수학적 개념 유형 및 정의의 구조 예. 수학적 개념을 연구하는 방법. 형식의 기록 : 보통 분수라고 함

명제

1.1 수학적 개념, 그 내용 및 범위, 개념 분류

개념은 객체의 필수 속성과 비 필수 속성의 통합 집합에 대해 생각하는 한 형태입니다.

수학적 개념은 고유 한 특성을 가지고 있습니다. 그들은 종종 과학의 필요에서 비롯되며 실제 세계에서 유사성이 없습니다. 추상화 수준이 높습니다. 이로 인해 학생들에게 연구중인 개념의 출현을 보여주는 것이 바람직합니다 (실습의 필요성 또는 과학의 필요성에서).

각 개념은 볼륨과 내용이 특징입니다. 함유량-개념의 많은 필수 기능. 음량-이 개념이 적용될 수있는 일련의 객체. 개념의 범위와 내용 사이의 관계를 고려하십시오. 내용이 현실에 해당하고 모순되는 기호가 포함되지 않은 경우 볼륨은 빈 세트가 아니므로 개념을 도입 할 때 학생들에게 보여줘야합니다. 콘텐츠는 볼륨을 완전히 결정하며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 즉, 하나의 변경은 다른 하나의 변경을 수반합니다. 콘텐츠가 증가하면 볼륨이 감소합니다.

o 한 가지 기준으로 수행되어야합니다.

o 수업은 겹치지 않아야합니다.

o 모든 클래스의 통합은 전체 세트를 제공해야합니다.

o 분류는 연속적이어야합니다 (클래스는 분류 대상 개념과 관련하여 가장 가까운 종 개념이어야합니다).

다음 유형의 분류가 구별됩니다.

1. 수정 된 기준. 분류 할 객체는 여러 가지 특성을 가질 수 있으므로 서로 다른 방식으로 분류 할 수 있습니다.

예. "삼각형"의 개념.

2. 이분법 적. 개념의 범위를 두 가지 종 개념으로 나누는데, 그중 하나는이 기능을 가지고 있고 다른 하나는 그렇지 않습니다.

분류 교육의 목표를 강조해 보겠습니다.

1) 논리적 사고의 발달;

2) 종의 차이를 연구함으로써 우리는 일반적인 개념에 대한 더 명확한 아이디어를 형성합니다.

두 가지 유형의 분류가 학교에서 사용됩니다. 일반적으로 먼저 이분법 적이며 수정 된 문자에 따라 다릅니다.

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강의 2

수학

주제 : "수학적 개념"

수학적 개념

개념의 정의

정의 요구 사항

어떤 종류의 정의

1. 수학적 개념

수학 초등 과정에서 공부하는 개념은 일반적으로 네 그룹의 형태로 제시됩니다. 첫 번째는 숫자 및 연산과 관련된 개념을 포함합니다 : 숫자, 덧셈, 합산, 더 큰 등. 두 번째는 표현, 등식, 방정식 등 대수 개념을 포함합니다. 세 번째는 기하학적 개념으로 구성됩니다 : 선, 세그먼트, 삼각형 , 등등. 네 번째 그룹은 수량 및 측정과 관련된 개념으로 구성됩니다.

매우 다른 개념의 풍부함을 어떻게 연구 할 수 있습니까?

우선 논리적 범주로서의 개념과 수학적 개념의 특징에 대한 아이디어가 있어야합니다.

논리에서 개념은 본질적이고 일반적인 속성에있는 대상 (대상 또는 현상)을 반영하는 생각의 한 형태로 간주됩니다. 개념의 언어 적 형태는 단어 또는 단어 그룹입니다.

객체에 대한 개념을 구성한다는 것은 유사한 다른 객체와 구별 할 수 있다는 것을 의미합니다. 수학적 개념에는 여러 가지 특징이 있습니다. 주된 것은 개념을 형성하는 데 필요한 수학적 대상이 실제로 존재하지 않는다는 것입니다. 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 이들은 실제 물체 또는 현상을 반영하는 이상적인 물체입니다. 예를 들어, 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등의 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 그들은이 모든 것에서 산만 해지고 추상화되어 있습니다. 따라서 기하학에서는 "객체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다.

추상화의 결과는 "숫자"와 "크기"와 같은 수학적 개념이기도합니다.

일반적으로 수학적 대상은 인간의 사고와 수학적 언어를 형성하는 기호와 상징에만 존재합니다.

이미 말한 것에 덧붙여 물질 세계의 공간적 형태와 양적 관계를 연구하면서 수학은 다양한 추상화 방법을 사용할뿐만 아니라 추상화 자체가 다단계 과정으로 작용한다는 점을 덧붙일 수있다. 수학에서는 실물 연구에 나타난 개념뿐만 아니라 전자를 바탕으로 한 개념도 고려합니다. 예를 들어, 대응으로서의 기능의 일반적인 개념은 특정 기능의 개념을 일반화 한 것입니다. 추상화에서 추상화.

수학 초등 과정에서 개념 연구에 대한 일반적인 접근 방식을 습득하려면 교사는 개념의 양과 내용, 개념 간의 관계 및 개념 정의 유형에 대한 지식이 필요합니다.

2. 개념의 범위와 내용. 개념 간의 관계

모든 수학적 개체에는 특정 속성이 있습니다. 예를 들어 정사각형에는 4 개의 변이 있고 대각선과 같은 4 개의 직각이 있습니다. 다른 속성도 지정할 수 있습니다.

물체의 속성 중 필수와 중요하지 않은 것이 구별됩니다. 속성이이 개체에 내재되어 있고 속성 없이는 존재할 수없는 경우 개체에 필수적인 것으로 간주됩니다. 예를 들어 위에서 언급 한 모든 속성은 사각형에 필수적입니다. "측면 AD는 수평"속성은 사각형 ABCD와 관련이 없습니다. 사각형을 돌리면 AD 쪽이 다른 방향으로 배치됩니다 (그림 26).

따라서 주어진 수학적 대상이 무엇인지 이해하기 위해서는 본질적인 속성을 알아야합니다.

수학적 개념에 대해 이야기 할 때 일반적으로 한 용어 (단어 또는 단어 그룹)로 표시되는 객체 집합을 의미합니다. 따라서 정사각형이라고하면 정사각형 인 모든 기하학적 모양을 의미합니다. 모든 사각형의 집합은 "사각형"개념의 범위라고 믿어집니다.

일반적으로 개념의 범위는 한 용어로 지정된 모든 개체의 집합입니다.

모든 개념에는 볼륨뿐만 아니라 내용도 있습니다.

예를 들어 "직사각형"의 개념을 고려하십시오.

개념의 범위는 서로 다른 사각형의 집합이며 그 내용에는 "직각이 4 개 있습니다", "반대 변이 같음", "대각선이 같음"등의 사각형 속성이 포함됩니다.

개념의 양과 내용 사이에는 관계가 있습니다. 개념의 양이 증가하면 내용이 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 예를 들어, "사각형"개념의 범위는 "사각형"개념의 범위의 일부이고 "사각형"개념의 내용은 "사각형"개념의 내용보다 더 많은 속성을 포함합니다. ( "모든 변이 같음", "대각선이 서로 수직 임"등).

다른 개념과의 관계를 깨닫지 않고는 어떤 개념도 배울 수 없습니다. 따라서 관계 개념이 무엇인지 알고 이러한 연결을 설정할 수 있어야합니다.

개념 간의 관계는 볼륨 간의 관계와 밀접한 관련이 있습니다. 세트.

라틴 알파벳의 소문자로 개념을 표시하는 데 동의합시다 : a, b, c, ..., z.

두 가지 개념 a와 b가 주어집니다. 볼륨은 A와 B로 표시됩니다.

만약 B (A ≠ B), 그런 다음 개념이 a-개념과 관련하여 특정비및 개념 비 -개념과 관련하여 일반적.

예를 들어, a가 "직사각형"이고 b가 "사각형"이면 볼륨 A와 B는 포함 (A B와 A ≠ B), 모든 직사각형은 사각형이기 때문입니다. 따라서 "사각형"개념은 "사각형"개념과 관련하여 구체적이고 "사각형"개념은 "사각형"개념과 관련하여 일반적이라고 주장 할 수 있습니다.

A \u003d B이면 다음과 같이 말합니다. 개념 a 및비 동일합니다.

예를 들어, "정삼각형"과 "정삼각형"개념은 볼륨이 일치하기 때문에 동일합니다.

집합 A와 B가 포함 관계에 의해 관련되지 않으면 개념 a와 b가 속과 종과 관련이 없으며 동일하지 않다고 말합니다. 예를 들어, "삼각형"과 "사각형"개념은 이러한 관계로 연결되지 않습니다.

개념 사이의 속과 종의 관계를 더 자세히 고려해 보겠습니다. 첫째, 속과 종의 개념은 상대적입니다. 동일한 개념이 한 개념과 관련하여 일반적이고 다른 개념과 관련하여 구체적 일 수 있습니다. 예를 들어, "사각형"의 개념은 "사각형"개념과 관련하여 일반적이고 "사각형"개념과 관련하여 구체적입니다.

둘째, 주어진 개념에 대해 여러 일반 개념을 지정할 수 있습니다. 따라서 "직사각형"개념의 경우 일반적인 개념은 "사각형", "평행 사변형", "다각형"입니다. 그중 가장 가까운 것을 나타낼 수 있습니다. "직사각형"개념의 경우 가장 가까운 개념은 "평행 사변형"개념입니다.

셋째, 특정 개념에는 일반 개념의 모든 속성이 있습니다. 예를 들어, "직사각형"개념과 관련된 특정 개념 인 정사각형은 직사각형 고유의 모든 속성을 갖습니다.

개념의 범위가 집합이기 때문에 개념의 범위 사이의 관계를 설정할 때 오일러 원을 사용하여 묘사하는 것이 편리합니다.

예를 들어 다음과 같은 개념 a와 b 사이의 관계를 설정해 보겠습니다.

1) a- "직사각형", b- "마름모";

2) a- "다각형", b- "평행 사변형";

3) a- "라인", b- "세그먼트".

경우 1) 개념의 양이 교차하지만 한 세트가 다른 세트의 하위 집합이 아닙니다 (그림 27).

따라서 이러한 개념 a와 b는 속과 종과 관련이 없다고 주장 할 수 있습니다.

경우 2) 개념의 데이터 볼륨은 포함과 관련되어 있지만 일치하지는 않습니다. 모든 평행 사변형은 다각형이지만 그 반대는 아닙니다 (그림 28). 따라서 "평 행사 그램"의 개념은 "다각형"의 개념과 관련하여 구체적이고 "다각형"의 개념은 "평 행사 그램"의 개념과 관련하여 일반적이라고 주장 할 수 있습니다.

경우 3) 개념의 부피가 교차하지 않는데, 어떤 세그먼트도 직선이라고 말할 수없고 어떤 직선도 세그먼트라고 부를 수 없기 때문입니다 (그림 29).

결과적으로 이러한 개념은 속과 종과 관련이 없습니다.

"선"과 "세그먼트"의 개념에 대해 우리는 전체와 부분과 관련이 있습니다. 선분은 종류가 아니라 직선의 일부입니다. 그리고 특정 개념에 일반 개념의 모든 속성이있는 경우 부품이 전체의 모든 속성을 가질 필요는 없습니다. 예를 들어 세그먼트에는 무한대와 동일한 직선 속성이 없습니다.

수학이 가르치는 기술과 여러분 모두가 배워야하는 기술 중 나누다 개념.

사실 수학은 다른 많은 과학과 마찬가지로 단일 물체 나 현상을 연구하는 것이 아니라 거대한... 따라서 삼각형을 연구 할 때 삼각형의 속성을 연구하면 무한한 수가 있습니다. 일반적으로 모든 수학적 개념의 범위는 일반적으로 무한합니다.

수학적 개념의 대상을 구별하고 그 속성을 연구하기 위해 이러한 개념은 일반적으로 유형, 클래스로 나뉩니다. 사실, 일반적인 속성 외에도 모든 수학적 개념은이 개념의 모든 대상에 내재되어 있지 않고 어떤 종류의 대상에만 내재되어있는 훨씬 더 중요한 속성을 가지고 있습니다. 따라서 직각 삼각형은 모든 삼각형의 일반적인 속성 외에도 연습에 매우 중요한 많은 속성을 가지고 있습니다. 피타고라스 정리, 각도와 측면 사이의 비율 등

수세기 동안 수학적 개념을 연구하는 과정에서 인생, 다른 과학, 볼륨에서 수많은 응용 과정에서 일부 특수 유형은 볼륨과 구별되어 가장 흥미로운 속성을 가지며 가장 자주 발견됩니다. 실제로 적용되었습니다. 따라서 무한히 많은 사각형이 있지만 실제로 기술에서는 정사각형, 직사각형, 평행 사변형, 마름모, 사다리꼴 등 특정 유형 만 가장 많이 사용됩니다.

개념의 볼륨을 부분으로 나누는 것이이 개념의 분류입니다. 보다 정확하게는 분류는 모든 개념의 객체를 가장 필수적인 기능 (속성)에 따라 상호 관련된 클래스 (유형, 유형)로 배포하는 것으로 이해됩니다. 개념을 유형 (클래스)으로 분류 (분할)하는 속성 (속성)을 호출합니다. 기초 분류.

개념의 올바르게 구성된 분류는 개념의 개체 간의 가장 필수적인 속성 및 연결을 반영하고 이러한 개체 집합을 더 잘 탐색하는 데 도움이되며 응용 프로그램에 가장 중요한 이러한 개체의 속성을 설정할 수 있습니다. 이 개념은 다른 과학과 일상적인 실습에서.

개념의 분류는 하나 이상의 가장 중요한 근거에서 이루어집니다.

따라서 삼각형은 각도에 따라 분류 할 수 있습니다. 예각 (모든 각도가 예각), 직사각형 (한 모서리가 곧고 나머지가 예각), 둔각 (한 모서리가 둔각, 나머지가 날카 롭다) 유형이 있습니다. 삼각형을 나누는 기준으로 변 간의 관계를 취하면 다용도, 이등변 및 정답 (등변) 유형을 얻습니다.

여러 가지 이유로 개념을 분류해야 할 때 더 어렵습니다. 따라서 볼록 사각형이 측면의 평행도에 따라 분류되면 본질적으로 모든 볼록 사각형을 두 가지 기준에 따라 동시에 나눌 필요가 있습니다. 1) 한 쌍의 반대쪽이 평행하거나 그렇지 않습니다. 2) 반대편의 두 번째 쌍이 평행하거나 그렇지 않습니다. 결과적으로 세 가지 유형의 볼록 사각형을 얻습니다. 1) 측면이 평행하지 않은 사각형; 2) 한 쌍의 평행면이있는 사각형-사다리꼴; 3) 두 쌍의 평행면이있는 사각형-평행 사변형.

개념은 단계로 분류되는 경우가 종종 있습니다. 먼저 한 가지 기준으로 일부 종은 다른 기준으로 아종으로 나뉩니다. 예는 사각형의 분류입니다. 첫 번째 단계에서는 볼록도에 따라 나뉩니다. 그런 다음 볼록한 사각형은 반대쪽의 평행도에 따라 나뉩니다. 차례로 평행 사변형은 직각 등의 존재에 따라 나뉩니다.

분류를 수행 할 때 특정 규칙을 따라야합니다. 주요 사항을 표시하겠습니다.

분류의 기초로서 주어진 개념의 모든 객체의 공통된 특징만을 취할 수 있습니다. 예를 들어, 대수 표현의 분류를위한 기준으로 일부 변수의 정도에 따른 용어 배열의 부호를 취하는 것은 불가능합니다. 이 기능은 모든 대수식에 공통적 인 것은 아닙니다. 예를 들어 분수식이나 단항식에는 의미가 없습니다. 다항식에만이 기능이 있으므로 다항식은 주변 수의 최고 수준에 따라 분류 할 수 있습니다.
분류의 기초는 개념의 필수 속성 (속성)을 취해야합니다. 대수 표현의 개념을 다시 고려하십시오. 이 개념의 속성 중 하나는 대수식에 포함 된 변수가 일부 문자로 표시된다는 것입니다. 이 속성은 일반적이지만 필수는 아닙니다. 표현식의 문자는 this 또는 that 변수가 지정된 문자에 의존하지 않기 때문입니다. 따라서 대수식 x + y 과 a + b 본질적으로 같은 표현입니다. 따라서 문자로 변수를 지정하여 표현식을 분류해서는 안됩니다. 변수가 연결되는 행동 유형의 속성, 즉 변수에 대해 수행되는 행동을 대수식 분류의 기초로 삼는 것은 또 다른 문제입니다. 이 공통 기능은 매우 중요하며이 기능을 기반으로 한 분류가 정확하고 유용합니다.
분류의 각 단계에서 한 종류의 기준 만 적용 할 수 있습니다.두 가지 다른 근거로 개념을 동시에 분류 할 수 없습니다. 예를 들어, 크기와 변 사이의 비율 모두에서 삼각형을 한 번에 분류하는 것은 불가능합니다. 그 결과 공통 요소 (예 : 예각 및 이등변 또는 둔각 및 이등변 등)를 갖는 삼각형 클래스를 얻기 때문입니다. .). 여기에서 다음 분류 요구 사항을 위반합니다. 각 단계의 분류 결과 결과 클래스 (유형)가 교차해서는 안됩니다.
동시에 어떤 이유로 든 분류는 철저해야하며 개념의 각 객체는 분류의 결과로 단 하나의 클래스로 분류되어야합니다.

따라서 정수 0이 어떤 클래스에도 속하지 않았기 때문에 모든 정수를 양수와 음수로 나누는 것은 올바르지 않습니다. 우리는 이것을 말해야합니다 : 정수는 양수, 음수 및 숫자 0의 세 가지 클래스로 나뉩니다.

종종 개념을 분류 할 때 일부 클래스 만 명확하게 구별되고 나머지는 암시적일뿐입니다. 예를 들어, 대수 표현 연구에서 이러한 유형의 단항식, 다항식, 분수식, 비이성적 만 구별됩니다. 그러나 이러한 유형은 모든 유형의 대수 표현식을 소진하지 않으므로 이러한 분류는 다음과 같습니다. 불완전한.

대수식의 완전한 정확한 분류는 다음과 같이 수행 할 수 있습니다.

대수 표현 분류의 첫 번째 단계에서는 합리적 및 비이성적이라는 두 가지 클래스로 나뉩니다. 두 번째 단계에서 합리적 표현은 전체와 분수로 나뉩니다. 세 번째 단계에서 전체 표현식은 단항식, 다항식 및 복잡한 전체 표현식으로 나뉩니다.

이 분류는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

과제 7

7.1. 왜 유리수를 균등성에 따라 분류 할 수 없습니까?

7.2. 개념의 구분이 올바른지 확인하십시오.

a) 값은 같거나 같지 않을 수 있습니다.

b) 기능이 증가하고 감소하고 있습니다.

c) 이등변 삼각형은 예각, 직사각형 및 둔각 일 수 있습니다.

d) 직사각형은 정사각형과 마름모입니다.

7.3. "기하학적 도형"의 개념을 속성으로 나누어 평면의 일부를 차지하고 각 유형의 예를 제공합니다.

7.4. 유리수에 대한 가능한 분류 체계를 구축하십시오.

7.5. 다음 개념에 대한 분류 체계를 작성하십시오.

a) 사각형;

b) 두 모서리.

7.6. 다음 개념을 분류하십시오.

a) 삼각형과 원;

b) 원의 모서리;

c) 두 개의 원;

d) 직선과 원;

e) 2 차 방정식;

f) 미지수가 2 개인 1 차 방정식 2 개 시스템.

강의 7. 수학적 개념

1. 수학 초등 과정에서 공부 한 개념 그룹. 수학적 개념의 특징.

2. 개념의 범위와 내용.

3. 개념 간의 관계.

4. 개념이있는 작업 : 개념의 일반화, 제한, 정의 및 분할.

5. 속과 종의 차이를 통한 개념 정의의 공식화에 필요한 규칙.

6. 문맥 및 표면적 정의. 설명, 비교.

수학 초등 과정에서 공부 한 개념 그룹. 수학적 개념의 특징.

초등 수학 과정에서 공부하는 개념은 일반적으로 네 그룹의 형태로 제공됩니다. 첫번째 숫자, 덧셈, 요약 등 숫자 및 연산과 관련된 개념이 포함됩니다. 두번째 표현, 평등, 방정식 등 대수 개념을 포함합니다. 세 번째 기하학적 개념 구성 : 직선, 선분, 삼각형 등 네번째 그룹은 수량 및 측정과 관련된 개념으로 구성됩니다.

매우 다른 개념의 풍부함을 어떻게 연구 할 수 있습니까?

우선 논리적 범주로서의 개념과 수학적 개념의 특징에 대한 아이디어가 있어야합니다.

개념의 논리에서 고려 중 생각의 형태로, 반사 물체 (물체 또는 현상) 필수적이고 일반적인 속성... 개념의 언어 적 형태는 워드 또는 단어 그룹.

개체에 대한 개념을 만듭니다. -그것은 유사한 다른 물체와 구별 할 수 있다는 것을 의미합니다.

수학적 개념에는 여러 기능이 있습니다.... 가장 중요한 것은 개념을 공식화하는 데 필요한 수학적 대상이 실제로 존재하지 않는다는 것입니다. 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 이들은 실제 물체 나 현상을 반영하는 이상적인 물체입니다. 예를 들어, 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등의 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 그들은이 모든 것에서 산만 해지고 추상화되어 있습니다. 따라서 기하학에서는 "객체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다.

추상화는 "숫자"및 "크기"와 같은 수학적 개념을 생성합니다.

일반적으로 수학적 대상은 인간의 사고에만 존재합니다. 그리고 수학적 언어를 형성하는 기호와 상징에서.

말한 내용에 추가 할 수 있습니다. 공간적 형태와 양적 관계 연구 물질 세계, 수학은 다양한 추상화 기술하지만 추상화 자체는 다단계 프로세스로 작동합니다. 수학에서는 실제 사물 연구에 나타난 개념뿐만 아니라 전자를 기반으로 한 개념도 고려합니다. 예를 들어, 대응으로서의 기능의 일반적인 개념은 특정 기능의 개념의 일반화입니다. 추상화에서 추상화.

수학 초등 과정의 개념 연구에 대한 일반적인 접근 방식을 습득하려면 교사는 개념의 범위와 내용, 개념 간의 관계 및 개념 정의 유형에 대한 지식이 필요합니다.

2. 개념의 범위와 내용

모든 수학적 개체에는 특정 속성이 있습니다. 예를 들어 정사각형에는 4 개의 변이 있고 대각선과 동일한 4 개의 직각이 있습니다. 다른 속성도 지정할 수 있습니다.

의 사이에 개체 속성 드러내다 실질적인 과 무관.

부동산 수 본질적인객체가이 객체에 내재되어 있고 객체가 없으면 존재할 수 없습니다. 예를 들어 정사각형의 경우 위에서 언급 한 모든 속성이 필수입니다. "측면 AD가 수평"속성은 사각형 ABCD와 관련이 없습니다. 사각형을 돌리면 AD 쪽이 다른 방향으로 배치됩니다 (그림 26). 따라서 주어진 수학적 대상이 무엇인지 이해하려면 본질적인 속성을 알아야합니다.

수학적 개념에 대해 이야기 할 때 일반적으로 한 용어 (단어 또는 단어 그룹)로 표시되는 일련의 객체를 의미합니다. 따라서 정사각형이라고하면 정사각형 인 모든 기하학적 모양을 의미합니다. 모든 사각형의 집합은 "사각형"개념의 범위라고 믿어집니다.

모든 개념은 단어, 볼륨 및 내용이 특징입니다.

개념의 범위 과 주어진 단어 (용어)로 호출 할 수있는 모든 객체의 집합입니다.

예. "직사각형"개념의 볼륨과 내용을 강조하겠습니다.

개념의 범위 서로 다른 직사각형의 집합입니다. 함유량 "직각이 4 개 있습니다", "반대 변이 같음", "대각선이 같음"등과 같은 직사각형의 속성을 포함합니다.

개념의 범위와 내용 사이에는 관계가 있습니다.: 개념의 양이 증가하면 내용이 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 예를 들어, "사각형"개념의 범위는 "사각형"개념의 범위의 일부이고 "사각형"개념의 내용은 "사각형"개념의 내용보다 더 많은 속성을 포함합니다. ( "모든 변이 같음", "대각선이 서로 수직 임"등).

다른 개념과의 관계를 깨닫지 않고는 어떤 개념도 배울 수 없습니다. 따라서 관계 개념이 무엇인지 알고 이러한 연결을 설정할 수있는 것이 중요합니다.

강의 5. 수학적 개념

1. 개념의 범위와 내용. 개념 간의 관계

2. 개념의 정의. 정의 및 정의되지 않은 개념.

3. 개념을 정의하는 방법.

4. 주요 결과

수학 초등 과정에서 공부하는 개념은 일반적으로 네 그룹의 형태로 제공됩니다. 첫 번째는 숫자, 더하기, 합산, 더 큰 등의 연산과 관련된 개념을 포함합니다. 두 번째는 표현, 등식, 방정식 등의 대수 개념을 포함합니다. 세 번째 그룹은 기하학적 개념으로 구성됩니다 : 선, 세그먼트, 삼각형 등 .d. 네 번째 그룹은 수량 및 측정과 관련된 개념으로 구성됩니다.

다양한 개념을 모두 연구하려면 개념을 논리적 범주로 이해하고 수학적 개념의 특징을 알아야합니다.

논리에서 개념로 간주 생각 형태본질적이고 일반적인 속성으로 사물 (객체와 현상)을 반영합니다. 개념의 언어 적 형태는 다음과 같습니다. 단어 (용어) 또는 단어 그룹.

사물의 아이디어를 구성하려면-϶ᴛᴏ는 유사한 다른 사물과 구별 할 수 있다는 의미입니다. 수학적 개념에는 여러 가지 특징이 있습니다. 요점은 개념을 형성하는 것이 매우 중요한 수학적 대상이 현실에 존재하지 않는다는 것입니다. 수학적 대상은 인간의 마음에 의해 만들어집니다. 이들은 실제 사물이나 현상을 반영하는 이상적인 사물입니다. 예를 들어, 기하학에서는 색상, 질량, 경도 등의 다른 속성을 고려하지 않고 물체의 모양과 크기를 연구합니다. 이 모든 것이 추상화되었습니다. 이러한 이유로 기하학에서는 "객체"라는 단어 대신 "기하학적 도형"이라고 말합니다.

추상화는 "숫자"및 "크기"와 같은 수학적 개념을 생성합니다.

일반적으로 수학적 대상은 사람의 생각과 수학적 언어를 형성하는 기호와 상징에만 존재합니다.

말한 것에 추가 할 수 있습니다. 물질 세계의 공간적 형태와 양적 관계, 수학은 다양한 추상화 방법을 사용할뿐만 아니라 추상화 자체가 다단계 프로세스로 작동합니다. 수학에서는 실물 연구에 나타난 개념뿐만 아니라 전자를 바탕으로 한 개념도 고려합니다. 예를 들어, 대응으로서의 함수의 일반적인 개념은 특정 함수 ᴛ.ᴇ의 개념을 일반화 한 것입니다. 추상화에서 추상화.

개념의 범위와 내용. 개념 간의 관계

개체의 속성은 다음과 같습니다. 중요하고 중요하지 않은... 부동산 수 객체가이 객체에 내재되어 있고 객체 없이는 존재할 수없는 경우 객체에 필수적입니다.... 예를 들어 정사각형의 경우 위에서 언급 한 모든 속성이 필수입니다. 정사각형 ABCD에는 "측면 AB가 수평"이라는 속성이 필수가 아닙니다.

그들이 수학적 개념에 대해 말할 때, 그들은 일반적으로 하나로 표시되는 일련의 객체를 의미합니다. 기간(단어 또는 단어 그룹). 따라서 정사각형이라고하면 정사각형 인 모든 기하학적 모양을 의미합니다. 모든 정사각형의 집합은 "정사각형"개념의 부피라고 믿어집니다.

일반적으로, 개념의 범위-϶ᴛᴏ 한 용어로 지정된 모든 개체 집합.

모든 개념에는 볼륨뿐만 아니라 내용도 있습니다.

예를 들어, "직사각형"의 개념을 고려하십시오.

개념의 범위는 서로 다른 직사각형 집합이며, 그 내용에는 "직각이 4 개 있습니다", "반대 변이 같음", "대각선이 같음"등의 사각형 속성이 포함됩니다.

개념의 범위와 내용 사이에는 관계 : 개념의 양이 증가하면 내용이 감소하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.... 예를 들어, "사각형"개념의 범위는 "사각형"개념의 범위의 일부이고 "사각형"개념의 내용은 "사각형"개념의 내용보다 더 많은 속성을 포함합니다. ( "모든 변이 같음", "대각선이 서로 수직 임"등).

다른 개념과의 관계를 깨닫지 않고는 어떤 개념도 배울 수 없습니다. 이러한 이유로 관계 개념이 무엇인지 알고 이러한 관계를 설정할 수있는 것이 중요합니다.

개념 간의 관계는 볼륨 ᴛ.ᴇ 간의 관계와 밀접한 관련이 있습니다. 세트.

라틴 알파벳의 소문자로 개념을 표시하는 데 동의합시다 : a, b, c, d,…, z.

두 개의 개념 a와 b가 주어집니다. 볼륨은 각각 A와 B로 지정됩니다.

A ⊂ B (A ≠ B)이면 개념 a는 개념 b에 대해 구체적이고 개념 b는 개념 a에 대해 일반적이라고 말합니다.

예를 들어, a가 "직사각형"이고 b가 "사각형"이면 볼륨 A와 B는 포함 관계에 있습니다 (A ⊂ B 및 A ≠ B).이 점에서 모든 직사각형은 사각형입니다. 이러한 이유로 "사각형"의 개념은 "사각형"의 개념과 관련하여 구체적이고 "사각형"의 개념은 "사각형"의 개념과 관련하여 일반적이라고 주장 할 수 있습니다.

A \u003d B이면 개념 A와 B가 동일하다고 말합니다.

예를 들어, "정삼각형"과 "등변 삼각형"의 개념은 볼륨이 일치하기 때문에 동일합니다.

개념 사이의 속과 종의 관계를 더 자세히 고려해 보겠습니다.

1. 우선, 속과 종의 개념은 상대적입니다. 동일한 개념이 하나의 개념과 관련하여 일반적이고 다른 개념과 관련하여 구체적 일 수 있습니다. ㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ ㅇㅇㅇ 예를 들어, "사각형"개념은 "사각형"개념과 관련하여 일반적이고 "사각형"개념과 관련하여 구체적입니다.

2. 둘째, 주어진 개념에 대해 몇 가지 일반적인 개념을 나타낼 수있는 경우가 많습니다. 따라서 "사각형"개념의 경우 일반 개념은 "사각형", "평행도", "다각형"입니다. 표시된 것 중에서 가장 가까운 것을 나타낼 수 있습니다. "직사각형"개념에서 가장 가까운 개념은 "평행 사변형"개념입니다.

3. 셋째, 특정 개념은 일반 개념의 모든 속성을 가지고 있습니다. 예를 들어, "직사각형"개념과 관련된 특정 개념 인 정사각형은 직사각형에 내재 된 모든 속성을 갖습니다.

개념의 범위가 집합이기 때문에 개념의 범위 사이의 관계를 설정할 때 오일러 원을 사용하여 묘사하는 것이 편리합니다.

예를 들어, 다음과 같은 개념 a와 b 사이의 관계를 설정해 보겠습니다.

1) a- "직사각형", b- "마름모";

2) a- "다각형", b- "평행 사변형";

3) a- "직선", b- "세그먼트".

세트 간의 관계는 각각 그림에 나와 있습니다.

2. 개념의 정의. 정의 및 정의되지 않은 개념.

새로운 개념의 수학에서의 출현, 따라서 이러한 개념을 나타내는 새로운 용어는 그 정의를 전제로합니다.

정의에 따라일반적으로 새로운 용어 (또는 지정)의 본질을 설명하는 문장이라고합니다. 일반적으로 이전에 소개 된 개념을 기반으로이 작업을 수행합니다. 예를 들어 사각형은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. "사각형은 일반적으로 모든 모서리가 직선 인 사각형이라고합니다." 이 정의에는 정의되는 개념 (직사각형)과 정의하는 개념 (모든 각도가 직각 인 사각형)의 두 부분이 있습니다. 첫 번째 개념을 a로 표시하고 두 번째 개념을 b로 표시하면이 정의는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

a는 (정의상) b.

"is (정의상)"라는 단어는 일반적으로 기호 ⇔로 대체되며 정의는 다음과 같습니다.

그들은 "a는 정의상 b와 같다"라고 읽습니다. 이 항목을 다음과 같이 읽을 수도 있습니다.“그러나 b.

이 구조를 가진 정의는 명백한... 더 자세히 고려해 봅시다.

"직사각형"정의의 두 번째 부분을 살펴 보겠습니다.

다음과 같이 구별 할 수 있습니다.

1) "사각형"의 개념, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ은 "사각형"의 개념과 관련하여 일반적입니다.

2) 속성 "모든 각도를 똑바로 가짐", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ는 가능한 모든 사각형 중 한 가지 유형 (사각형)을 선택할 수 있도록합니다. 이와 관련하여 종 차이라고합니다.

일반적으로 특정 구별은 일반 개념의 범위에서 정의 된 객체를 구분할 수있는 하나 이상의 속성입니다.

분석 결과는 다이어그램 형식으로 표시 할 수 있습니다.

"+"기호는 "and"입자를 대체하는 데 사용됩니다.

우리는 어떤 개념에도 볼륨이 있다는 것을 알고 있습니다. 개념 a가 속과 종의 차이를 통해 정의 된 경우 볼륨 (집합 A)에 대해 집합 C (일반 개념 c의 볼륨)에 속하고 속성 P를 갖는 객체를 포함한다고 말할 수 있습니다.

A \u003d (x / x ∈ C 및 P (x)).

속과 종의 차이를 통한 개념의 정의는 본질적으로 알려진 용어 세트를 대체하기위한 새로운 용어의 도입에 대한 조건부 합의이기 때문에 그것이 참인지 거짓인지에 대해 말할 수 없습니다. 그것은 입증되거나 반박되지 않습니다. 그러나 정의를 공식화 할 때 여러 규칙을 준수합니다. 그들을 부르 자.

1. 정의는 이에 상응하는... 이것은 정의되고 정의 된 개념의 양이 일치해야 함을 의미합니다.

2. 정의 (또는 시스템) 악순환이 없어야합니다... 이것은 자신을 통해 개념을 정의 할 수 없음을 의미합니다.

3. 정의는 맑은... 예를 들어, 정의 개념에 포함 된 용어의 의미는 새로운 개념의 정의가 도입 될 때까지 알 수 있어야합니다.

4. 위의 규칙을 준수하면서 속과 종의 차이를 통해 하나의 동일한 개념을 정의하고, 다른 방법으로 할 수 있습니다... 따라서 사각형은 다음과 같이 정의 할 수 있습니다.

a) 인접한 변이 같은 직사각형;

b) 대각선이 서로 수직 인 직사각형;

c) 직각을 가진 마름모;

d) 모든면이 같고 모서리가 직선 인 평행 사변형.

개념의 내용에 포함 된 속성이 많기 때문에 동일한 개념의 다른 정의가 가능하며 정의에는 몇 가지만 포함됩니다. 그런 다음 가능한 정의에서 하나가 선택되어 이론의 추가 구성을 위해 더 간단하고 편리합니다.

익숙한 개념의 정의를 재현하거나 새로운 개념의 정의를 구축하려는 경우 따라야하는 일련의 작업에 이름을 지정해 보겠습니다.

1. 정의되는 개념 (용어)의 이름을 지정하십시오.

2. 가장 가까운 일반 개념 (정의 된 것과 관련하여)을 표시하십시오.