ima ne samo volumen, već i sadržaj.
Razmotrimo, na primjer, koncept "pravokutnika".
Opseg koncepta skup je različitih pravokutnika, a njegov sadržaj uključuje takva svojstva pravokutnika kao što su "imaju četiri prava kuta", "imaju jednake suprotne stranice", "imaju jednake dijagonale" itd.
Postoji veza između volumena pojma i njegovog sadržaja: ako se volumen pojma povećava, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto. Tako je, na primjer, opseg pojma "kvadrat" dio opsega pojma "pravokutnik", a sadržaj pojma "kvadrat" sadrži više svojstava od sadržaja pojma "pravokutnik" ("sve su strane jednake", "dijagonale su međusobno okomite" itd.).
Nijedan se koncept ne može naučiti bez da se shvati njegov odnos s drugim konceptima. Stoga je važno znati u kakvim odnosima mogu biti pojmovi i znati uspostaviti te veze.
Odnos između pojmova usko je povezan sa odnosom između njihovih volumena, t.j. setovi.
Dogovorimo se da pojmove označavamo malim slovima latinične abecede: a, b, c, ..., z.
Neka su dana dva pojma a i b. Njihove količine bit će označene s A i B.
Ako je A 
B (A ≠ B), onda kažu da je koncept a - specifičan u odnosu na konceptb, i koncept b - generički u odnosu na pojam a.
Na primjer, ako je a "pravokutnik", b je "četverokut", tada su njihovi volumeni A i B u odnosu na uključivanje (A 
B i A ≠ B), jer je svaki pravokutnik četverokut. Stoga se može tvrditi da je pojam "pravokutnika" specifičan u odnosu na pojam "četverokut", a pojam "četverokut" generički je u odnosu na pojam "pravokutnika".
Ako je A \u003d B, onda to kažu pojmovi a ib su identični.
Primjerice, pojmovi "jednakostranični trokut" i "jednakostranični trokut" identični su, budući da im se volumen podudara.
Ako skupovi A i B nisu povezani relacijom uključivanja, tada kažu da koncepti a i b nisu u odnosu na rod i vrstu i nisu identični. Primjerice, pojmovi "trokut" i "pravokutnik" nisu povezani takvim relacijama.
Razmotrimo detaljnije odnos roda i vrste između pojmova. Prvo, pojmovi roda i vrste su relativni: isti koncept može biti generički u odnosu na jedan pojam i specifičan u odnosu na drugi. Na primjer, pojam "pravokutnika" generički je u odnosu na pojam "kvadrat" i specifičan u odnosu na koncept "četverokut".
Drugo, nekoliko generičkih pojmova često se može specificirati za dati koncept. Dakle, za pojam "pravokutnik" generički su pojmovi "četverokut", "paralelogram", "poligon". Među njima možete navesti najbližeg. Pojmu "pravokutnik" najbliži je pojam "paralelogram".
Treće, određeni pojam ima sva svojstva generičkog pojma. Na primjer, kvadrat, koji je specifičan pojam u odnosu na koncept "pravokutnika", ima sva svojstva svojstvena pravokutniku.
Budući da je opseg pojma skup, pri uspostavljanju odnosa između opsega pojmova prikladno ih je prikazati pomoću Eulerovih krugova.
Uspostavimo, na primjer, odnos između sljedećih parova pojmova a i b, ako:
1) a - "pravokutnik", b - "romb";
2) a - "poligon", b - "paralelogram";
3) a - "linija", b - "segment".
U slučaju 1) volumen pojmova siječe se, ali niti jedan skup nije podskup drugog (slika 27).
Stoga se može tvrditi da ti pojmovi a i b nisu u odnosu na rod i vrstu.
U slučaju 2) količine podataka koncepta odnose se na uključivanje, ali se ne podudaraju - svaki paralelogram je poligon, ali ne i obrnuto (slika 28). Stoga se može tvrditi da je pojam "paralelogram" specifičan u odnosu na pojam "poligon", a pojam "poligon" generički u odnosu na pojam "paralelogram".
U slučaju 3) volumeni pojmova se ne sijeku, jer se za nijedan segment ne može reći da je ravna crta, a niti jedna ravna linija ne može se nazvati segmentom (slika 29).
Slijedom toga, ti pojmovi nisu u odnosu na rod i vrstu.
O pojmovima "linija" i "segment" možemo reći da oni su u odnosu na cjelinu i dio: segment je dio ravne crte, a ne njegove vrste. A ako određeni pojam ima sva svojstva generičkog pojma, tada dio ne mora nužno imati sva svojstva cjeline. Na primjer, segment nema isto svojstvo ravne crte kao njegova beskonačnost.
Među vještinama koje matematika uči i koje svi trebate naučiti, sposobnost klasificirati koncepti.
Činjenica je da matematika, kao i mnoge druge znanosti, ne proučava pojedinačne predmete ili pojave, već masivan... Dakle, kada proučavate trokute, proučavate svojstva bilo kojih trokuta, a ima ih beskonačan broj. Općenito je opseg bilo kojeg matematičkog pojma u pravilu beskonačan.
Kako bi se razlikovali objekti matematičkih pojmova, kako bi se proučila njihova svojstva, ti su pojmovi obično podijeljeni u vrste, razrede. Zapravo, pored općih svojstava, bilo koji matematički pojam ima još mnogo važnih svojstava koja nisu svojstvena svim objektima ovog pojma, već samo objektima neke vrste. Dakle, pravokutni trokuti, pored općih svojstava bilo kojih trokuta, imaju mnoga svojstva koja su vrlo važna za praksu, na primjer pitagorejski teorem, omjeri između kutova i stranica itd.
U procesu stoljetnog proučavanja matematičkih pojmova, u procesu njihove brojne primjene u životu, u drugim znanostima, od njihovog volumena, od njihovog su volumena izdvojene neke posebne vrste, koje imaju najzanimljivija svojstva, koja se najčešće nalaze i primijenjena u praksi. Dakle, postoji beskonačno mnogo različitih četverokuta, ali u praksi se u tehnologiji najviše koriste samo određene vrste: kvadrati, pravokutnici, paralelogrami, rombovi, trapezoidi.
Podjela volumena pojma na dijelove klasifikacija je ovog pojma. Preciznije, pod klasifikacijom se razumijeva raspodjela predmeta bilo kojeg pojma u međusobno povezane klase (vrste, vrste) prema najbitnijim značajkama (svojstvima). Poziva se atribut (svojstvo) kojim se vrši klasifikacija (podjela) pojma na vrste (klase) osnova klasifikacija.
Ispravno konstruirana klasifikacija pojma odražava najvažnija svojstva i veze između predmeta pojma, pomaže u boljoj navigaciji u skupu tih objekata, omogućuje utvrđivanje takvih svojstava tih predmeta koja su najvažnija za primjenu ovaj koncept u drugim znanostima i svakodnevnoj praksi.
Klasifikacija pojma izvedena je na jednoj ili više najznačajnijih osnova.
Dakle, trokuti se mogu klasificirati prema kutovima. Dobivamo sljedeće vrste: oštrokutni (svi su kutovi oštri), pravokutni (jedan kut je ravan, ostali su oštri), tupo-kutni (jedan kut je tup, ostali su oštri). Uzmemo li odnos između stranica kao osnovu za dijeljenje trokuta, tada ćemo dobiti sljedeće vrste: svestrani, jednakokraki i ispravni (jednakostranični).
Teže je kad koncept morate klasificirati na nekoliko osnova. Dakle, ako su konveksni četverokuti klasificirani prema paralelnosti stranica, tada u osnovi trebamo podijeliti sve konveksne četverokute istovremeno prema dva kriterija: 1) jedan par suprotnih stranica paralelan je ili nije; 2) drugi par suprotnih stranica paralelan je ili nije. Kao rezultat dobivamo tri vrste konveksnih četverokuta: 1) četverokut s neparalelnim stranicama; 2) četverokuti s jednim parom paralelnih stranica - trapezoidi; 3) četverokuta s dva para paralelnih stranica - paralelograma.
Često se pojam klasificira u fazama: prvo na jednoj osnovi, zatim se neke vrste dijele na podvrste na drugoj osnovi, itd. Primjer je klasifikacija četverokuta. U prvoj fazi podijeljeni su prema konveksnosti. Tada se konveksni četverokuti dijele prema paralelizmu suprotnih stranica. Zauzvrat, paralelogrami se dijele prema prisutnosti pravih kutova itd.
Pri provođenju klasifikacije moraju se poštivati \u200b\u200bodređena pravila. Navedimo glavne.
- Kao osnovu za klasifikaciju može se uzeti samo zajedničko obilježje svih predmeta određenog pojma. Tako je, na primjer, nemoguće uzeti znak rasporeda pojmova po stupnjevima neke varijable kao osnovu za klasifikaciju algebarskih izraza. Ova značajka nije zajednička svim algebarskim izrazima; na primjer, nema smisla za frakcijske izraze ili monoma. Ovu značajku imaju samo polinomi, pa se polinomi mogu klasificirati prema najvišem stupnju glavne varijable.
- Osnova za klasifikaciju trebala bi biti bitna svojstva (atributi) pojmova. Razmotrimo ponovno koncept algebarskog izraza. Jedno od svojstava ovog koncepta je da su varijable uključene u algebarski izraz označene nekim slovima. Ovo je svojstvo općenito, ali nije bitno jer karakter izraza ne ovisi o tome kojim slovom je označena ova ili ona varijabla. Dakle, algebarski izrazi x + y i a + b je u osnovi isti izraz. Stoga ne biste trebali klasificirati izraze na temelju označavanja varijabli slovima. Druga je stvar ako kao osnovu za klasifikaciju algebarskih izraza uzmemo atribut vrste radnji kojima su varijable povezane, odnosno radnje koje se izvode nad varijablama. Ova je zajednička značajka vrlo bitna, a klasifikacija koja se temelji na toj značajci bit će točna i korisna.
- U svakoj fazi klasifikacije može se primijeniti samo jedna vrsta osnove.Ne možete istodobno klasificirati pojam na dva različita osnova. Primjerice, nemoguće je istodobno klasificirati trokute i po veličini i u omjeru između stranica, jer kao rezultat dobivamo klase trokuta koji imaju zajedničke elemente (na primjer, oštrokotni i jednakokraki ili tupi i jednakokraki itd.) .). Ovdje se krši sljedeći zahtjev za klasifikacijom: kao rezultat klasifikacije u svakoj fazi, rezultirajuće klase (vrste) ne bi se trebale presijecati.
- U isto vrijeme klasifikacija iz bilo kojeg razloga mora biti iscrpna i svaki predmet koncepta mora pasti kao rezultat klasifikacije u jednu i samo jednu klasu.
Stoga je podjela svih cijelih brojeva na pozitivne i negativne netočna, jer cjelobrojna nula nije spadala ni u jednu klasu. Morali bismo reći ovo: cijeli brojevi podijeljeni su u tri klase - pozitivne, negativne i broj nula.
Često se prilikom razvrstavanja pojmova jasno razlikuju samo neke klase, a ostale se samo podrazumijevaju. Tako se, na primjer, u proučavanju algebarskih izraza obično razlikuju samo takve vrste njih: monomi, polinomi, frakcijski izrazi, iracionalni. Ali ove vrste ne iscrpljuju sve vrste algebarskih izraza, stoga je takva klasifikacija nepotpun.
Potpuna ispravna klasifikacija algebarskih izraza može se izvršiti na sljedeći način.
U prvoj fazi klasifikacije algebarskih izraza podijeljeni su u dvije klase: racionalnu i iracionalnu. U drugoj se fazi racionalni izrazi dijele na cjelovite i razlomljene. U trećem su koraku cjeloviti izrazi podijeljeni u monoma, polinome i složene cjelovite izraze.
Ova se klasifikacija može predstaviti na sljedeći način
Zadatak 7
7.1. Zašto se racionalni brojevi ne mogu klasificirati prema njihovoj ravnomjernosti?
7.2. Utvrdite je li podjela pojma točna:
a) Vrijednosti mogu biti jednake ili nejednake.
b) Funkcije se povećavaju i smanjuju.
c) Izoscelni trokuti mogu biti oštrokutni, pravokutni i tupokutni.
d) Pravokutnici su kvadrati i rombovi.
7.3. Podijelite pojam "geometrijske figure" po njegovom svojstvu da zauzima dio ravnine i dajte primjere svake vrste.
7.4. Izgraditi moguće sheme klasifikacije za racionalne brojeve.
7.5. Izgradite klasifikacijsku shemu za sljedeće koncepte:
a) četverokut;
b) dva ugla.
7.6. Razvrstajte sljedeće pojmove:
a) trokut i kružnica;
b) uglovi u krugu;
c) dva kruga;
d) ravna crta i kružnica;
e) kvadratne jednadžbe;
f) sustav dviju jednadžbi prvog stupnja s dvije nepoznanice.
Predavanje 7. Matematički pojmovi
1. Skupine pojmova koji se proučavaju u osnovnom smjeru matematike. Značajke matematičkih pojmova.
2. Opseg i sadržaj koncepta.
3. Odnosi između pojmova.
4. Operacije s pojmovima: generalizacija, ograničenje, definicija i podjela pojmova.
5. Pravila potrebna za formuliranje definicije pojmova kroz razliku u rodu i vrsti.
6. Kontekstualne i ostencijske definicije. Opis, usporedba.
Skupine pojmova koji se proučavaju u osnovnom smjeru matematike. Značajke matematičkih pojmova.
Pojmovi koji se proučavaju u osnovnom kolegiju matematike obično su predstavljeni u obliku četiri skupine. Prvi uključuje pojmove povezane s brojevima i operacijama na njima: broj, zbrajanje, sabir, više itd. Drugi uključuje algebarske pojmove: izraz, jednakost, jednadžba itd. Treći čine geometrijske pojmove: ravna crta, odsječak, trokut itd. Četvrti skupinu čine pojmovi koji se odnose na veličine i njihovo mjerenje.
Kako se može proučavati takvo obilje vrlo različitih koncepata?
Prije svega, mora se imati predodžba o pojmu kao logičnoj kategoriji i značajkama matematičkih pojmova.
U logici koncepta razmatraju kao oblik misli, reflektirajućih predmeta (predmeti ili pojave) u njihovim bitnim i općim svojstvima... Jezični oblik koncepta je riječ ili skupina riječi.
Napravite koncept predmeta - to znači biti sposoban razlikovati ga od ostalih njemu sličnih predmeta.
Matematički pojmovi imaju niz značajki... Glavna stvar je da matematički objekti o kojima je potrebno formulirati pojam u stvarnosti ne postoje. Matematičke predmete stvara ljudski um. To su idealni objekti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Primjerice, u geometriji se proučava oblik i veličina predmeta, ne uzimajući u obzir njihova druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Oni su rastreseni od svega ovoga, apstrahirani. Stoga u geometriji umjesto riječi "objekt" kažu "geometrijska figura".
Apstrakcija rezultira matematičkim pojmovima kao što su "broj" i "veličina".
Općenito matematički predmeti postoje samo u ljudskom razmišljanju i u onim znakovima i simbolima koji tvore matematički jezik.
Rečenom možemo dodati da, proučavanje prostornih oblika i kvantitativnih odnosa materijalni svijet, matematika ne koristi samo razne tehnike apstrakcije, ali apstrakcija sama djeluje kao višestupanjski proces. U matematici ne uzimaju u obzir samo pojmove koji su se pojavili u proučavanju stvarnih objekata, već i pojmove koji su nastali na temelju prvih. Primjerice, opći pojam funkcije kao korespondencije generalizacija je pojmova specifičnih funkcija, t.j. apstrakcija od apstrakcija.
Da bi savladao opće pristupe proučavanju pojmova u osnovnom kolegiju matematike, učitelju su potrebna znanja o opsegu i sadržaju pojma, o odnosu pojmova i o vrstama definicija pojmova.
2. Opseg i sadržaj koncepta
Svaki matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri stranice, četiri prava kuta jednaka dijagonali. Možete odrediti i druga svojstva.
Među svojstva objekta razlikovati znatan, bitan, stvaran i nebitno.
Brojanje imovine bitnoza objekt, ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati. Na primjer, za kvadrat su sva gore navedena svojstva bitna. Svojstvo "strana AD je vodoravna" nevažno je za kvadrat ABCD. Ako okrenete kvadrat, tada će se strana AD smjestiti na drugačiji način (slika 26). Stoga, da bi se razumjelo što je dati matematički objekt, moraju se znati njegova bitna svojstva.
Kad govore o matematičkom pojmu, obično podrazumijevaju skup predmeta označenih jednim pojmom (riječ ili skupina riječi). Dakle, govoreći o kvadratu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Smatra se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "kvadrat".
Bilo koji pojam karakterizira riječ, volumen i sadržaj.
Opseg koncepta i je skup svih objekata koji se mogu nazvati određenom riječju (pojmom)
Primjer. Istaknimo volumen i sadržaj koncepta "pravokutnika".
Opseg koncepta je skup različitih pravokutnika i u njemu sadržaj uključuje takva svojstva pravokutnika kao što su "imaju četiri prava kuta", "imaju jednake suprotne stranice", "imaju jednake dijagonale" itd.
Postoji veza između opsega pojma i njegovog sadržaja.: ako se volumen pojma poveća, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto. Tako je, na primjer, opseg pojma "kvadrat" dio opsega pojma "pravokutnik", a sadržaj pojma "kvadrat" sadrži više svojstava od sadržaja pojma "pravokutnik" ("sve su strane jednake", "dijagonale su međusobno okomite" itd.).
Nijedan se koncept ne može naučiti bez da se shvati njegov odnos s drugim konceptima. Stoga je važno znati u kakvim odnosima mogu biti pojmovi i znati uspostaviti te veze.
Predavanje 5. Matematički pojmovi
1. Opseg i sadržaj koncepta. Odnosi između pojmova
2. Definicija pojmova. Definirani i nedefinirani pojmovi.
3. Načini definiranja pojmova.
4. Ključni nalazi
Pojmovi koji se proučavaju u osnovnom kolegiju matematike obično su predstavljeni u obliku četiri skupine. Prva uključuje pojmove vezane uz brojeve i operacije na njima: broj, zbrajanje, sabiranje, veći itd. Druga uključuje algebarske pojmove: izraz, jednakost, jednadžbe itd. Treću skupinu čine geometrijski pojmovi: linija, odsječak, trokut itd. .d. Četvrtu skupinu čine pojmovi koji se odnose na veličine i njihovo mjerenje.
Da biste proučavali svu raznolikost pojmova, morate imati predodžbu o pojmu kao logičnoj kategoriji i značajkama matematičkih pojmova.
U logici konceptipromatra kao misaoni oblikodražavajući predmete (predmete i pojave) u njihovim bitnim i općim svojstvima. Jezični oblik koncepta je riječ (pojam) ili skupina riječi.
Sastaviti ideju predmeta - ϶ᴛᴏ znači moći ga razlikovati od ostalih njemu sličnih objekata. Matematički pojmovi imaju brojne osobitosti. Glavna je stvar da matematički objekti, o kojima je izuzetno važno oblikovati pojam, u stvarnosti ne postoje. Matematičke predmete stvara ljudski um. To su idealni objekti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Primjerice, u geometriji se proučava oblik i veličina predmeta, ne uzimajući u obzir druga svojstva: boju, masu, tvrdoću itd. Sve je to apstrahirano. Iz tog razloga, u geometriji, umjesto riječi "objekt" kažu "geometrijska figura".
Apstrakcija rezultira matematičkim pojmovima kao što su "broj" i "veličina".
Općenito, matematički predmeti postoje samo u čovjekovom razmišljanju i u onim znakovima i simbolima koji tvore matematički jezik.
Rečenom možemo dodati i to, proučavajući prostorni oblici i kvantitativni odnosi materijalnog svijeta, matematika ne koristi samo razne metode apstrakcije, već sama apstrakcija djeluje kao višestupanjski proces. U matematici ne uzimaju u obzir samo pojmove koji su se pojavili u proučavanju stvarnih objekata, već i pojmove koji su nastali na temelju prvih. Na primjer, opći pojam funkcije kao korespondencije je uopćavanje pojmova određenih funkcija, ᴛ.ᴇ. apstrakcija od apstrakcija.
- Opseg i sadržaj koncepta. Odnosi između pojmova
Bilo koji matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri stranice, četiri prava kuta jednaka dijagonali. Možete odrediti i njegova druga svojstva.
Među svojstvima predmeta su značajan i beznačajan... Brojanje imovine bitno za objekt ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati... Na primjer, za kvadrat su sva gore navedena svojstva bitna. Svojstvo "strana AB je vodoravna" nije bitno za kvadrat ABCD.
Kad govore o matematičkom pojmu, obično podrazumijevaju skup objekata koji su označeni s jednim termin(riječ ili skupina riječi). Dakle, govoreći o kvadratu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Smatra se da je skup svih kvadrata volumen koncepta "kvadrat".
Općenito, opseg koncepta - ϶ᴛᴏ skup svih predmeta označenih jednim pojmom.
Bilo koji koncept ima ne samo volumen, već i sadržaj.
Razmotrimo, na primjer, koncept "pravokutnika".
Opseg koncepta je of skup različitih pravokutnika, a njegov sadržaj uključuje svojstva pravokutnika kao što su „imaju četiri prava kuta“, „imaju jednake suprotne stranice“, „imaju jednake dijagonale“ itd.
Između opsega koncepta i njegovog sadržaja postoji odnos: ako se volumen pojma povećava, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto... Tako je, na primjer, opseg pojma "kvadrat" dio opsega pojma "pravokutnik", a sadržaj pojma "kvadrat" sadrži više svojstava od sadržaja pojma "pravokutnik" ("sve su strane jednake", "dijagonale su međusobno okomite" i sl.).
Nijedan se koncept ne može naučiti bez da se shvati njegov odnos s drugim konceptima. Iz tog je razloga važno znati u kakvim odnosima mogu biti pojmovi odnosa i znati uspostaviti te odnose.
Odnos između pojmova usko je povezan s odnosom između njihovih volumena, ᴛ.ᴇ. setovi.
Dogovorimo se da pojmove označavamo malim slovima latinske abecede: a, b, c, d, ..., z.
Neka su dana dva pojma a i b. Njihove količine bit će označene s A i B.
Ako je A ⊂ B (A ≠ B), tada kažu da je pojam a specifičan s obzirom na pojam b, a koncept b generički s obzirom na koncept a.
Na primjer, ako je a "pravokutnik", b je "četverokut", tada su njihovi volumeni A i B u odnosu na uključenost (A ⊂ B i A ≠ B), s tim u vezi, svaki je pravokutnik četverokut. Iz tog razloga može se tvrditi da je pojam "pravokutnika" specifičan u odnosu na pojam "četverokut", a pojam "četverokut" generički je u odnosu na koncept "pravokutnika".
Ako je A \u003d B, tada kažu da su pojmovi A i B identični.
Na primjer, pojmovi "jednakostranični trokut" i "jednakokračni trokut" identični su, budući da im se volumen podudara.
Razmotrimo detaljnije odnos roda i vrste između pojmova.
1. Prije svega, pojmovi roda i vrste su relativni: isti pojam može biti generički u odnosu na jedan pojam, a specifičan u odnosu na drugi. Na primjer, pojam "pravokutnika" generički je u odnosu na pojam "kvadrat" i specifičan u odnosu na koncept "četverokut".
2. Drugo, za dati koncept često se može navesti nekoliko generičkih koncepata. Dakle, za pojam "pravokutnik" generički su pojmovi "četverokut", "paralelogram", "poligon". Među naznačenim možete navesti najbližeg. Pojmu "pravokutnik" najbliži je pojam "paralelogram".
3. Treće, određeni pojam ima sva svojstva generičkog pojma. Na primjer, kvadrat, koji je specifičan pojam u odnosu na koncept "pravokutnika", ima sva svojstva svojstvena pravokutniku.
Budući da je opseg pojma skup, pri uspostavljanju odnosa između opsega pojmova prikladno ih je prikazati pomoću Eulerovih krugova.
Uspostavimo, na primjer, odnos između sljedećih parova pojmova a i b, ako:
1) a - "pravokutnik", b - "romb";
2) a - "poligon", b - "paralelogram";
3) a - "ravna crta", b - "segment".
Odnosi između skupova prikazani su na slici.
2. Definicija pojmova. Definirani i nedefinirani pojmovi.
Pojava novih pojmova u matematici, a time i novi pojmovi koji označavaju te pojmove, pretpostavlja njihovu definiciju.
Po definicijiobično se naziva rečenicom koja pojašnjava bit novog pojma (ili oznake). U pravilu to čine na temelju prethodno uvedenih koncepata. Na primjer, pravokutnik se može definirati na sljedeći način: "Pravokutnik se obično naziva četverokut, u kojem su svi kutovi ravni." Postoje dva dijela ove definicije - koncept koji se definira (pravokutnik) i definirajući koncept (četverokut sa svim kutovima pod pravim kutom). Ako prvi koncept označimo s a, a drugi s b, tada se ova definicija može predstaviti na sljedeći način:
a je (po definiciji) b.
Riječi „je (po definiciji)“ obično se zamjenjuju simbolom ⇔, a tada definicija izgleda ovako:
Čitaju: "a je po definiciji jednako b". Ovaj unos možete pročitati i ovako: „ali ako i samo ako b.
Pozvane su definicije s ovom strukturom eksplicitan... Razmotrimo ih detaljnije.
Okrenimo se drugom dijelu definicije "pravokutnika".
Može se razlikovati:
1) pojam "četverokut", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ je generički u odnosu na pojam "pravokutnika".
2) svojstvo "imaju sve kutove ravne", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ omogućuje vam odabir jedne vrste svih mogućih četverokuta - pravokutnika; s tim u vezi naziva se razlikom u vrstama.
Općenito, posebna razlika su ϶ᴛᴏ svojstva (jedno ili više) koja omogućuju izdvajanje definiranih objekata iz opsega generičkog koncepta.
Rezultati naše analize mogu se predstaviti u obliku dijagrama:
Znak "+" koristi se kao zamjena za česticu "i".
Znamo da bilo koji koncept ima volumen. Ako se pojam a definira kroz razliku u rodu i vrsti, tada o njegovom volumenu - skupu A - možemo reći da sadrži predmete koji pripadaju skupu C (volumen generičkog koncepta c) i imaju svojstvo P:
A \u003d (x / x ∈ C i P (x)).
Budući da je definicija pojma kroz razliku u rodu i vrsti u osnovi uvjetni dogovor o uvođenju novog pojma koji zamjenjuje bilo koji skup poznatih pojmova, nemoguće je reći o definiciji je li istinita ili netačna; niti se dokazuje niti pobija. Ali, prilikom formuliranja definicija, oni se pridržavaju brojnih pravila. Nazovimo ih.
1. Definicija mora biti razmjerno... To znači da se količine definiranih i definirajućih pojmova moraju podudarati.
2. U definiciji (ili njihovom sustavu) ne bi trebao postojati začarani krug... To znači da ne možete definirati pojam kroz sebe.
3. Definicija mora biti čisto... Potrebno je, na primjer, da značenja pojmova uključenih u definirajući koncept budu poznata do trenutka uvođenja definicije novog pojma.
4. Jedan te isti koncept definiran je kroz razliku u rodu i vrsti, poštujući gore formulirana pravila, može se učiniti na različite načine... Dakle, kvadrat se može definirati kao:
a) pravokutnik čije su susjedne stranice jednake;
b) pravokutnik čije su dijagonale međusobno okomite;
c) romb koji ima pravi kut;
d) paralelogram, u kojem su sve stranice jednake, a uglovi ravni.
Moguće su različite definicije istog pojma zbog velikog broja svojstava koja su sadržana u sadržaju pojma, a samo je nekoliko uključeno u definiciju. A zatim se od mogućih definicija odabire jedna polazeći od toga koja je jednostavnija i korisnija za daljnju izgradnju teorije.
Nazovimo slijed radnji koje moramo slijediti ako želimo reproducirati definiciju poznatog koncepta ili izgraditi definiciju novog:
1. Nazovite pojam (pojam) koji se definira.
2. Navedite najbliži generički pojam (u odnosu na definirani) pojam.
3. Navedi svojstva koja razlikuju definirane objekte od generičkog opsega, odnosno formuliraj razliku u vrsti.
4. Provjerite jesu li ispunjena pravila za definiranje koncepta (je li proporcionalan, postoji li začarani krug, itd.).
