Tipi di concetti matematici e struttura di esempi di definizioni. Metodi per lo studio dei concetti matematici. Registrazioni della forma: chiamate frazioni ordinarie

tesi

1.1 Concetti matematici, loro contenuto e ambito, classificazione dei concetti

Un concetto è una forma di pensiero su un insieme integrale di proprietà essenziali e non essenziali di un oggetto.

I concetti matematici hanno le loro caratteristiche: spesso nascono dai bisogni della scienza e non hanno analoghi nel mondo reale; hanno un alto grado di astrazione. In virtù di ciò, è desiderabile mostrare agli studenti l'emergere del concetto che si sta studiando (o dal bisogno di pratica, o dal bisogno della scienza).

Ogni concetto è caratterizzato da volume e contenuto. Soddisfare- molte caratteristiche essenziali del concetto. Volume- un insieme di oggetti a cui questo concetto è applicabile. Considera la relazione tra l'ambito e il contenuto di un concetto. Se il contenuto corrisponde alla realtà e non include segni contraddittori, il volume non è un insieme vuoto, che è importante mostrare agli studenti quando si introduce un concetto. Il contenuto determina completamente il volume e viceversa. Ciò significa che un cambiamento in uno comporta un cambiamento nell'altro: se il contenuto aumenta, il volume diminuisce.

o deve essere eseguito su una base;

o le classi non dovrebbero sovrapporsi;

o l'unione di tutte le classi dovrebbe dare l'intero set;

o la classificazione dovrebbe essere continua (le classi dovrebbero essere i concetti di specie più vicini in relazione al concetto che è soggetto a classificazione).

Si distinguono i seguenti tipi di classificazione:

1. Su base modificata. Gli oggetti da classificare possono avere diverse caratteristiche, quindi possono essere classificati in diversi modi.

Esempio. Il concetto di "triangolo".

2. Dichotomous. Dividere l'ambito di un concetto in due concetti di specie, uno dei quali ha questa caratteristica e l'altro no.

Evidenziamo gli obiettivi della classificazione dell'insegnamento:

1) sviluppo del pensiero logico;

2) studiando le differenze di specie, ci formiamo un'idea più chiara del concetto generico.

Entrambi i tipi di classificazione vengono utilizzati nella scuola. Di regola, prima è dicotomico e poi secondo un carattere modificato.

Educazione civica nei bambini in età prescolare

Per la prima volta la parola "patriota" apparve durante la Rivoluzione francese del 1789-1793. A quel tempo, i combattenti per la causa del popolo, i difensori della repubblica, al contrario dei traditori, traditori della patria dal campo monarchico, si definivano patrioti ...

Divisione dei concetti

Per utilizzare i concetti in modo significativo, per usarli correttamente nella risoluzione di problemi teorici e pratici, è necessario essere in grado di identificare due principali caratteristiche logiche: l'ambito e il contenuto del concetto ...

Divisione dei concetti

Classificazione: la distribuzione degli oggetti in gruppi (classi), in cui ogni classe ha il proprio posto permanente. La classificazione è una sorta di divisione del concetto ...

Ricerca dell'efficacia dell'utilizzo dei compiti a casa nel processo di educazione fisica

L'attività indipendente è intesa come un insieme di azioni unite da un obiettivo comune e che svolgono una certa funzione sociale (V.N Shaulin, 1986). Nel nostro caso si tratta di attività fisica, cioè attività ...

Connessioni interdisciplinari nell'apprendimento

Le connessioni interdisciplinari possono aiutare gli scolari a comprendere il mondo che li circonda, le sue proprietà, i principali fenomeni e processi che si verificano in esso e le leggi a cui obbediscono. Quindi ...

Metodi e tecniche di insegnamento di una lingua straniera nella fase senior

Recentemente, l'appello di ricercatori nazionali e stranieri, come A.A. Shchukin, I.P. Podlasy, M.A. Danilov, I.P. Pidkasisty, I. Ya. Lerner et al.

Organizzazione delle attività di progetto degli studenti mediante telecomunicazioni

Per la prima volta ha usato la parola "progetto" nel 1908 dal capo del dipartimento di istruzione delle scuole agricole D. Snezden nell'educazione agricola. I progetti proposti per collegare il lavoro scolastico alle esigenze della produzione agricola ...

Le caratteristiche della logopedia lavorano per superare la disgrafia agrammatica negli studenti delle scuole secondarie

Per la prima volta, A. Kussmaul ha indicato le violazioni della lettura e della scrittura come patologia indipendente dell'attività linguistica nel 1877. Quindi sono apparse molte opere in cui sono state fornite descrizioni di bambini con vari disturbi della lettura e della scrittura ...

Caratteristiche della formazione di concetti matematici nei gradi 5-6

Definire un oggetto - scegliere tra le sue proprietà essenziali tali e tanti che ciascuno di essi è necessario, e tutti insieme sono sufficienti per distinguere questo oggetto dagli altri. Il risultato di questa azione è registrato nella definizione ...

Nella moderna ricerca pedagogica relativa ai problemi di miglioramento del funzionamento dei sistemi pedagogici, aumento dell'efficienza del processo educativo, uno degli aspetti di maggiore interesse ...

Aspetti psicologici e pedagogici della risoluzione dei problemi delle relazioni interpersonali degli adolescenti

Ogni età è buona a modo suo. E allo stesso tempo, ogni età ha le sue caratteristiche e difficoltà. L'adolescenza non fa eccezione. L'adolescenza è un certo segmento della vita tra l'infanzia e la maturità ...

Lavorare con bambini dotati

28. Triangolo - forme geometriche pentagonali Le coppie di concetti possono essere pronunciate ad alta voce, oppure possono essere presentate sotto forma di carte o stampate su un foglio separato. I bambini possono rispondere oralmente o per iscritto. Attività 4 ...

Problemi moderni di crescere i figli in una famiglia e modi per risolverli

Nel Piccolo Dizionario Enciclopedico, il concetto di famiglia è interpretato come "un piccolo gruppo basato sul matrimonio o sulla consanguineità, i cui membri sono legati da una vita comune, assistenza reciproca, responsabilità morale e giuridica". M.I.Demkov osserva ...

Formazione di azioni educative universali cognitive basate sull'individualizzazione e differenziazione dell'insegnamento della chimica nella scuola secondaria principale

Come ogni istituzione sociale, la scuola di istruzione generale è soggetta a modernizzazione permanente. Al momento, la richiesta socio-politica di una scuola di istruzione generale è una tale costruzione del processo di apprendimento ...

Uno studio sperimentale sul senso di cittadinanza nei bambini in età prescolare

Un insegnante che inizia ad affrontare il problema della formazione della competenza civica, prima di tutto, ha bisogno della conoscenza della terminologia, dei concetti chiave dell'educazione civica e patriottica ...

Lezione numero 2

matematica

Argomento: "Concetti matematici"

Concetti matematici

Definizione di concetti

Requisiti di definizione

Alcuni tipi di definizioni

1. Concetti matematici

I concetti studiati nel corso elementare di matematica sono solitamente presentati sotto forma di quattro gruppi. Il primo include concetti relativi ai numeri e operazioni su di essi: numero, addizione, somma, maggiore, ecc. Il secondo include concetti algebrici: espressione, uguaglianza, equazione, ecc. Il terzo è costituito da concetti geometrici: linea, segmento, triangolo ecc. ecc. Il quarto gruppo è costituito da concetti relativi alle quantità e alla loro misurazione.

Come si può studiare una tale abbondanza di concetti molto diversi?

Prima di tutto, bisogna avere un'idea del concetto come categoria logica e delle caratteristiche dei concetti matematici.

Nella logica, i concetti sono considerati come una forma di pensiero, che riflette gli oggetti (oggetti o fenomeni) nelle loro proprietà essenziali e generali. La forma linguistica di un concetto è una parola o un gruppo di parole.

Comporre un concetto su un oggetto significa saperlo distinguere da altri oggetti simili ad esso. I concetti matematici hanno una serie di peculiarità. Il principale è che gli oggetti matematici sui quali è necessario formare un concetto non esistono nella realtà. Gli oggetti matematici sono creati dalla mente umana. Questi sono oggetti ideali che riflettono oggetti o fenomeni reali. Ad esempio, in geometria, si studia la forma e la dimensione degli oggetti, senza tener conto delle loro altre proprietà: colore, massa, durezza, ecc. Sono distratti da tutto questo, astratti. Pertanto, in geometria, al posto della parola "oggetto" si dice "figura geometrica".

Il risultato dell'astrazione sono anche concetti matematici come "numero" e "grandezza".

In generale, gli oggetti matematici esistono solo nel pensiero umano e in quei segni e simboli che formano un linguaggio matematico.

A quanto detto, possiamo aggiungere che, studiando le forme spaziali e le relazioni quantitative del mondo materiale, la matematica non solo utilizza vari metodi di astrazione, ma l'astrazione stessa agisce come un processo a più stadi. In matematica, considerano non solo i concetti che sono apparsi nello studio di oggetti reali, ma anche i concetti che sono sorti sulla base dei primi. Ad esempio, il concetto generale di una funzione come corrispondenza è una generalizzazione dei concetti di funzioni specifiche, ad es. astrazione dalle astrazioni.

Per padroneggiare gli approcci generali allo studio dei concetti nel corso elementare di matematica, l'insegnante ha bisogno della conoscenza dell'ambito e del contenuto del concetto, della relazione tra concetti e dei tipi di definizioni dei concetti.

2. L'ambito e il contenuto del concetto. Relazioni tra concetti

Ogni oggetto matematico ha determinate proprietà. Ad esempio, un quadrato ha quattro lati, quattro angoli retti uguali alla diagonale. Puoi anche specificare altre proprietà.

Tra le proprietà di un oggetto si distinguono essenziali e insignificanti. Una proprietà è considerata essenziale per un oggetto se è inerente a questo oggetto e senza di esso non può esistere. Ad esempio, tutte le proprietà sopra menzionate sono essenziali per un quadrato. La proprietà "il lato AD è orizzontale" è irrilevante per il quadrato ABCD. Se giri il quadrato, il lato AD verrà posizionato in modo diverso (Fig.26).

Pertanto, per capire cos'è un dato oggetto matematico, è necessario conoscerne le proprietà essenziali.

Quando parlano di un concetto matematico, di solito intendono un insieme di oggetti denotati da un termine (parola o gruppo di parole). Quindi, parlando di un quadrato, intendono tutte le forme geometriche che sono quadrati. Si ritiene che l'insieme di tutti i quadrati sia l'ambito del concetto di "quadrato".

In genere lo scopo di un concetto è l'insieme di tutti gli oggetti designati da un termine.

Ogni concetto non ha solo volume, ma anche contenuto.

Si consideri, ad esempio, il concetto di "rettangolo".

Lo scopo di un concetto è un insieme di rettangoli diversi e il suo contenuto include proprietà dei rettangoli come "avere quattro angoli retti", "avere lati opposti uguali", "avere diagonali uguali", ecc.

Esiste una relazione tra il volume di un concetto e il suo contenuto: se il volume di un concetto aumenta, il suo contenuto diminuisce e viceversa. Quindi, ad esempio, l'ambito del concetto di "quadrato" fa parte dell'ambito del concetto di "rettangolo" e il contenuto del concetto di "quadrato" contiene più proprietà del contenuto del concetto di "rettangolo" ("tutti i lati sono uguali", "le diagonali sono reciprocamente perpendicolari", ecc.).

Qualsiasi concetto non può essere appreso senza rendersi conto della sua relazione con altri concetti. Pertanto, è importante sapere in quali relazioni possono essere i concetti ed essere in grado di stabilire queste connessioni.

La relazione tra i concetti è strettamente correlata alla relazione tra i loro volumi, ad es. imposta.

Accettiamo di denotare concetti con lettere minuscole dell'alfabeto latino: a, b, c, ..., z.

Si diano due concetti aeb. I loro volumi saranno indicati con A e B.

Se una B (A ≠ B), quindi dicono che il concetto a - specifico in relazione al concettobe il concetto b - generico in relazione al concetto a.

Ad esempio, se a è un "rettangolo", b è un "quadrilatero", i loro volumi A e B sono in relazione all'inclusione (A B e A ≠ B), poiché ogni rettangolo è un quadrilatero. Pertanto, si può sostenere che il concetto di "rettangolo" è specifico in relazione al concetto di "quadrilatero", e il concetto di "quadrilatero" è generico in relazione al concetto di "rettangolo".

Se A \u003d B, allora lo dicono concetti a eb sono identici.

Ad esempio, i concetti "triangolo equilatero" e "triangolo equilatero" sono identici, poiché i loro volumi coincidono.

Se gli insiemi A e B non sono correlati dalla relazione di inclusione, allora dicono che i concetti a e b non sono in relazione al genere e alla specie e non sono identici. Ad esempio, i concetti "triangolo" e "rettangolo" non sono collegati da tali relazioni.

Consideriamo più in dettaglio la relazione tra genere e specie tra i concetti. In primo luogo, i concetti di genere e specie sono relativi: lo stesso concetto può essere generico in relazione a un concetto e specifico in relazione a un altro. Ad esempio, il concetto di "rettangolo" è generico in relazione al concetto di "quadrato" e specifico in relazione al concetto di "quadrilatero".

In secondo luogo, spesso è possibile specificare diversi concetti generici per un dato concetto. Quindi, per il concetto "rettangolo" sono generici i concetti di "quadrilatero", "parallelogramma", "poligono". Tra questi, puoi indicare il più vicino. Per il concetto di "rettangolo" il più vicino è il concetto di "parallelogramma".

In terzo luogo, un concetto specifico ha tutte le proprietà di un concetto generico. Ad esempio, un quadrato, essendo un concetto specifico in relazione al concetto di "rettangolo", ha tutte le proprietà insite in un rettangolo.

Poiché lo scopo di un concetto è un insieme, è conveniente, quando si stabiliscono relazioni tra l'ambito dei concetti, raffigurarli usando i cerchi di Eulero.

Stabiliamo, ad esempio, la relazione tra le seguenti coppie di concetti aeb, se:

1) a - "rettangolo", b - "rombo";

2) a - "poligono", b - "parallelogramma";

3) a - "linea", b - "segmento".

Nel caso 1) i volumi dei concetti si intersecano, ma nessun insieme è un sottoinsieme di un altro (Fig. 27).

Pertanto, si può sostenere che questi concetti aeb non sono in relazione al genere e alla specie.

Nel caso 2) i volumi di dati del concetto sono in relazione all'inclusione, ma non coincidono: ogni parallelogramma è un poligono, ma non viceversa (Fig. 28). Si può quindi affermare che il concetto di "parallelogramma" è specifico in relazione al concetto di "poligono", e il concetto di "poligono" è generico in relazione al concetto di "parallelogramma".

Nel caso 3) i volumi dei concetti non si intersecano, poiché nessun segmento può essere definito una linea retta e nessuna linea retta può essere definita un segmento (Fig. 29).

Di conseguenza, questi concetti non sono in relazione al genere e alla specie.

Riguardo ai concetti di "linea" e "segmento" possiamo dire che sono loro sono in relazione al tutto e alla parte: un segmento è una parte di una linea retta, non il suo genere. E se un concetto specifico ha tutte le proprietà di un concetto generico, allora una parte non ha necessariamente tutte le proprietà del tutto. Ad esempio, un segmento non ha la stessa proprietà di una linea retta del suo infinito.

Tra le abilità che la matematica insegna e che tutti voi dovete apprendere, l'abilità di classificare concetti.

Il fatto è che la matematica, come molte altre scienze, studia non singoli oggetti o fenomeni, ma massiccio... Quindi, quando studi i triangoli, studi le proprietà di qualsiasi triangolo e ce ne sono un numero infinito. In generale, la portata di qualsiasi concetto matematico è, di regola, infinita.

Per distinguere oggetti di concetti matematici, per studiarne le proprietà, questi concetti sono solitamente suddivisi in tipi, classi. In effetti, oltre alle proprietà generali, qualsiasi concetto matematico ha molte proprietà più importanti che non sono inerenti a tutti gli oggetti di questo concetto, ma solo a oggetti di qualche tipo. Quindi, i triangoli ad angolo retto, oltre alle proprietà generali di qualsiasi triangolo, hanno molte proprietà che sono molto importanti per la pratica, ad esempio il teorema di Pitagora, rapporti tra angoli e lati, ecc.

Nel processo di studio secolare di concetti matematici, nel processo delle loro numerose applicazioni nella vita, in altre scienze, dal loro volume, alcuni tipi speciali sono stati distinti dal loro volume, con le proprietà più interessanti, che si trovano più spesso e applicato nella pratica. Quindi, ci sono infiniti quadrangoli diversi, ma in pratica, nella tecnologia, solo alcuni tipi sono i più utilizzati: quadrati, rettangoli, parallelogrammi, rombi, trapezi.

Dividere il volume di un concetto in parti è la classificazione di questo concetto. Più precisamente, la classificazione è intesa come la distribuzione di oggetti di qualsiasi concetto in classi correlate (tipi, tipi) secondo le caratteristiche più essenziali (proprietà). Viene chiamato l'attributo (proprietà) con cui viene effettuata la classificazione (divisione) del concetto in tipi (classi) base classificazione.

Una classificazione correttamente costruita di un concetto riflette le proprietà e le connessioni più essenziali tra gli oggetti di un concetto, aiuta a navigare meglio nell'insieme di questi oggetti, rende possibile stabilire tali proprietà di questi oggetti che sono più importanti per l'applicazione di questo concetto in altre scienze e nella pratica quotidiana.

La classificazione di un concetto si basa su uno o più dei motivi più significativi.

Pertanto, i triangoli possono essere classificati in base ai loro angoli. Otteniamo i seguenti tipi: ad angolo acuto (tutti gli angoli sono acuti), rettangolare (un angolo è dritto, il resto è acuto), ottuso-angolare (un angolo è ottuso, il resto è acuto). Se prendiamo la relazione tra i lati come base per la divisione dei triangoli, otteniamo i seguenti tipi: versatile, isoscele e regolare (equilatero).

È più difficile quando devi classificare un concetto per diversi motivi. Quindi, se i quadrangoli convessi sono classificati in base al parallelismo dei lati, allora in sostanza dobbiamo dividere tutti i quadrangoli convessi simultaneamente secondo due criteri: 1) una coppia di lati opposti è parallela o no; 2) la seconda coppia di lati opposti è parallela o meno. Di conseguenza, otteniamo tre tipi di quadrangoli convessi: 1) quadrangoli con lati non paralleli; 2) quadrangoli con una coppia di lati paralleli - trapezi; 3) quadrangoli con due coppie di lati paralleli - parallelogrammi.

Molto spesso, un concetto è classificato in fasi: prima su una base, poi alcune specie sono divise in sottospecie su una base diversa, ecc. Un esempio è la classificazione dei quadrangoli. Nella prima fase, sono divisi in base alla convessità. Quindi i quadrangoli convessi vengono divisi secondo il parallelismo dei lati opposti. A loro volta, i parallelogrammi sono divisi in base alla presenza di angoli retti, ecc.

Quando si esegue una classificazione, è necessario seguire alcune regole. Indichiamo i principali.

Come base per la classificazione, si può prendere solo una caratteristica comune a tutti gli oggetti di un dato concetto. Quindi, ad esempio, è impossibile prendere il segno della disposizione dei termini per gradi di qualche variabile come base per la classificazione delle espressioni algebriche. Questa caratteristica non è comune a tutte le espressioni algebriche; ad esempio, non ha senso per espressioni frazionarie o monomi. Solo i polinomi hanno questa caratteristica, quindi i polinomi possono essere classificati in base al grado più alto della variabile principale.
La base per la classificazione deve essere presa dalle proprietà essenziali (attributi) dei concetti. Considera di nuovo il concetto di espressione algebrica. Una delle proprietà di questo concetto è che le variabili incluse nell'espressione algebrica sono denotate da alcune lettere. Questa proprietà è generale, ma non essenziale, perché il carattere dell'espressione non dipende da quale lettera è designata questa o quella variabile. Quindi, espressioni algebriche x + y e a + b è essenzialmente la stessa espressione. Pertanto, non classificare le espressioni sulla base della designazione delle variabili con lettere. Un altro discorso è se prendiamo come base per la classificazione delle espressioni algebriche l'attributo del tipo di azioni con cui le variabili sono collegate, cioè le azioni che vengono eseguite sulle variabili. Questa caratteristica comune è molto essenziale e una classificazione basata su questa caratteristica sarà corretta e utile.
In ogni fase della classificazione può essere applicato un solo tipo di base.Non è possibile classificare contemporaneamente un concetto su due basi diverse. Ad esempio, è impossibile classificare i triangoli contemporaneamente sia per dimensione che per rapporto tra i lati, perché come risultato otteniamo classi di triangoli che hanno elementi comuni (ad esempio, ad angolo acuto e isoscele o ottuso e isoscele, ecc. .). Il seguente requisito di classificazione viene violato qui: come risultato della classificazione in ciascuna fase, le classi (tipi) risultanti non dovrebbero intersecarsi.
Allo stesso tempo la classificazione per qualsiasi motivo deve essere esaustiva e ogni oggetto del concetto deve rientrare come risultato della classificazione in una ed una sola classe.

Pertanto, la divisione di tutti i numeri interi in positivi e negativi non è corretta, perché il numero intero zero non rientrava in nessuna delle classi. Dovremmo dire questo: gli interi sono divisi in tre classi: positivo, negativo e il numero zero.

Spesso, quando si classificano i concetti, solo alcune classi sono chiaramente distinte e il resto è solo implicito. Quindi, ad esempio, nello studio delle espressioni algebriche, di solito si distinguono solo questi tipi: monomi, polinomi, espressioni frazionarie, irrazionali. Ma questi tipi non esauriscono tutti i tipi di espressioni algebriche, quindi tale classificazione lo è incompleto.

La completa corretta classificazione delle espressioni algebriche può essere eseguita come segue.

Nella prima fase della classificazione delle espressioni algebriche, sono divise in due classi: razionale e irrazionale. Nella seconda fase, le espressioni razionali sono divise in intere e frazionarie. Nella terza fase, le espressioni intere sono suddivise in monomi, polinomi ed espressioni intere complesse.

Questa classificazione può essere rappresentata come segue

Assegnazione 7

7.1. Perché i numeri razionali non possono essere classificati in base alla loro uniformità?

7.2. Stabilire se la divisione del concetto è corretta:

a) I valori possono essere uguali o disuguali.

b) Le funzioni aumentano e diminuiscono.

c) I triangoli isosceli possono essere ad angolo acuto, rettangolare e ad angolo ottuso.

d) I rettangoli sono quadrati e rombi.

7.3. Dividere il concetto di "figura geometrica" \u200b\u200bdalla proprietà per occupare una parte del piano e fornire esempi di ogni tipo.

7.4. Costruisci possibili schemi di classificazione per numeri razionali.

7.5. Crea uno schema di classificazione per i seguenti concetti:

a) un quadrilatero;

b) due angoli.

7.6. Classifica i seguenti concetti:

a) triangolo e cerchio;

b) angoli in un cerchio;

c) due cerchi;

d) linea retta e cerchio;

e) equazioni quadratiche;

f) un sistema di due equazioni di primo grado con due incognite.

Lezione 7. Concetti matematici

1. Gruppi di concetti studiati nel corso elementare di matematica. Caratteristiche dei concetti matematici.

2. L'ambito e il contenuto del concetto.

3. Relazioni tra concetti.

4. Operazioni sui concetti: generalizzazione, limitazione, definizione e divisione dei concetti.

5. Le regole necessarie per la formulazione della definizione dei concetti attraverso la differenza tra genere e specie.

6. Definizioni contestuali e ostensive. Descrizione, confronto.

Gruppi di concetti studiati nel corso elementare di matematica. Caratteristiche dei concetti matematici.

I concetti studiati nel corso di matematica elementare sono solitamente presentati sotto forma di quattro gruppi. Il primo include concetti relativi a numeri e operazioni su di essi: numero, addizione, somma, altro, ecc. Il secondo include concetti algebrici: espressione, uguaglianza, equazione, ecc. Il terzo compongono concetti geometrici: linea retta, segmento, triangolo, ecc. Il quarto il gruppo è composto da concetti relativi alle grandezze e alla loro misura.

Come si può studiare una tale abbondanza di concetti molto diversi?

Prima di tutto, bisogna avere un'idea del concetto come categoria logica e delle caratteristiche dei concetti matematici.

Nella logica del concetto stanno considerando come forma di pensiero, oggetti riflettenti (oggetti o fenomeni) nelle loro proprietà essenziali e generali... La forma linguistica del concetto è parola o gruppo di parole.

Crea un concetto sull'oggetto - significa saperlo distinguere da altri oggetti simili ad esso.

I concetti matematici hanno una serie di caratteristiche... Il principale è che gli oggetti matematici sui quali è necessario formare un concetto non esistono nella realtà. Gli oggetti matematici sono creati dalla mente umana. Questi sono oggetti ideali che riflettono oggetti o fenomeni reali. Ad esempio, in geometria, si studia la forma e la dimensione degli oggetti, senza tener conto delle loro altre proprietà: colore, massa, durezza, ecc. Sono distratti da tutto questo, astratti. Pertanto, in geometria, al posto della parola "oggetto" si dice "figura geometrica".

Il risultato dell'astrazione sono anche concetti matematici come "numero" e "grandezza".

In genere gli oggetti matematici esistono solo nel pensiero umano e in quei segni e simboli che formano il linguaggio matematico.

A quanto detto, possiamo aggiungere che, studiare le forme spaziali e le relazioni quantitative mondo materiale, la matematica non solo usa vari tecniche di astrazione, ma l'astrazione stessa agisce come un processo in più fasi. In matematica, considerano non solo i concetti che sono apparsi nello studio di oggetti reali, ma anche i concetti che sono sorti sulla base dei primi. Ad esempio, il concetto generale di una funzione come corrispondenza è una generalizzazione dei concetti di funzioni specifiche, ad es. astrazione dalle astrazioni.

Per padroneggiare gli approcci generali allo studio dei concetti nel corso elementare di matematica, l'insegnante ha bisogno di conoscenze sul volume e il contenuto del concetto, sulla relazione tra concetti e sui tipi di definizioni dei concetti.

2. Portata e contenuto del concetto

Ogni oggetto matematico ha determinate proprietà. Ad esempio, un quadrato ha quattro lati, quattro angoli retti uguali alla diagonale. Puoi anche specificare altre proprietà.

Tra proprietà dell'oggetto distinguere essenziale e irrilevante.

Conteggio proprietà essenzialeper un oggetto, se è inerente a questo oggetto e senza di esso non può esistere. Ad esempio, tutte le proprietà sopra menzionate sono essenziali per un quadrato. La proprietà "il lato AD è orizzontale" è irrilevante per il quadrato ABCD. Se giri il quadrato, il lato AD verrà posizionato in modo diverso (Fig.26). Pertanto, per capire cos'è un dato oggetto matematico, è necessario conoscerne le proprietà essenziali.

Ogni concetto è caratterizzato da una parola, un volume e un contenuto.

Portata del concetto e è l'insieme di tutti gli oggetti che possono essere chiamati da una data parola (termine)

Esempio. Evidenziamo il volume e il contenuto del concetto di "rettangolo".

Portata del concetto è un insieme di rettangoli diversi e in esso soddisfare include proprietà dei rettangoli come "avere quattro angoli retti", "avere lati opposti uguali", "avere diagonali uguali", ecc.

Esiste una relazione tra l'ambito di un concetto e il suo contenuto.: se il volume di un concetto aumenta, il suo contenuto diminuisce e viceversa. Quindi, ad esempio, l'ambito del concetto di "quadrato" fa parte dell'ambito del concetto di "rettangolo" e il contenuto del concetto di "quadrato" contiene più proprietà del contenuto del concetto di "rettangolo" ("tutti i lati sono uguali", "le diagonali sono reciprocamente perpendicolari", ecc.).

Qualsiasi concetto non può essere appreso senza rendersi conto della sua relazione con altri concetti. Pertanto, è importante sapere in quali relazioni possono essere i concetti ed essere in grado di stabilire queste connessioni.

Lezione 5. Concetti matematici

1. L'ambito e il contenuto del concetto. Relazioni tra concetti

2. Definizione dei concetti. Concetti definiti e indefiniti.

3. Modi per definire i concetti.

4. Risultati chiave

I concetti studiati nel corso di matematica elementare sono solitamente presentati sotto forma di quattro gruppi. Il primo include concetti relativi ai numeri e operazioni su di essi: numero, addizione, somma, altro, ecc. Il secondo include concetti algebrici: espressione, uguaglianza, equazioni, ecc. Il terzo gruppo è costituito da concetti geometrici: linea, segmento, triangolo, ecc. d. Il quarto gruppo è costituito da concetti relativi alle quantità e alla loro misurazione.

Per studiare tutta la varietà di concetti, è necessario avere un'idea del concetto come categoria logica e delle caratteristiche dei concetti matematici.

Nella logica concettivisto come forma pensierooggetti riflettenti (oggetti e fenomeni) nelle loro proprietà essenziali e generali. La forma linguistica del concetto è parola (termine) o gruppo di parole.

Comporre un'idea di un oggetto - ϶ᴛᴏ significa saperlo distinguere da altri oggetti simili ad esso. I concetti matematici hanno una serie di peculiarità. Il punto principale è che gli oggetti matematici, sui quali è estremamente importante formare un concetto, non esistono nella realtà. Gli oggetti matematici sono creati dalla mente umana. Questi sono oggetti ideali che riflettono oggetti o fenomeni reali. Ad esempio, in geometria si studia la forma e le dimensioni degli oggetti, senza tener conto di altre proprietà: colore, massa, durezza, ecc. Tutto questo è astratto. Per questo, in geometria, al posto della parola "oggetto" si dice "figura geometrica".

Il risultato dell'astrazione sono anche concetti matematici come "numero" e "grandezza".

In generale, gli oggetti matematici esistono solo nel pensiero umano e in quei segni e simboli che formano il linguaggio matematico.

A quanto detto, possiamo aggiungere quello, studiando forme spaziali e relazioni quantitative del mondo materiale, la matematica non solo utilizza vari metodi di astrazione, ma l'astrazione stessa agisce come un processo a più fasi. In matematica, considerano non solo i concetti che sono apparsi nello studio di oggetti reali, ma anche i concetti che sono sorti sulla base dei primi. Ad esempio, il concetto generale di una funzione come corrispondenza è una generalizzazione dei concetti di funzioni specifiche, ᴛ.ᴇ. astrazione dalle astrazioni.

Lo scopo e il contenuto del concetto. Relazioni tra concetti

Qualsiasi oggetto matematico ha determinate proprietà. Ad esempio, un quadrato ha quattro lati, quattro angoli retti uguali alla diagonale. Puoi anche specificare altre proprietà.

Tra le proprietà dell'oggetto ci sono significativo e insignificante... Conteggio proprietà essenziale per un oggetto se è inerente a questo oggetto e senza di esso non può esistere... Ad esempio, per un quadrato, tutte le proprietà sopra menzionate sono essenziali. La proprietà "il lato AB è orizzontale" non è essenziale per il quadrato ABCD.

Quando parlano di un concetto matematico, di solito intendono un insieme di oggetti, indicati da uno termine(parola o gruppo di parole). Quindi, parlando di un quadrato, intendono tutte le forme geometriche che sono quadrati. Si ritiene che l'insieme di tutti i quadrati sia il volume del concetto "quadrato".

In genere, lo scopo del concetto - ϶ᴛᴏ l'insieme di tutti gli oggetti designati da un termine.

Ogni concetto non ha solo volume, ma anche contenuto.

Si consideri, ad esempio, il concetto di "rettangolo".

Lo scopo del concetto è ϶ᴛᴏ un insieme di rettangoli diversi e il suo contenuto include proprietà dei rettangoli come "avere quattro angoli retti", "avere lati opposti uguali", "avere diagonali uguali", ecc.

Tra lo scopo del concetto e il suo contenuto c'è relazione: se il volume di un concetto aumenta, il suo contenuto diminuisce e viceversa... Quindi, ad esempio, il volume del concetto di "quadrato" fa parte dell'ambito del concetto di "rettangolo" e il contenuto del concetto di "quadrato" contiene più proprietà del contenuto del concetto di "rettangolo" ("tutti i lati sono uguali", "le diagonali sono reciprocamente perpendicolari" e così via).

Qualsiasi concetto non può essere appreso senza rendersi conto della sua relazione con altri concetti. Per questo motivo, è importante sapere in quali relazioni possono essere i concetti ed essere in grado di stabilire queste relazioni.

La relazione tra i concetti è strettamente correlata alla relazione tra i loro volumi, ᴛ.ᴇ. imposta.

Accettiamo di denotare concetti con lettere minuscole dell'alfabeto latino: a, b, c, d,…, z.

Si diano due concetti aeb. I loro volumi saranno indicati con A e B.

Se A ⊂ B (A ≠ B), allora si dice che il concetto a è specifico rispetto al concetto b, e il concetto b è generico rispetto al concetto a.

Ad esempio, se a è un "rettangolo", b è un "quadrilatero", allora i loro volumi A e B sono nella relazione di inclusione (A ⊂ B e A ≠ B), a questo proposito, qualsiasi rettangolo è un quadrilatero. Per questo motivo, si può sostenere che il concetto di "rettangolo" è specifico in relazione al concetto di "quadrilatero", e il concetto di "quadrilatero" è generico in relazione al concetto di "rettangolo".

Se A \u003d B, allora dicono che i concetti A e B sono identici.

Ad esempio, i concetti di "triangolo equilatero" e "triangolo isoscele" sono identici, poiché i loro volumi coincidono.

Consideriamo più in dettaglio la relazione tra genere e specie tra i concetti.

1. Innanzitutto i concetti di genere e specie sono relativi: lo stesso concetto può essere generico in relazione a un concetto e specifico in relazione a un altro. Ad esempio, il concetto di "rettangolo" è generico in relazione al concetto di "quadrato" e specifico in relazione al concetto di "quadrilatero".

2. In secondo luogo, per un dato concetto, spesso possono essere specificati diversi concetti generici. Quindi, per il concetto "rettangolo" sono generici i concetti "quadrilatero", "parallelogramma", "poligono". Tra gli indicati, puoi indicare il più vicino. Per il concetto di "rettangolo" il più vicino è il concetto di "parallelogramma".

3. Terzo, un concetto specifico ha tutte le proprietà di un concetto generico. Ad esempio, un quadrato, essendo un concetto specifico in relazione al concetto di "rettangolo", ha tutte le proprietà insite in un rettangolo.

Poiché lo scopo di un concetto è un insieme, è conveniente, quando si stabiliscono relazioni tra l'ambito dei concetti, raffigurarli usando i cerchi di Eulero.

Stabiliamo, ad esempio, la relazione tra le seguenti coppie di concetti aeb, se:

1) a - "rettangolo", b - "rombo";

2) a - "poligono", b - "parallelogramma";

3) a - "linea", b - "segmento".

Le relazioni tra gli insiemi sono mostrate rispettivamente nella figura.

2. Definizione dei concetti. Concetti definiti e indefiniti.

La comparsa in matematica di nuovi concetti, e quindi di nuovi termini che denotano questi concetti, presuppone la loro definizione.

Per definizionedi solito chiamato una frase che chiarisce l'essenza di un nuovo termine (o designazione). Di regola, lo fanno sulla base di concetti introdotti in precedenza. Ad esempio, un rettangolo può essere definito come segue: "Un rettangolo è solitamente chiamato quadrilatero, in cui tutti gli angoli sono diritti". Ci sono due parti in questa definizione: il concetto da definire (rettangolo) e il concetto di definizione (quadrilatero con tutti gli angoli a destra). Se indichiamo il primo concetto con a e il secondo con b, allora questa definizione può essere rappresentata come segue:

a è (per definizione) b.

Le parole "è (per definizione)" sono solitamente sostituite dal simbolo ⇔, e quindi la definizione ha questo aspetto:

Si legge: "a è uguale a b per definizione". Puoi anche leggere questa voce in questo modo: “ma se e solo se b.

Vengono chiamate definizioni con questa struttura esplicito... Consideriamoli più in dettaglio.

Passiamo alla seconda parte della definizione di “rettangolo”.

Si può distinguere:

1) il concetto di "quadrilatero", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ è generico in relazione al concetto di "rettangolo".

2) la proprietà "avere tutti gli angoli diritti", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ permette di selezionare un tipo di tutti i possibili quadrangoli - rettangoli; a questo proposito, si chiama differenza di specie.

In generale, una distinzione specifica è ϶ᴛᴏ proprietà (una o più) che consentono di isolare gli oggetti definiti dall'ambito di un concetto generico.

I risultati della nostra analisi possono essere presentati sotto forma di un diagramma:

Il segno "+" viene utilizzato in sostituzione della particella "e".

Sappiamo che ogni concetto ha volume. Se il concetto a è definito attraverso la differenza tra genere e specie, allora riguardo al suo volume - l'insieme A - possiamo dire che contiene oggetti che appartengono all'insieme C (il volume del generico concetto c) e hanno la proprietà P:

A \u003d (x / x ∈ C e P (x)).

Poiché la definizione di un concetto attraverso la differenza di genere e specie è essenzialmente un accordo condizionale sull'introduzione di un nuovo termine per sostituire qualsiasi insieme di termini noti, è impossibile dire sulla definizione se è vera o falsa; non è né provato né confutato. Ma, quando formulano le definizioni, aderiscono a una serie di regole. Chiamiamoli.

1. La definizione deve essere commisurato... Ciò significa che i volumi dei concetti definiti e definitivi devono coincidere.

2. Nella definizione (o nel loro sistema) non dovrebbe esserci alcun circolo vizioso... Ciò significa che non è possibile definire un concetto attraverso se stesso.

3. La definizione deve essere chiaro... È richiesto, ad esempio, che i significati dei termini inclusi nel concetto di definizione siano noti al momento dell'introduzione della definizione del nuovo concetto.

4. Lo stesso concetto viene definito attraverso la differenza tra genere e specie, osservando le regole sopra formulate, può essere diverso... Quindi, un quadrato può essere definito come:

a) un rettangolo i cui lati adiacenti sono uguali;

b) un rettangolo le cui diagonali sono reciprocamente perpendicolari;

c) un rombo che ha un angolo retto;

d) parallelogramma, in cui tutti i lati sono uguali e gli angoli sono diritti.

Diverse definizioni dello stesso concetto sono possibili a causa del gran numero di proprietà incluse nel contenuto di un concetto, solo alcune sono incluse nella definizione. E poi si sceglie una delle possibili definizioni, procedendo da quale di esse è più semplice e più conveniente per l'ulteriore costruzione della teoria.

Chiamiamo la sequenza di azioni che dobbiamo seguire se vogliamo riprodurre la definizione di un concetto familiare o costruire una definizione di uno nuovo:

1. Assegnare un nome al concetto (termine) definito.

2. Indicare il concetto generico più vicino (in relazione al concetto definito).

3. Elencare le proprietà che distinguono gli oggetti definiti dal volume generico, ovvero formulano la differenza di specie.

4. Verificare se le regole per definire il concetto sono state soddisfatte (se è proporzionato, se esiste un circolo vizioso, ecc.).