مفاهیم ریاضی انواع و ساختار تعاریف نمونه ها هستند. روش های مطالعه مفاهیم ریاضی. سوابق فرم: تماس با کسری های معمولی
پایان نامه
1.1 مفاهیم ریاضی، محتوای و حجم آنها، طبقه بندی مفاهیم
این مفهوم یک شکل از تفکر در مورد جمع آوری جامع از خواص ضروری و ناچیز شی است.
مفاهیم ریاضی ویژگی های خود را دارند: آنها اغلب از نیاز به علم بوجود می آیند و هیچ گونه آنالوگ در دنیای واقعی ندارند؛ آنها درجه زیادی از انتزاع دارند. به لطف این، مطلوب است که دانش آموزان ظهور یک مفهوم مورد مطالعه (یا از نیاز به تمرین یا نیاز به علم) را نشان دهند.
هر مفهوم با حجم و محتوای مشخص می شود. محتوا- بسیاری از نشانه های ضروری از مفهوم. جلد- بسیاری از اشیاء که این مفهوم قابل اجرا است. رابطه بین حجم و محتوای مفهوم را در نظر بگیرید. اگر محتوای مربوط به واقعیت باشد و شامل نشانه های متناقض نباشد، حجم یک مجموعه خالی نیست، که مهم است که دانش آموزان را با معرفی مفهوم نشان دهند. محتوای به طور کامل حجم را تعیین می کند و بالعکس. این بدان معنی است که تغییر در یک تغییر تغییر در دیگری: اگر محتوای افزایش یابد، حجم آن کاهش می یابد.
o باید بر اساس یک صورت انجام شود
کلاس ها نباید تقاطع شوند؛
o ترکیب تمام کلاس ها باید تمام مجموعه ها را بدهد؛
طبقه بندی باید مداوم باشد (کلاس ها باید نزدیکترین مفاهیم گونه ای در ارتباط با مفهوم که طبقه بندی مورد نظر باشد) باشد.
انواع طبقه بندی زیر را تخصیص دهید:
1. توسط یک نشانه اصلاح شده. اشیاء مربوط به طبقه بندی ممکن است چندین ویژگی داشته باشند، بنابراین شما می توانید به طور متفاوتی طبقه بندی کنید.
مثال. مفهوم "مثلث".
2. dichotomic. تقسیم حجم مفاهیم به دو مفاهیم گونه، یکی از آنها این ویژگی را دارد و دیگری نیست.
ما اهداف طبقه بندی را برجسته می کنیم:
1) توسعه تفکر منطقی؛
2) مطالعه تفاوت های گونه ها، ما یک ایده واضح تر از یک مفهوم عمومی را ایجاد می کنیم.
هر دو نوع طبقه بندی در مدرسه استفاده می شود. به عنوان یک قاعده، اولین بار، و سپس با یک نشانه اصلاح شده.
آموزش و پرورش از شهروندی پیش دبستانی
برای اولین بار، کلمه "پاتریوت" در طول انقلاب فرانسه 1789 - 1793 ظاهر شد. پاتریوت ها پس از آن خود کشتیرانی را برای جمعیت، مدافعان جمهوری در مخالفت با خائنان، خائنانی از سرزمین مادری از اردو سلطنت طلبان نامیدند ...
تصمیم گیری مفاهیم
به منظور هوشمندانه با مفاهیم عمل می کند، لازم است از آنها در حل وظایف نظری و عملی استفاده شود. لازم است دو ویژگی اصلی منطقی را شناسایی کنید: حجم و محتوای مفهوم ...
تصمیم گیری مفاهیم
طبقه بندی توزیع اشیاء توسط گروه ها (کلاس ها)، که در آن هر کلاس دارای مکان دائمی خود است. طبقه بندی نوعی مفهوم تقسیم است ...
بررسی کارایی استفاده از تکالیف در فرایند تربیت بدنی
تحت فعالیت مستقل، به عنوان مجموعه ای از اقدامات همراه با یک هدف مشترک و انجام یک عملکرد اجتماعی خاص (V.N. Shaululin، 1986) درک می شود. در مورد ما، ما با آموزش فیزیکی برخورد می کنیم، یعنی فعالیت ها ...
روابط بین دولتی در آموزش
روابط بین دولتی می تواند به دانش آموزان کمک کند تا جهان را در سراسر جهان درک کنند، خواص آن، پدیده های اصلی و فرآیندهای آن در آن و قوانینی که آنها اطاعت می کنند، درک می کنند. بدین ترتیب...
روش ها و تدریس در زبان خارجی در مرحله قدیمی
به تازگی، درخواست تجدید نظر محققان داخلی و خارجی مانند A.A. Schukin، I.P. Podlavy، M.A. Danilov، I.P. بله، i.ya. لارنر و دیگران ...
سازمان فعالیت های پروژه دانش آموزان در ارتباطات مخابراتی
برای اولین بار، او از کلمه "پروژه" در سال 1908 توسط رئیس بخش آموزش و پرورش مدارس کشاورزی D. henset در آموزش کشاورزی استفاده کرد. با کمک پروژه ها، پیشنهاد شد تا مدارس را با نیازهای تولید محصولات کشاورزی مرتبط سازد ...
ویژگی های کار گفتار درمانی برای غلبه بر دیستگرافی زراعی در دانش آموزان دبیرستان
برای اولین بار در مورد نقض خواندن و نوشتن به عنوان یک آسیب شناسی مستقل از فعالیت گفتار، A. Kussmauul در سال 1877 نشان داده شد. سپس کار زیادی انجام شد، که در آن توصیف کودکان با نقض های مختلف خواندن و نوشتن وجود داشت. .
ویژگی های تشکیل مفاهیم ریاضی در کلاس های 5-6
تعیین جسم - انتخاب از خواص ضروری آن، به طوری که هر یک از آنها ضروری است، و همه کافی است که این شی را از دیگران تشخیص دهد. نتیجه این عمل در تعریف ثابت شده است ...
در مطالعات مدرن آموزشی مدرن مربوط به مشکلات بهبود عملکرد سیستم های آموزشی، افزایش اثربخشی فرآیند آموزشی، یکی از جنبه های بزرگترین علاقه ...
جنبه های روانشناختی و آموزشی برای حل مشکلات روابط بین فردی نوجوانان
هر سنی به شیوه ای خوب است. و در عین حال، هر سنی دارای ویژگی ها و مشکلات خاص خود است. نه استثنا و سن نوجوان. سن نوجوان - یک دوره مشخصی از زندگی بین دوران کودکی و بلوغ ...
کار با کودکان با استعداد
28. مثلث یک پنتاگون است. اشکال هندسی یک جفت مفاهیم را می توان با صدای بلند تلفظ کرد، و می تواند به صورت کارت و یا چاپ شده بر روی یک ورق جداگانه ساخته شده است. پاسخ کودکان می تواند به صورت خوراکی یا نوشتن. وظیفه 4 ...
مشکلات مدرن برای بالا بردن کودکان در خانواده و راه های حل آنها
در فرهنگ لغت دایره المعارف کوچک، مفهوم خانواده به عنوان "یک گروه کوچک بر اساس ازدواج یا رابطه خون، اعضای آن با کلیه زندگی، کمک متقابل، مسئولیت اخلاقی و حقوقی مرتبط است." M.I. Demkov جشن می گیرد ...
تشکیل اقدامات آموزشی شناختی جهانی بر اساس فرد سازی و تمایز آموزش شیمی در مدرسه آموزشی اصلی
مانند هر موسسه اجتماعی، دبیرستان به مدرنیزاسیون دائمی می پردازد. در حال حاضر، درخواست اجتماعی و سیاسی برای یک دبیرستان، ساخت یک فرآیند یادگیری است ...
مطالعه تجربی حس شهروندی در کودکان پیش دبستانی
معلم، شروع به دخالت در مشکل تشکیل صلاحیت مدنی، عمدتا ضروری بودن دانش از اصطلاحات، مفاهیم کلیدی آموزش های مدنی و میهن پرستانه ...
سخنرانی №2.
ریاضیات
موضوع: "مفاهیم ریاضی"
مفاهیم ریاضی
تعریف مفاهیم
الزامات برای تعیین مفاهیم
برخی از انواع تعاریف
1. مفاهیم ریاضی
مفاهیمی که در دوره اولیه ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند معمولا به صورت چهار گروه نشان داده می شوند. مفاهیم اول مرتبط با اعداد و عملیات بر روی آنها شامل می شوند: تعداد، علاوه بر این، اصطلاح، بیشتر و دیگران. دوم شامل مفاهیم جبری است: بیان، برابری، معادله، و غیره. سومین مفاهیم هندسی است: راست، بخش، مثلث، و غیره. د گروه چهارم توسط مفاهیم مرتبط با ارزش ها و اندازه گیری آنها تشکیل شده است.
چگونه چنین فراوانی از مفاهیم مختلف را مطالعه کنیم؟
اول از همه، لازم است که ایده ای از مفهوم به عنوان یک دسته منطقی و ویژگی های مفاهیم ریاضی داشته باشیم.
در منطق، مفاهیم به عنوان یک شکل از اندیشه، منعکس کننده اشیاء (اشیاء یا پدیده) در خواص ضروری و کلی آنها در نظر گرفته می شود. شکل زبان مفهوم یک کلمه یا یک گروه از کلمات است.
یک مفهوم در مورد شیء ایجاد کنید - این بدان معنی است که بتواند آن را از اشیاء دیگر شبیه به آن تشخیص دهد. مفاهیم ریاضی دارای تعدادی از ویژگی های هستند. نکته اصلی این است که اشیاء ریاضی که باید یک مفهوم باشند، در واقعیت وجود نداشته باشند. اشیاء ریاضی توسط ذهن یک فرد ایجاد می شوند. اینها اشیاء ایده آل هستند که منعکس کننده اشیاء یا پدیده های واقعی هستند. به عنوان مثال، در هندسه مطالعه شکل و اندازه اشیاء، بدون توجه به ویژگی های دیگر: رنگ، جرم، سختی، و غیره از همه این موارد منحرف، خلاصه است. بنابراین، در هندسه به جای کلمه "موضوع" آنها می گویند "شکل هندسی".
نتیجه انتزاع هر دو مفاهیم ریاضی به عنوان "شماره" و "ارزش" است.
به طور کلی، اشیاء ریاضی تنها در تفکر انسانی و در آن علائم و نمادهای که زبان ریاضی را تشکیل می دهند وجود دارد.
به آنچه ما می توانیم اضافه کنیم، مطالعه فرم های فضایی و روابط کمی از دنیای مادی، ریاضیات نه تنها از روش های مختلف انتزاع استفاده می کنند، بلکه همچنین انتزاع خود را به عنوان یک فرآیند چند مرحله ای عمل می کند. در ریاضیات، نه تنها مفاهیم که در مطالعه اشیاء واقعی ظاهر می شوند، بلکه مفاهیمی که بر اساس اولین بار مطرح شد، در نظر گرفته شد. به عنوان مثال، مفهوم کلی عملکرد به عنوان انطباق، تعمیم مفاهیم توابع خاص، I.E. انتزاع از انتزاع
برای کارشناسی رویکردهای کلی به مطالعه مفاهیم در دوره اولیه ریاضیات، معلم نیاز به دانش در مورد حجم و محتوای مفهوم، رابطه بین مفاهیم و انواع تعاریف مفاهیم دارد.
2. حجم و محتوای مفهوم. رابطه بین مفاهیم
هر شیء ریاضی دارای خواص خاصی است. به عنوان مثال، مربع دارای چهار طرف، چهار گوشه راست برابر با مورب است. شما می توانید سایر ویژگی ها را مشخص کنید.
در میان خواص جسم، قابل توجه و ناچیز است. اموال برای جسم ضروری است اگر آن را در این شیء ذاتی و بدون آن وجود ندارد. به عنوان مثال، برای یک مربع، تمام خواص ذکر شده در بالا ضروری است. به طور غیرقانونی برای اموال مربع ABCD "طرف افقی جانبی". اگر مربع تبدیل شود، آگهی جانبی متفاوت خواهد بود (شکل 26).
بنابراین، برای درک این شیء ریاضی، لازم است که خواص ضروری آن را بدانیم.
هنگامی که آنها در مورد یک مفهوم ریاضی صحبت می کنند، معمولا به خاطر بسیاری از اشیاء که توسط یک دوره (کلمه یا گروهی از کلمات) نشان داده شده اند، به یاد می آورید. بنابراین، صحبت از مربع، آنها به معنای تمام اشکال هندسی هستند که مربع هستند. اعتقاد بر این است که مجموعه ای از تمام مربعات دامنه مفهوم "مربع" است.
بطور کلی دامنه مفهوم مجموعه ای از تمام اشیاء است که توسط یک دوره مشخص شده است.
هر مفهوم نه تنها حجم، بلکه محتوا نیز دارد.
به عنوان مثال، مفهوم "مستطیل" را در نظر بگیرید.
حجم مفهوم تعدادی از مستطیل های مختلف است، و محتوای آن شامل خواص مستطیل ها است، به عنوان "چهار گوشه راست"، "دارای طرف مقابل برابر"، "دارای قطر مساوی"، و غیره
رابطه بین مفهوم و محتوای آن وجود دارد: اگر دامنه مفهوم افزایش یابد، محتوای آن کاهش می یابد و بالعکس. به عنوان مثال، دامنه مفهوم "مربع" بخشی از مفهوم "مستطیل" است، و در محتوای مفهوم "مربع" شامل خواص بیشتر نسبت به محتوای مفهوم "مستطیل" (" همه احزاب برابر هستند "،" مورب دو طرف عمود بر "و دیگران) است.
هر مفهومی را نمی توان بدون تحقق ارتباط خود با مفاهیم دیگر تحسین کرد. بنابراین، مهم است بدانیم که چه راهی مفاهیم ممکن است، و قادر به ایجاد این روابط باشد.
روابط بین مفاهیم به ارتباط نزدیک به روابط بین حجم آنها، I.E. مجموعه ها
ما با مفاهیم موافق هستیم تا حروف خط الفبای لاتین را علامت بزنیم: A، B، S، ...، Z.
اجازه دهید دو مفاهیم A و B مشخص شوند. حجم آنها به ترتیب، به ترتیب، A و V.
اگر یک. 
در (و ≠ c)، آنها می گویند این مفهوم a - گونه در رابطه با مفهومب، و مفهوم ب - نسبت به مفهوم.
به عنوان مثال، اگر A - "مستطیل"، B - "Quadrangle"، پس از آن حجم آنها A و B در ارتباط با گنجاندن ( 
B و a ≠ b)، از آنجا که هر مستطیل یک چهارگانه است. بنابراین، می توان استدلال کرد که مفهوم "مستطیل" گونه ای در رابطه با مفهوم "چهارگوش" است و مفهوم "چهارگوش" در ارتباط با مفهوم "مستطیل" عمومی است.
اگر a \u003d b باشد، آنها این را می گویند مفاهیم AIب همسان.
به عنوان مثال، مفاهیم "مثلث مساوی" و "مثلث متعادل" یکسان هستند، از آنجا که حجم آنها همزمان است.
اگر مجموعه های A و B مربوط به نگرش ورود به آن نیستند، گفته می شود مفاهیم A و B در ارتباط با نوع و گونه نیستند و یکسان نیستند. به عنوان مثال، به چنین روابط مفهوم "مثلث" و "مستطیل" مربوط نیست.
جزئیات بیشتر نسبت به نوع و نوع بین مفاهیم را در نظر بگیرید. اول، مفاهیم جنس و گونه ها نسبی هستند: مفهوم مشابه ممکن است به سمت یک مفهوم و گونه در رابطه با دیگران عمومی باشد. به عنوان مثال، مفهوم "مستطیل" در رابطه با مفهوم "مربع" و گونه ها در رابطه با مفهوم "چهارگوش" عمومی است.
ثانیا، برای این مفهوم، اغلب مفاهیم عمومی می تواند نشان داده شود. بنابراین، برای مفهوم "مستطیل"، مفاهیم "چهارگوش"، "parallelograms"، "چند ضلعی" مفاهیم "چهارگوش" هستند. در میان آنها می توانید نزدیکترین را مشخص کنید. برای مفهوم "مستطیل" نزدیک ترین مفهوم "parallelogram" است.
سوم، مفهوم گونه ها دارای تمام خواص مفهوم عمومی است. به عنوان مثال، یک مربع، یک مفهوم گونه ای با توجه به مفهوم "مستطیل"، دارای ویژگی های ذاتی مستطیل است.
از آنجا که دامنه مفهوم بسیار، راحت است، ایجاد رابطه بین حجم مفاهیم، \u200b\u200bآنها را با کمک محافل اویلر نشان می دهد.
برای مثال، رابطه بین جفت های زیر مفاهیم A و B را ایجاد می کنیم:
1) A - "مستطیل"، B - B - "Rombus"؛
2) A - "چند ضلعی"، b - "parallelogram"؛
3) A - "راست"، B - "برش".
در مورد 1) حجم مفاهیم تقاطع، اما نه یک مجموعه زیر مجموعه ای از دیگری نیست (شکل 27).
بنابراین، می توان استدلال کرد که این مفاهیم A و B در رابطه با نوع و گونه نیستند.
در مورد 2)، این مفاهیم در رابطه با گنجاندن، اما هماهنگ نیست - هر parallelogram یک چند ضلعی است، اما نه مخالف (شکل 28). بنابراین، می توان استدلال کرد که مفهوم "parallelograms" یک گونه در رابطه با مفهوم "چند ضلعی" است و مفهوم "چند ضلعی" نسبت به مفهوم "parallelograms" است.
در مورد 3) حجم مفاهیم تقلید نمی کنند، زیرا نه یک قطعه نمی توان گفت که این مستقیم است، و هیچ مستقیم نمی تواند یک بخش نامیده شود (شکل 29).
در نتیجه، این مفاهیم در رابطه با نوع و گونه نیستند.
در مورد مفاهیم "راست" و "برش" می توان گفت که آنها در رابطه با کل و بخش هستند: برش بخشی از یک خط مستقیم است، نه ظاهر او. و اگر مفهوم گونه ها همه ویژگی های مفهوم عمومی را داشته باشد، این بخش لزوما تمام خواص کل را ندارد. به عنوان مثال، این بخش چنین ملک را به طور مستقیم به عنوان بی نهایت ندارد.
در میان مهارت هایی که ریاضیات را می آموزند و شما باید یاد بگیرید، توانایی یادگیری اهمیت زیادی طبقه بندی کردن مفاهیم.
واقعیت این است که ریاضیات، مانند بسیاری از علوم دیگر، در حال مطالعه اشیاء یا پدیده های تک نیستند، بلکه جرم. بنابراین، هنگامی که شما مثلث را مطالعه می کنید، خواص هر مثلث را مطالعه کنید و مجموعه بی نهایت آنها را مطالعه کنید. به طور کلی، حجم هر مفهوم ریاضی معمولا بی نهایت است.
به منظور تشخیص اشیاء مفاهیم ریاضی، خواص آنها را بررسی کنید، معمولا این مفاهیم به گونه ها، طبقات تقسیم می شوند. پس از همه، علاوه بر خواص رایج، هر مفهوم ریاضی دارای خواص مهم مهم تر ذاتی در همه اشیاء این مفهوم نیست، بلکه تنها اشیاء از نوعی است. بنابراین، مثلث مستطیلی، علاوه بر خواص کلی هر مثلث، خواص زیادی دارد، برای مثال، بسیار مهم است قضیه Pythagora روابط بین گوشه ها و احزاب و غیره
در فرآیند مطالعه قرن ها از مفاهیم ریاضی، در فرایند کاربرد های متعدد خود در زندگی، در علوم دیگر از حجم آنها، برخی از انواع خاصی را اختصاص داده اند که بیشترین ویژگی های جالب را دارند که اغلب در آن فعالیت می کنند و کاربردی دارند . بنابراین، چهارگوشه های مختلفی بی نهایت وجود دارد، اما در عمل، در تکنیک، تنها گونه های آنها بیشترین استفاده را دارند: مربع، مستطیل، parallelograms، الماس، trapezoids.
تقسیم برخی از مفهوم ها از این قسمت و طبقه بندی این مفهوم وجود دارد. دقیق تر، طبقه بندی، توزیع اشیاء هر مفهوم را در کلاس های مرتبط (انواع، انواع) برای ویژگی های مهم (خواص) درک می کند. علامت (اموال)، بر اساس آن طبقه بندی (تقسیم) مفاهیم برای انواع (کلاس ها) نامیده می شود پایه طبقه بندی.
طبقه بندی به درستی ساخته شده از مفهوم نشان دهنده مهم ترین خواص و ارتباط بین اشیاء مفهوم، کمک می کند تا بهتر حرکت در بسیاری از این اشیاء، امکان ایجاد چنین خواص این اشیا را فراهم می کند که مهم هستند برای اعمال این مفهوم در علوم دیگر و زندگی روزمره .
طبقه بندی مفهوم بر اساس یک یا چند مورد مهم ترین انجام می شود.
بنابراین، مثلث را می توان با بزرگی از گوشه ها طبقه بندی کرد. ما چنین نوع هایی را دریافت می کنیم: به شدت زاویه ای (همه زاویه ها تیز هستند)، مستطیل شکل (یک گوشه ای از راست، بقیه شارپ)، زغال سنگ احمقانه (یک گوشه احمقانه است، بقیه تیز هستند). اگر، برای تقسیم مثلث، روابط بین طرفین را اتخاذ کنید، ما چنین نوع هایی را به دست می آوریم: همه کاره، برابر و صحیح (یک طرفه).
دشوار است زمانی که شما باید مفهوم چندین زمینه را طبقه بندی کنید. بنابراین، اگر چهارگوشه محدب با هماهنگی احزاب طبقه بندی شود، اساسا ما باید به طور همزمان تمام چهارگوشه محدب را به طور همزمان بر روی دو نشانه تقسیم کنیم: 1) یک جفت طرف مقابل موازی یا نه؛ 2) جفت دوم طرف مقابل موازی است یا نه. ما به عنوان یک نتیجه از سه نوع چهارگوشه محدب به دست می آوریم: 1) چهارگوشه با طرفهای غیر موازی؛ 2) چهارگوشه با یک جفت از طرف موازی - trapezium؛ 3) چهارگوشه با دو جفت طرفهای موازی - parallelograms.
این اغلب طبقه بندی مفهوم مراحل است: اول یک پایه، پس برخی از گونه ها بر اساس زیر گونه ها به صورت دیگری تقسیم می شوند، و غیره. مثال طبقه بندی چهارگانه است. در مرحله اول آنها بر اساس علامت تقسیم می شوند. سپس چهارگوشه محدب با توجه به نشانه ای از موازی موازی مخالف تقسیم می شود. به نوبه خود، parallelograms با حضور زوایای مستقیم و غیره تقسیم می شود.
هنگام انجام یک طبقه بندی، باید قوانین خاصی را دنبال کنید. ما آنها را نشان می دهیم.
- به عنوان پایه طبقه بندی، شما فقط می توانید ویژگی کلی تمام اشیاء این مفهوم را انتخاب کنید. بنابراین، به عنوان مثال، به عنوان پایه طبقه بندی عبارات جبری غیرممکن است تا نشانه ای از محل اعضا در درجه های برخی از متغیرها را امضا کند. این ویژگی برای تمام عبارات جبری معمول نیست، به عنوان مثال، برای عبارات یا همجنسگرا های کسری، منطقی نیست. این ویژگی تنها چندجملهای دارد، بنابراین چندجملهای را می توان در بالاترین درجه متغیر اصلی طبقه بندی کرد.
- پایه ای برای طبقه بندی لازم است خواص ضروری (نشانه ها) مفاهیم را انجام دهید. مفهوم بیان جبری را دوباره بررسی کنید. یکی از خواص این مفهوم این است که متغیرهای موجود در بیان جبری توسط برخی از حروف نشان داده شده است. این ویژگی به طور کلی است، اما ضروری نیست، زیرا نامه ای که توسط یک متغیر یا یک متغیر نشان داده می شود، ماهیت بیان بستگی ندارد. بنابراین، عبارات جبری x + U. و A + B. - این اساسا همان عبارت است. بنابراین، طبقه بندی عبارات بر اساس متغیرهای تعیین شده نباید باشد. یکی دیگر از چیزها، اگر براساس طبقه بندی عبارات جبری، نشانه ای از نوع عمل، که با آن متغیرها متصل می شوند، به عنوان مثال اقداماتی که بالاتر از متغیرها انجام می شود. این ویژگی کلی بسیار مهم است و طبقه بندی در این ویژگی درست و مفید خواهد بود.
- در هر مرحله از طبقه بندی، تنها یک پایه می تواند اعمال شود.غیر ممکن است به طور همزمان مفهوم دو ویژگی مختلف را طبقه بندی کنید. به عنوان مثال، غیرممکن است که مثلث را بلافاصله و به لحاظ احزاب بین طرفین طبقه بندی کنیم، زیرا، به عنوان یک نتیجه، ما کلاس های مثلث را که دارای عناصر رایج هستند (به عنوان مثال، حاد و به همان اندازه شکل یا احمقانه به دست می آوریم و غیر شکل، و غیره). مورد نیاز زیر برای طبقه بندی در اینجا نقض شده است: به عنوان یک نتیجه از طبقه بندی در هر مرحله، کلاس های به دست آمده (گونه) نباید تقاطع شوند.
- در همان زمان طبقه بندی به هر دلیلی باید جامع باشد و هر شیء مفهوم باید به عنوان یک نتیجه از طبقه بندی به یک و تنها یک کلاس سقوط کند.
بنابراین، جداسازی تمام اعداد صحیح به صورت مثبت و منفی نادرست است، زیرا تعداد کل صفر به هیچ یک از کلاس ها نمی افتد. باید گفته شود: این موضوع: عدد صحیح به سه کلاس تقسیم می شود - مثبت، منفی و صفر صفر.
اغلب، در طبقه بندی مفاهیم، \u200b\u200bتنها برخی از کلاس ها به وضوح اختصاص داده می شوند، و بقیه تنها به آن اشاره می شود. به عنوان مثال، هنگام مطالعه عبارات جبری، تنها چنین نوع هایی معمولا متمایز هستند: پرش، چندجملهای، عبارات کسری، غیر منطقی. اما این گونه ها تمام انواع عبارات جبری را از بین نمی برد، بنابراین چنین طبقه بندی است ناقص
طبقه بندی کامل صحیح عبارات جبری را می توان به صورت زیر انجام داد.
در مرحله اول طبقه بندی عبارات جبری، آنها به دو دسته تقسیم می شوند: منطقی و غیر منطقی. در مرحله دوم، عبارات عقلانی به عدد صحیح و کسری تقسیم می شوند. در مرحله سوم، تمام عبارات به عبارات جهانی، چندجملهای و عبارات عدد صحیح تقسیم می شوند.
این طبقه بندی را می توان به صورت زیر نشان داد
وظیفه 7
7.1. چرا نمی توان اعداد عقلانی را برای تقسیم آنها طبقه بندی کرد؟
7.2. تعریف این مفهوم را به درستی نصب کنید:
الف) ارزش ها می توانند برابر و نابرابر باشند.
ب) توابع افزایش و کاهش می یابد.
ج) مثلث برابر می تواند حاد، مستطیل و احمقانه باشد.
د) مستطیل مربع ها و الماس ها هستند.
7.3. تعریف مفهوم "شکل هندسی" را برای اشغال بخشی از هواپیما و نمونه هایی از هر گونه ایجاد کنید.
7.4. طرح های احتمالی برای طبقه بندی اعداد عقلانی ایجاد کنید.
7.5. ساخت یک طرح طبقه بندی مفاهیم زیر:
الف) چهارگوش؛
ب) دو گوشه.
7.6. طبقه بندی مفاهیم زیر را صرف کنید:
الف) مثلث و دایره؛
ب) گوشه ها در یک دایره؛
ج) دو حلقه؛
د) مستقیم و دایره؛
الف) معادلات مربع؛
الف) سیستم دو معادله درجه اول با دو ناشناخته.
سخنرانی 7. مفاهیم ریاضی
1. گروهی از مفاهیم مورد مطالعه در دوره اولیه ریاضیات. ویژگی های مفاهیم ریاضی.
2. حجم و محتوای مفهوم.
3. ارتباط بین مفاهیم.
4. عملیات با مفاهیم: تعمیم، محدودیت، تعریف و تقسیم مفهوم.
5. قوانین لازم در فرمول تعیین مفاهیم از طریق جنس و تفاوت گونه ها.
6. تعاریف متنی و محیطی. شرح، مقایسه.
گروهی از مفاهیم مورد مطالعه در دوره اولیه ریاضیات. ویژگی های مفاهیم ریاضی.
مفاهیمی که در دوره اولیه ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند معمولا به صورت چهار گروه نشان داده می شوند. اولین مفاهیم مرتبط با اعداد و عملیات بر روی آنها شامل می شود: تعداد، اضافه، شرایط، بیشتر، و غیره در دوم مفاهیم جبری عبارتند از عبارت، برابری، معادله، و غیره سوم مفاهیم هندسی را تشکیل می دهند: راست، بخش، مثلث، و غیره چهارمین این گروه توسط مفاهیم مرتبط با ارزش ها و اندازه گیری آنها تشکیل شده است.
چگونه چنین فراوانی از مفاهیم مختلف را مطالعه کنیم؟
اول از همه، لازم است که ایده ای از مفهوم به عنوان یک دسته منطقی و ویژگی های مفاهیم ریاضی داشته باشیم.
در مفهوم منطقی در نظر گرفتن به عنوان یک شکل از اندیشه, اشیاء بازتابنده (اقلام یا پدیده) در خواص ضروری و کلی آنها. شکل زبان مفهوم است کلمه یا گروهی از کلمات.
یک مفهوم در مورد شیء ایجاد کنید - این بدان معنی است که بتواند آن را از اشیاء دیگر شبیه به آن تشخیص دهد.
مفاهیم ریاضی دارای تعدادی از ویژگی های. نکته اصلی این است که اشیاء ریاضی که باید یک مفهوم باشند، در واقعیت وجود نداشته باشند. اشیاء ریاضی توسط ذهن یک فرد ایجاد می شوند. اینها اشیاء ایده آل هستند که منعکس کننده اشیاء یا پدیده های واقعی هستند. به عنوان مثال، در هندسه مطالعه شکل و اندازه اشیاء، بدون توجه به ویژگی های دیگر: رنگ، جرم، سختی، و غیره از همه این موارد منحرف، خلاصه است. بنابراین، در هندسه به جای کلمه "موضوع" آنها می گویند "شکل هندسی".
نتیجه انتزاع هر دو مفاهیم ریاضی به عنوان "شماره" و "ارزش" است.
بطور کلی اشیاء ریاضی فقط در تفکر انسانی وجود دارد و در آن نشانه ها و نمادهای که زبان ریاضی را تشکیل می دهند.
برای این، شما می توانید آن را اضافه کنید، مطالعه اشکال فضایی و روابط کمی دنیای مادی، ریاضیات نه تنها از انواع مختلف استفاده می کند پذیرش انتزاعاما انتزاع خود به عنوان یک فرآیند چند مرحله ای عمل می کند. B ریاضیات نه تنها مفاهیم را که در هنگام مطالعه اشیاء واقعی ظاهر می شد، بلکه مفاهیمی که بر اساس اول بود، در نظر بگیرید. به عنوان مثال، مفهوم کلی عملکرد به عنوان انطباق، تعمیم مفاهیم توابع خاص، I.E. انتزاع از انتزاع
برای کارشناسی رویکردهای کلی به مطالعه مفاهیم در دوره اولیه ریاضیات، معلم نیاز به دانش در مورد حجم و محتوای مفهوم، رابطه بین مفاهیم و انواع تعاریف مفاهیم دارد.
2. حجم و محتوای مفهوم
هر شیء ریاضی دارای خواص خاصی است. به عنوان مثال، مربع دارای چهار طرف، چهار گوشه راست برابر با مورب است. شما می توانید سایر ویژگی ها را مشخص کنید.
از میان خواص جسم تمیز دادن قابل توجه و ناچیز.
اموال در نظر گرفته شده است ضروریبرای یک شی، اگر آن را به این جسم ذاتی است و بدون آن نمی تواند وجود داشته باشد. به عنوان مثال، برای یک مربع، تمام خواص ذکر شده در بالا ضروری است. به طور غیرقانونی برای اموال مربع ABCD "طرف افقی جانبی". اگر مربع تبدیل شود، آگهی جانبی متفاوت خواهد بود (شکل 26). بنابراین، برای درک این شیء ریاضی، لازم است که خواص ضروری آن را بدانیم.
هنگامی که آنها در مورد یک مفهوم ریاضی صحبت می کنند، معمولا به خاطر بسیاری از اشیاء که توسط یک دوره (کلمه یا گروهی از کلمات) نشان داده شده اند، به یاد می آورید. بنابراین، صحبت از مربع، آنها به معنای تمام اشکال هندسی هستند که مربع هستند. اعتقاد بر این است که مجموعه ای از تمام مربعات دامنه مفهوم "مربع" است.
هر مفهوم با یک کلمه، حجم و محتوای مشخص می شود.
دامنه مفهوم و - این مجموعه ای از تمام اشیاء است که می تواند به نام این کلمه (اصطلاح)
مثال. ما حجم و محتوای مفهوم "مستطیل" را برجسته می کنیم.
دامنه مفهوم - اینها مستطیل های مختلفی هستند و در او محتوا چنین خواص مستطیل ها شامل "چهار گوشه راست" هستند، "دارای طرف مقابل برابر هستند"، "دارای قطب های برابر"، و غیره
بین مفهوم و محتوای آن رابطه وجود دارد.: اگر دامنه مفهوم افزایش یابد، محتوای آن کاهش می یابد و بالعکس. به عنوان مثال، دامنه مفهوم "مربع" بخشی از مفهوم "مستطیل" است، و در محتوای مفهوم "مربع" شامل خواص بیشتر نسبت به محتوای مفهوم "مستطیل" (" همه احزاب برابر هستند "،" مورب دو طرف عمود بر "و دیگران) است.
هر مفهومی را نمی توان بدون تحقق ارتباط خود با مفاهیم دیگر تحسین کرد. بنابراین، مهم است بدانیم که چه راهی مفاهیم ممکن است، و قادر به ایجاد این روابط باشد.
سخنرانی 5. مفاهیم ریاضی
1. حجم و محتوای مفهوم. رابطه بین مفاهیم
2. تعریف مفاهیم. مفاهیم تعریف شده و نامحدود.
3. روش های تعیین مفاهیم.
4. یافته های اصلی
مفاهیمی که در دوره اولیه ریاضیات مورد مطالعه قرار می گیرند معمولا به صورت چهار گروه نشان داده می شوند. مفاهیم اول مربوط به اعداد و عملیات بر آنها شامل می شوند: تعداد، علاوه بر این، اصطلاح، بیشتر و دیگران. دوم شامل مفاهیم جبری است: بیان، برابری، معادله، و غیره گروه سوم از مفاهیم هندسی تشکیل شده است : راست، بخش، مثلث و T .. گروه چهارم توسط مفاهیم مرتبط با ارزش ها و اندازه گیری آنها تشکیل شده است.
برای یادگیری از تنوع مفاهیم، \u200b\u200bشما باید ایده ای از مفهوم به عنوان یک دسته منطقی و ویژگی های مفاهیم ریاضی داشته باشید.
در منطق مفاهیمدر نظر بگیرید شکل اندیشهبازتاب اشیاء (اشیاء و پدیده ها) در خواص ضروری و کلی آنها. شکل زبان مفهوم است کلمه (اصطلاح) یا گروهی از کلمات.
یک مفهوم در مورد شیء ایجاد کنید - این بدان معنی است که بتواند آن را از اشیاء دیگر شبیه به آن تشخیص دهد. مفاهیم ریاضی دارای تعدادی از ویژگی های هستند. اصلی این است که در واقع این است که اشیاء ریاضی بسیار مهم هستند تا این مفهوم را بسازند، در واقعیت وجود نداشته باشند. اشیاء ریاضی توسط ذهن یک فرد ایجاد می شوند. اینها اشیاء ایده آل هستند که منعکس کننده اشیاء یا پدیده های واقعی هستند. به عنوان مثال، در هندسه مطالعه شکل و اندازه اشیاء، بدون در نظر گرفتن خواص دیگر: رنگ، جرم، سختی، و غیره از این، این خلاصه است. به همین دلیل، در هندسه به جای کلمه "موضوع" آنها می گویند "شکل هندسی".
نتیجه انتزاع هر دو مفاهیم ریاضی به عنوان "شماره" و "ارزش" است.
به طور کلی، اشیاء ریاضی تنها در تفکر انسانی و در آن علائم و نمادهای که زبان ریاضی را تشکیل می دهند وجود دارد.
به آنچه ما می توانیم آن را اضافه کنیم، مطالعه اشکال فضایی و روابط کمی از جهان مادیریاضیات نه تنها از تکنیک های مختلف انتزاعی استفاده می کنند، بلکه همچنین انتزاع خود را به عنوان یک فرآیند چند مرحله ای عمل می کند. در ریاضیات، نه تنها مفاهیم که در مطالعه اشیاء واقعی ظاهر می شوند، بلکه مفاهیمی که بر اساس اولین بار مطرح شد، در نظر گرفته شد. به عنوان مثال، مفهوم کلی عملکرد به عنوان انطباق یک تعمیم مفاهیم توابع خاص است، ᴛ.ᴇ. انتزاع از انتزاع
- حجم و محتوای مفهوم. رابطه بین مفاهیم
هر شیء ریاضی خواص را تعریف کرده است. به عنوان مثال، مربع دارای چهار طرف، چهار گوشه راست برابر با مورب است. شما می توانید سایر ویژگی ها را مشخص کنید.
در میان خواص جسم متفاوت است قابل توجه و ناچیز. اموال در نظر گرفته شده است ضروری است برای object ry اگر آن را در این جسم ذاتی است و بدون آن نمی تواند وجود داشته باشد. به عنوان مثال، برای یک مربع، کل خواص فوق ذکر شده ضروری است. غیر ضروری برای اموال مربع AVSD "سمت افقی AV".
هنگامی که آنها در مورد یک مفهوم ریاضی صحبت می کنند، معمولا به این معنی است که بسیاری از اشیاء که توسط یک نشان داده شده اند مدت، اصطلاح(کلمه یا یک گروه از کلمات). بنابراین، صحبت از مربع، آنها به معنی ارقام هندسی که مربع هستند، معنی می دهند. اعتقاد بر این است که بسیاری از مربع های مربع دامنه مفهوم "مربع" هستند.
بطور کلی، حجم این مفهوم ϶ᴛᴏ مجموعه ای از تمام اشیاء که توسط یک دوره مشخص شده است.
هر مفهوم نه تنها حجم، بلکه محتوا نیز دارد.
به عنوان مثال، مفهوم "مستطیل" را در نظر بگیرید.
دامنه مفاهیم - ϶ᴛᴏ بسیاری از مستطیل های مختلف، و محتوای آن شامل چنین خواص مستطیل، مانند "چهار گوشه راست"، "دارای طرف مقابل برابر"، "دارای قطر مساوی"، و غیره
بین دامنه مفهوم و محتوای آن وجود دارد رابطه: اگر دامنه مفهوم افزایش یابد، محتوای آن کاهش می یابد و بالعکس. بنابراین، به عنوان مثال، دامنه مفهوم "مربع" بخشی از مفهوم مفهوم "مستطیل" است، و در محتوای مفهوم "مربع" خواص بیشتری نسبت به محتوای مفهوم "مستطیل" وجود دارد "(" آلتو احزاب برابر است "،" قطر دو طرفه عمود بر "و غیره).
هر مفهومی را نمی توان بدون تحقق ارتباط خود با مفاهیم دیگر تحسین کرد. به همین دلیل مهم است بدانید که در چه نوع روابط ممکن است مفاهیم وجود داشته باشد، و قادر به ایجاد این اتصالات باشد.
روابط بین مفاهیم به ارتباط نزدیک به روابط بین حجم آنها، ᴛ.ᴇ. مجموعه ها
ما با مفاهیم موافق هستیم تا حروف خطی الفبای لاتین را علامت بزنیم: A، B، C، D، ...، Z.
اجازه دهید دو مفاهیم A و B مشخص شوند. حجم آنها به ترتیب، به ترتیب، A و V.
اگر A ⊂ در (a ≠ b)، گفته شده است که مفهوم A یک گونه در رابطه با مفهوم B است و مفهوم B یک رابطه در رابطه با مفهوم A است.
به عنوان مثال، اگر A - "مستطیل"، B یک "چهارگوش" باشد، حجم آنها A و B در ارتباط با گنجاندن (a ⊂ b و a ≠ b)، در ارتباط با این، هر مستطیل یک چهارگوش است. به همین دلیل می توان استدلال کرد که مفهوم "مستطیل" یک گونه در رابطه با مفهوم "چهارگوش" است و مفهوم "چهارگوش" تولد نسبت به مفهوم "مستطیل" است.
اگر a \u003d b، آنها می گویند که مفاهیم و در هویت.
به عنوان مثال، مفاهیم "مثلث یکطرفه" و "مثلث بدون آن AAID" یکسان هستند، از آنجا که حجم آنها همزمان است.
جزئیات بیشتر نسبت به نوع و نوع بین مفاهیم را در نظر بگیرید.
1. اول از همه، مفاهیم جنس و گونه نسبتا نسبی هستند: همان مفهوم ممکن است به سمت یک مفهوم و گونه در ارتباط با دیگر باشد. به عنوان مثال، مفهوم "مستطیل" نسبت به مفهوم "مربع" و گونه ها در رابطه با مفهوم "چهارگوش" است.
2. دوم، برای این مفهوم، چند مفاهیم عمومی معمولا مشخص می شود. بنابراین، برای مفهوم "مستطیل"، مفاهیم "چهارگوش"، "parallelograms"، "چند ضلعی" مفاهیم "چهارگوش" هستند. در میان نشان داده شده است شما می توانید نزدیکترین را مشخص کنید. برای مفهوم "مستطیل" نزدیک ترین مفهوم "parallelogram" است.
3. سوم، مفهوم گونه ها دارای تمام خواص مفهوم عمومی است. به عنوان مثال، مربع، یک مفهوم گونه ای با توجه به مفهوم "مستطیل"، کل ویژگی های ذاتی مستطیل را دارد.
از آنجا که دامنه مفهوم بسیار، راحت است، ایجاد رابطه بین حجم مفاهیم، \u200b\u200bآنها را با کمک محافل اویلر نشان می دهد.
به عنوان مثال، رابطه بین جفت های زیر مفاهیم A و B را ایجاد می کنیم، اگر:
1) A - "مستطیل"، B - B - "Rombus"؛
2) A - "چند ضلعی"، b - "parallelogram"؛
3) A - "راست"، B - "برش".
روابط بین مجموعه ها به ترتیب در شکل نمایش داده می شود
2. تعریف مفاهیم. مفاهیم تعریف شده و نامحدود.
ظاهر در ریاضیات مفاهیم جدید، و به همین دلیل شرایط جدید نشان دهنده این مفاهیم تعریف آنها را نشان می دهد.
عزممعمولا به پیشنهاد توضیح ماهیت اصطلاح جدید (یا نشانه) اشاره می کند. به عنوان یک قاعده، این بر اساس مفاهیم قبلا معرفی شده انجام می شود. به عنوان مثال، یک مستطیل را می توان به صورت زیر تعریف کرد: "مستطیل یک چهارم نامیده می شود، که دارای یک گوشه مستقیم است." در این تعریف، دو بخش وجود دارد - یک مفهوم قابل تعریف (مستطیل) و یک مفهوم تعریف (چهارگوش، که در آن گوشه ها مستقیم هستند). اگر از طریق یک مفهوم اول تعیین می کنید، و از طریق B دوم است، سپس این تعریف را می توان در این فرم نشان داد:
و (توسط تعریف شده) b وجود دارد.
کلمات "(توسط تعریف شده) وجود دارد" معمولا نماد ⇔ را جایگزین می کند، و سپس تعریف به نظر می رسد این است:
آنها خواندن: "A معادل B با تعریف است." شما می توانید این رکورد را تا کنون بخوانید: "و سپس و تنها اگر B.
تعاریف که چنین ساختاری نامیده می شوند آشکار. آنها را در جزئیات بیشتر در نظر بگیرید.
اجازه دهید ما را به قسمت دوم "مستطیل" Defensing تبدیل کنیم.
این را می توان اختصاص داد:
1) مفهوم "چهار ضلعی"، ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ تولد نسبت به مفهوم "مستطیل" است.
2) اموال "به تنهایی تنها گوشه های مستقیم"، ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ اجازه می دهد تا شما را به تخصیص از همه چیز چهارگانه یک گونه - مستطیل؛ در این رابطه، آن را متفاوت است.
به طور کلی، تفاوت گونه ها - خواص ϶ᴛᴏ (یک یا چند)، که به شما این امکان را می دهد که اشیاء تعریف شده را از حجم مفهوم عمومی برجسته کنید.
نتایج تجزیه و تحلیل ما را می توان به عنوان یک طرح نشان داد:
علامت "+" به عنوان جایگزینی ذرات "و" استفاده می شود.
ما می دانیم که هر مفهومی حجم دارد. در صورتی که مفهوم A از طریق جنس و تفاوت گونه ها تعیین می شود، حجم آن مجموعه ای است - ما می توانیم بگوییم که این شامل مواردی است که متعلق به مجموعه C (حجم مفهوم عمومی C) و دارایی هستند پ:
a \u003d (x / x ∈ c و p (x)).
از زمان تعریف این مفهوم از طریق جنس و تفاوت گونه ها اساسا توافق مشروط در مورد معرفی یک اصطلاح جدید برای جایگزینی هر ترکیبی از اصطلاحات شناخته شده است، پس تعریف به درستی یا نادرست نمی توان گفت. این اثبات نمی کند و رد نمی کند. اما، فرمول تعریف، تعدادی از قوانین پیوست شده است. بیایید آنها را بفرستیم
1. تعریف باید باشد متناسب کردن. این به این معنی است که حجم مفاهیم تعیین شده و تعریف باید هماهنگ باشد.
2. در تعیین (یا سیستم آنها) نباید یک دایره بدبختی باشد. این بدان معنی است که این مفهوم را از طریق خود تعیین نمی کند.
3. تعریف باید باشد پاک کردن. به عنوان مثال، مقادیر اصطلاحات ورود به مفهوم تعریف شده توسط زمان معرفی یک مفهوم جدید شناخته شده است.
4. همان مفهوم از طریق جنس و تفاوت گونه ها تعیین می شود، رعایت قوانین فرموله شده در بالا می تواند متفاوت باشد. بنابراین، مربع را می توان به عنوان:
الف) مستطیل که جامعه آن برابر است؛
ب) مستطیل که مورب آنها به طور متناوب عمق است؛
ج) رمبوس، که یک گوشه مستقیم دارد؛
د) parallelogram، که احزاب برابر هستند، و گوشه ها مستقیم هستند.
تعیین انواع مختلف مفهوم ممکن است به دلیل تعداد زیادی از خواص موجود در محتوای مفهوم، تنها برخی از آنها در تعریف گنجانده شده است. و پس از آن، یکی از دفاع های احتمالی یکی را انتخاب می کند، آنها از یکی از آنها ساده تر می شوند و هدف آن برای ساخت بیشتر این نظریه است.
ما دنباله ای از اقداماتی را که ما باید دنبال کنیم، اگر بخواهیم تعریف یک مفهوم آشنا را تولید کنیم یا تعریف یک تعریف جدید را دنبال کنیم، پیگیری می کنیم:
1. مفهوم قابل تعریف (اصطلاح) را بنویسید.
2. نزدیکترین مفهوم عمومی (با توجه به مفهوم قابل تعریف) را مشخص کنید.
3. لیستی از خواص که اشیاء تعریف شده را از حجم عمومی تعریف می کنند، I.E، یک تفاوت گونه را تشکیل می دهند.
4. بررسی قوانین برای تعیین مفهوم (آیا آن را به طور نسبی، دایره شریر، و غیره وجود دارد).
