Matematički pojmovi Vrste i struktura definicija su primjeri. Metode proučavanja matematičkih koncepata. Zapisi o obrascu: nazovite obične frakcije
teza
1.1 Matematički pojmovi, njihov sadržaj i volumen, klasifikacija koncepata
Koncept je oblik razmišljanja o holističkom agregatu bitnih i beznačajnih svojstava objekta.
Matematički pojmovi imaju svoje karakteristike: često nastaju iz potrebe nauke i nemaju analoge u stvarnom svijetu; Imaju sjajan stupanj apstrakcije. Na osnovu ovoga poželjno je pokazati studentima pojavu studiranog koncepta (ili od potrebe prakse ili iz potrebe nauke).
Svaki je koncept karakteriziran jačinom i sadržajem. Sadržaj- Mnogi suštinski znakovi koncepta. Zapremina- Mnogi predmeti na koje je ovaj koncept primjenjiv. Razmotrite odnos između volumena i sadržaja koncepta. Ako sadržaj odgovara stvarnosti i ne uključuje kontradiktorne znakove, tada jačina zvuka nije prazan skup, što je važno pokazati studentima uvođenjem koncepta. Sadržaj u potpunosti određuje jačinu i obrnuto. To znači da promjena u jednom mijenja promjenu u drugom: ako se sadržaj poveća, tada se jačine opada.
o mora se izvesti na jednoj osnovi;
o Časovi se ne smiju presijecati;
o kombinirajući sve klase treba dati sav skup;
o Klasifikacija treba biti kontinuirana (klasa bi trebale biti najbliže koncepte vrsta u odnosu na koncept da klasifikacija podliježe).
Dodijelite sljedeće vrste klasifikacije:
1. Izmijenjenim znakom. Predmeti koji su podložni klasifikacijama mogu imati nekoliko funkcija, tako da možete drugačije klasificirati.
Primjer. Koncept "trougla".
2. dihotomic. Odjeljenje za obim koncepata u dvije koncepte vrsta, od kojih jedan ima ovu značajku, a drugi nije.
Izdvajamo ciljeve klasifikacije:
1) razvoj logičkog razmišljanja;
2) Studiranje razlika u vrsti, mi dajemo jasniju ideju generičkog koncepta.
Obje vrste klasifikacije koriste se u školi. Po pravilu, prvo dichotomous, a potom modifikovanim znakom.
Obrazovanje od osećanja predškolskog prostora za državljanstvo
Prvi put je riječ "Patriot" pojavila tokom francuske revolucije 1789 - 1793. Patriots su zatim nazivali hrvačima za stanovništvo, branitelje Republike u suprotnosti sa izdajnicima, izdajnicima domovine iz logora monarhista ...
Odluka koncepata
Da bi se inteligentno radili sa konceptima, potrebno ih je koristiti u rješavanju teorijskih i praktičnih zadataka. Potrebno je identificirati dvije glavne logičke karakteristike: jačinu i sadržaj koncepta ...
Odluka koncepata
Klasifikacija je distribucija objekata po grupama (klasa), u kojoj svaka klasa ima svoje stalno mjesto. Klasifikacija je vrsta dijeljenja ...
Istraživanje efikasnosti korištenja domaćih zadataka u procesu fizičkog vaspitanja
Pod neovisnom aktivnošću shvaća se kao skup akcija u kombinaciji zajedničkog cilja i obavljajući određenu društvenu funkciju (V.N. Shaululin, 1986). U našem slučaju se bavimo fizičkim odgojem, odnosno aktivnosti ...
Međuvladine veze u treningu
Međuvladine veze mogu pomoći školarcima da razumiju svijet širom svijeta, njegovih svojstava, glavnih pojava i procesi koji se javljaju u njemu i zakonima koji se pokoravaju. Na ovaj način...
Metode i podučavanje na stranom jeziku u starijoj fazi
Nedavno žalba domaćih i stranih istraživača, poput A.a. Schukin, I.P. PODLAVY, M.A. Danilov, I.P. Da, i.ya. Lerner i drugi ...
Organizacija projektnih aktivnosti studenata na telekomunikacijama
Prvi put je 1908. godine koristio riječ "Projekt" šef Odjela za obrazovanje poljoprivrednim školama D. Henset u poljoprivrednom obrazovanju. Uz pomoć projekata, predloženo je pridruženim školama sa potrebama poljoprivredne proizvodnje ...
Značajke govorne terapije rade na prevladavanju agrohematskih disgrafizma u srednjoškolskim učenicima
Prvi put kršenja čitanja i pisanja kao neovisne patologije govornih aktivnosti, A. Kussmauul je naznačen 1877. godine, tada je bilo puno posla, u kojem su u kojima su bili opis djece sa različitim kršenjem čitanja i pisanja .. .
Značajke formiranja matematičkih koncepata u časovima od 5-6
Odredite objekt - da birate iz svojih bitnih svojstava, toliko da je svaki od njih potreban, a svi su dovoljni za razlikovanje ovog objekta od drugih. Rezultat ove akcije fiksiran je u definiciji ...
U savremenim pedagoškim studijama vezanim za probleme poboljšanja funkcioniranja pedagoških sistema, povećanje efikasnosti obrazovnog procesa, jedan od aspekata najvećeg interesa ...
Psihološki i pedagoški aspekti rješavanja problema međuljudskih odnosa adolescenata
Svako doba je dobro na svoj način. I u isto vrijeme, svaka dob ima svoje karakteristike i poteškoće. Ne izuzetak i tinejdžerska dob. Tinejdžerska dob - određeni period života između djetinjstva i zrelosti ...
Rad sa nadarenim djecom
28. Trokut je Pentagon. Geometrijski oblici par koncepata mogu se izreći naglas, a mogu se izraditi u obliku kartica ili otisnuti na zasebnom listu. Odgovorite o djeci mogu usmeno ili pisati. Zadatak 4 ...
Moderni problemi podizanja djece u porodici i načini za rješavanje njih
U malom enciklopedijskom rječniku, koncept porodice se tumači kao "mala grupa zasnovana na braku ili krvnom odnosu, čiji su članovi povezani sa općenitošću života, međusobne pomoći, moralne i pravne odgovornosti". M.I. Demkov slavi ...
Formiranje kognitivnih univerzalnih akcija obuke zasnovane na individualizaciji i diferencijaciji obuke hemije u glavnoj obrazovnoj školi
Kao i svaka društvena ustanova, srednja škola podliježe trajnoj modernizaciji. Trenutno društveni i politički zahtjev za srednju školu je izgraditi proces učenja ...
Eksperimentalna studija osećaja državljanstva u predškolskoj djeci
Učitelj, počevši se baviti problemom formiranja civilne nadležnosti, prvenstveno je potrebno znanje o terminologiji, ključnim konceptima civilnog i patriotskog obrazovanja ...
Predavanje №2.
matematika
Tema: "Matematički pojmovi"
Matematički pojmovi
Definicija koncepata
Zahtevi za određivanje koncepata
Neke vrste definicija
1. Matematički pojmovi
Koncepti koji se proučavaju u početnom toku matematike obično su zastupljeni u obliku četiri grupe. Prvi koncepti povezani sa brojevima i operacijama na njima su uključeni: broj, dodatak, termin, više i drugi. Drugi uključuje algebrejske koncepte: izraz, jednakost, jednadžbu itd. Treći su geometrijski koncepti: ravno, segment, trougao itd. D. Četvrta grupa formira koncepte povezane sa vrijednostima i njihovim mjerenjima.
Kako proučiti takvo obilje raznih koncepata?
Prije svega, potrebno je imati ideju koncepta kao logičke kategorije i osobitosti matematičkih koncepata.
U logici se pojmovi smatraju oblik misli, odražavajući objekte (objekte ili pojave) u njihovim suštinskim i općim nekretninama. Jezički oblik koncepta je riječ ili grupa riječi.
Napravite koncept o objektu - znači biti u stanju da ga razlikujete od drugih predmeta sličnih njemu. Matematički pojmovi imaju brojne karakteristike. Glavna stvar je da matematički objekti koji trebaju biti koncept ne postoje u stvarnosti. Matematički objekti kreiraju um osobe osobe. Ovo su idealni predmeti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Na primjer, u geometriji proučite oblik i veličinu objekata, bez uzimanja u obzir ostala svojstva: boja, masa, tvrdoća itd. Iz svega toga su ometani, sažeci. Stoga, u geometriji umjesto riječi "predmet" kažu "geometrijska figura".
Rezultat apstrakcije su i matematički pojmovi kao "broj" i "vrijednost".
Općenito, matematički objekti postoje samo u ljudskom razmišljanju i u onim znakovima i simbolima koji čine matematički jezik.
U onog koje možemo dodati, proučavanjem prostornih oblika i kvantitativnih odnosa materijalnog svijeta, matematika ne samo da koriste različite metode apstrakcije, već i sama apstraktura djeluje kao višestepeni proces. U matematici, ne razmatrani su samo koncepti u proučavanju stvarnih objekata, već i koncepti koji su nastali na osnovu prvog. Na primjer, opći koncept funkcije kao usklađenosti je generalizacija koncepata određenih funkcija, I.E. Apstrakcija iz apstrakcija.
Da bi savladali opće pristupe studiji koncepata u početnom toku matematike, nastavnik je potrebno znanje o količini i sadržaju koncepta, odnosa između koncepata i vrstama definicija koncepata.
2. Volumen i sadržaj koncepta. Odnos između koncepata
Svaki matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri strane, četiri ravna uglova jednaku dijagonali. Možete odrediti druga svojstva.
Među svojstvima objekta razlikuju značajne i beznačajne. Nekretnina se smatra neophodnim za objekt ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati. Na primjer, za kvadrat sva su svojstva navedena iznad su neophodna. Nesposobno za nekretninu ABCD Square "Side ad horizontal". Ako se kvadrat okrene, bočni oglas bit će smješten drugačije (Sl. 26).
Stoga da shvatim šta je ovaj matematički objekt, potrebno je znati njena bitna svojstva.
Kada razgovaraju o matematičkom konceptu, obično imate na umu da su mnogi predmeti označeni jednim terminom (riječ ili grupa riječi). Dakle, govoreći o trgu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Vjeruje se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "Trga".
Uopšte opseg koncepta je skup svih objekata koji su označeni jednim terminom.
Bilo koji koncept nema samo zapreminu, već i sadržaj.
Razmotrite, na primjer, koncept "pravokutnika".
Količina koncepta je mnoštvo različitih pravokutnika, a njegov sadržaj uključuje takva svojstva pravougaonika, kao "imaju četiri ravna ugla", "imaju jednake suprotne strane", "imaju jednake dijagonale", "imaju jednake dijagonale", "imaju jednake dijagonale", "imaju jednake dijagonale", itd.
Postoji odnos između koncepta i njenog sadržaja: ako se opseg koncepta poveća, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto. Na primjer, opseg koncepta "Trga" dio je koncepta "pravokutnika", a u sadržaju koncepta "kvadrata" sadrži više nekretnina nego u sadržaju koncepta "pravokutnika" (" Sve su stranke jednake "," dijagonala je međusobno okomita na "i druge.).
Svaki koncept se ne može asimilirati bez ostvarivanja odnosa s drugim konceptima. Stoga je važno znati na koji način mogu biti pojmovi i biti u mogućnosti uspostaviti ove veze.
Odnosi između koncepata usko su povezani sa odnosima između njihovih svezaka, I.E. Setovi.
Slažemo se sa konceptima za označavanje linijskih slova latinske abecede: a, b, s, ..., z.
Neka su navedeni dva koncepta A i B. Količine njih bit će označene, odnosno, A i V.
Ako A. 
U (i ≠ c), onda kažu da je koncept a - vrsta u odnosu na konceptb.i koncept b. - u odnosu na koncept od.
Na primjer, ako je "" pravokutnik ", B -" Četverokutnik ", tada su njihovi svemiri A i B u odnosu na uključivanje ( 
B i A ≠ b), jer je svaki pravokutnik četverokut. Stoga se može tvrditi da je koncept "pravokutnika" vrsta u odnosu na koncept "četverokutnog", a koncept "četverokuta" je generički u odnosu na koncept "pravokutnika".
Ako je a \u003d b, onda to kažu koncepti aib. identično.
Na primjer, koncepti "ravnoteže trokuta" i "Equiliboundal trokuta" identični su, jer njihove količine podudaraju se.
Ako setovi A i B nisu povezani sa stavom inkluzije, kaže se da koncepti a i b nisu u odnosu na vrstu i vrste i nisu identični. Na primjer, ne odnose se na takve odnose koncept "trokuta" i "pravokutnika".
Razmislite o detaljnije omjerom vrste i vrste između koncepata. Prvo, koncepti roda i vrsta su relativni: isti koncept može biti generički prema jednom konceptu i vrstama u odnosu na drugu. Na primjer, koncept "pravokutnika" je generički u odnosu na koncept "kvadrata" i vrsta u odnosu na koncept "četverokuta".
Drugo, za ovaj koncept često se može navesti nekoliko generičkih koncepata. Dakle, za koncept "pravokutnika", koncepti "četverokuta", "paralelograma", "poligon" su pojmovi "četverokuta". Među njima možete odrediti najbliže. Za koncept "pravokutnika" najbliži je koncept "paralelograma".
Treće, koncept vrsta ima sva svojstva generičkog koncepta. Na primjer, kvadrat, kao koncept vrsta u odnosu na koncept "pravokutnika", ima sva svojstva svojstva u pravougaoniku.
Budući da je opseg koncepta puno, pogodan, uspostavljajući odnos između količine koncepata, prikazuju ih uz pomoć Eulerovih krugova.
Utvrđujemo, na primjer, odnos između sljedećih pari pojmova A i B ako:
1) A - "Pravokutnik", B - "Rhombus";
2) A - "Poligon", B - "Paralelogram";
3) A - "Ravno", B - "Cut."
U slučaju 1) količina koncepata se presijecaju, ali ne i jedan set nije podskup drugog (Sl. 27).
Stoga se može tvrditi da ovi koncepti A i B nisu u odnosu na vrstu i vrste.
U slučaju 2), ovi koncepti su u odnosu na inkluziju, ali ne podudaraju se - bilo koji paralelogram je poligon, ali nije suprotan (Sl. 28). Stoga se može tvrditi da je koncept "paralelograma" vrsta u odnosu na koncept "poligona", a koncept "poligona" u odnosu na koncept "paralelograma".
U slučaju 3) volumenti koncepata ne presijecaju, jer se ne može niti jedan segment ne može reći da je ravno, a ne može se nazvati segmentom (Sl. 29).
Shodno tome, ovi koncepti nisu u odnosu na vrste i vrste.
O konceptima "ravnog" i "reza" može se reći da oni su u odnosu na cjelinu i dio: Rez je dio ravne linije, a ne njen izgled. A ako koncept vrste ima sva svojstva generičkog koncepta, tada dio nužno nemaju sva svojstva cjeline. Na primjer, segment nema takvu imovinu kao njenu beskonačnost.
Među vještinama koje podučavaju matematiku i koje trebate naučiti, sposobnost da naučite veliku važnost klasificirati Koncepti.
Činjenica je da matematika, kao i mnoga druga nauka, studira ne samo pojedinačne predmete ili pojave, već masa. Dakle, kada studirate trouglove, zatim proučite svojstva bilo kojeg trouglova i njihov beskonačan set. Općenito, obim bilo kojeg matematičkog koncepta obično je beskonačan.
Da bi se razlikovali predmeti matematičkih koncepata, ispitajte njihova svojstva, obično su ti koncepti podijeljeni na vrste, časove. Nakon svega, pored uobičajenih svojstava, bilo koji matematički koncept ima mnogo važnih svojstava svojstvenih u svim objektima ovog koncepta, već samo predmeti neke vrste. Dakle, pravokutni trouglovi, pored općih svojstava bilo kojeg trouglova, imaju mnogo nekretnina, vrlo važnih za praksu, na primjer pitagora teorema, Odnosi između uglova i stranaka, itd.
U procesu stoljetnog studija matematičkih koncepata, u procesu njihovih brojnih aplikacija u životu, u drugim naukama iz njihovog volumena dodijeljene su neke posebne vrste koje imaju najzanimljivije nekretnine koje se najčešće nalaze i primjenjuju u praksi . Dakle, razni četveronogi nemaju beskonačno, ali u praksi su u tehnici, samo njihove vrste imaju najveću upotrebu: kvadrati, pravokutnici, paralelogrami, dijamanti, trapezoidi.
Podjela nekog koncepta u dijelu i postoji klasifikacija ovog koncepta. Preciznije, klasifikacija razumije raspodjelu objekata bilo kojeg koncepta na međusobnoj klasi (vrsta, vrsta) za najznačajnije karakteristike (svojstva). Znak (nekretnina), prema kojima se naziva klasifikacija (podjela) koncepata za vrste (klase) baza Klasifikacija.
Ispravno izgrađena klasifikacija koncepta odražava najznačajniju svojstva i veze između objekata koncepta, pomaže u mnogim navigacijama u mnogim od tih objekata, omogućava uspostavljanje takvih svojstava ovih objekata koji su najvažniji za primjenu ovog koncepta u drugim naukama i svakodnevnim životom .
Klasifikacija koncepta vrši se prema jednom ili više najznačajnijih razloga.
Dakle, trouglovi se mogu klasificirati po veličini uglova. Dobijamo takve vrste: oštro ugaoni (svi uglovi su oštri), pravokutni (jedan ugao ravno, ostalo je oštar), glupi ugljen (jedan ugao je glup, ostalo je oštro). Ako za temelje podjele trouglova usvojimo odnose između strana, dobivamo takve vrste: svestrani, jednak i tačan (ravnopravni).
Teže kada morate klasificirati koncept nekoliko osnova. Dakle, ako su konveksne četverobrojne klasificirane po paralelizmu stranaka, a zatim su u suštini potrebno podijeliti sve konveksne četverologe u dva znaka: 1) jedan par suprotnih strana paralelan je ili ne; 2) Drugi par suprotnih strana je paralelan ili ne. Dobili smo kao rezultat tri vrste konveksnih četverovatnih: 1) četveronogi sa paralelnim stranama; 2) četverolozi s jednim par paralelnih strana - trapezij; 3) Četverologe sa dva para paralelnih strana - paralelogrami.
Sasvim je često klasifikacija koncepta faza: prva baza, a zatim neke vrste podijele na podvrste na drugoj osnovi, itd. Primjer je klasifikacija kvadratnih metara. U prvoj fazi podijeljeni su prema znaku. Tada su konveksne četveronožnice podijeljeni u skladu sa znakom paralelizma suprotnog. Zauzvrat, paralelogrami su podijeljeni sa prisustvom direktnih uglova itd.
Prilikom provođenja klasifikacije morate slijediti određena pravila. Mi naznačimo glavne.
- Kao osnova klasifikacije, možete preuzeti samo opću osobinu svih objekata ovog koncepta. Dakle, na primjer, nemoguće je kao osnova klasifikacije algebričnih izraza za postizanje znaka lokacije članova u stupnjevima neke varijable. Ova značajka nije uobičajena svim algebarskim izrazima, na primjer, za frakcijske izraze ili homorale, nema smisla. Ova značajka ima samo polinoma, stoga se polinomi mogu klasificirati po najvišoj mjeri glavne varijable.
- Osnova za klasifikaciju potrebno je uzimati suštinske nekretnine (znakove) koncepata. Razmotrite ponovo koncept algebarskog izraza. Jedno od svojstava ovog koncepta je da su varijable uključene u algebarsku izrazu naznačene nekim slovima. Ova nekretnina je generala, ali nije bitna, za koje pismo označava jedno ili drugo varijablo, priroda izražavanja ne ovisi. Dakle, algebrani izrazi x + u. i A + B. - Ovo je u osnovi isti izraz. Stoga klasificiraju izraze na temelju varijabli odrede ne bi trebali biti. Još jedna stvar, ako za temelj klasifikacije algebričnih izraza, uzmite znak vrste akcije, sa kojom su varijable povezane, tj. Radnje koje se izvode iznad varijabli. Ova opća karakteristika je sasvim značajna, a klasifikacija na ovoj funkciji bit će tačna i korisna.
- U svakoj fazi klasifikacije može se primijeniti samo jedna baza.Nemoguće je istovremeno klasificirati koncept dvije različite karakteristike. Na primjer, nemoguće je klasificirati trouglove odmah i u veličini i u smislu stranaka između stranaka, jer, kao rezultat, pribavljamo časove trouglova koji imaju zajedničke elemente (na primjer, akutni ili jednako oblikovani ili glupi i ne oblikovani itd.). Ovdje se krši sljedeći zahtjev za klasifikaciju: kao rezultat klasifikacije u svakoj fazi, dobiveni časovi (vrste) ne bi se trebali presijecati.
- U isto vrijeme klasifikacija u bilo kojem razlogu treba biti iscrpna i svaki objekt koncepta trebao bi pasti kao rezultat klasifikacije u jednu i samo jednu klasu.
Stoga je odvajanje svih cijelih brojeva na pozitivno i negativno pogrešno, jer cijeli broj nule nije spadao u nijednu klasu. Treba reći da je ovako: cijeli brojevi podijeljeni su u tri klase - pozitivne, negativne i nula nule.
Često, u klasifikaciji koncepata, samo su neke časove jasno dodijeljene, a ostatak se samo podrazumijevaju. Na primjer, prilikom proučavanja algežajskih izraza, samo se takve vrste obično razlikuju: otkopčani, polinomi, frakcijski izrazi, iracionalni. Ali ove vrste ne iscrpljuju sve vrste algebričnih izraza, tako da je takva klasifikacija nepotpuno.
Kompletna ispravna klasifikacija algebričnih izraza može se izvršiti na sljedeći način.
U prvoj fazi klasifikacije algebričnih izraza podijeljeni su u dvije klase: racionalno i iracionalno. U drugoj fazi racionalni izrazi su podijeljeni u cijele brojeve i frakcijski. U trećoj fazi cijeli su izrazi podijeljeni u univerzalne, polinoma i složene cijele izraze.
Ova klasifikacija može biti zastupljena u obliku sljedećeg
Zadatak 7.
7.1. Zašto ne mogu klasificirati racionalne brojeve za svoj paritet?
7.2. Ispravno instalirajte definiciju koncepta:
a) vrijednosti mogu biti jednake i nejednake.
b) Funkcije se povećavaju i smanjuju.
c) jednaki trouglovi mogu biti akutni, pravokutni i glupi.
d) Pravokutnici su kvadrati i dijamanti.
7.3. Napravite definiciju koncepta "geometrijske figure" za zanimanje dijela aviona i donesite primjere svake vrste.
7.4. Graditi moguće sheme za klasifikaciju racionalnih brojeva.
7.5. Izgradite klasifikacijsku šemu sljedećih koncepata:
a) četverokut;
b) dva ugla.
7.6. Provedite klasifikaciju sljedećih koncepata:
a) trokut i krug;
b) uglovi u krugu;
c) dva kruga;
d) izravni i krug;
e) kvadratne jednadžbe;
e) Sistem dvije jednadžbe prvog stepena sa dva nepoznanica.
Predavanje 7. Matematički pojmovi
1. Grupe pojmova proučavaju se u početnom toku matematike. Značajke matematičkih koncepata.
2. Volumen i sadržaj koncepta.
3. Odnos koncepata.
4. Operacije sa konceptima: generalizacija, ograničenje, definicija i podjela koncepta.
5. Pravila potrebna u formuliranju utvrđivanja koncepata kroz rod i razliku vrsta.
6. Kontekstualne i ekološke definicije. Opis, poređenje.
Grupe koncepata proučavali su u početnom toku matematike. Značajke matematičkih koncepata.
Koncepti koji se proučavaju u početnom toku matematike obično su zastupljeni u obliku četiri grupe. Prvo Pojmovi povezani sa brojevima i operacijama na njima su uključeni: broj, dodatak, pojmovi, više itd. U sekundi ALGEBRAIKI KONCEPTI uključuju izraz, jednakost, jednadžbu itd. Treće Sakupite geometrijske koncepte: ravno, segment, trokut itd. Četvrti Grupu formiraju pojmovi povezani sa vrijednostima i njihovim mjerenjima.
Kako proučiti takvo obilje raznih koncepata?
Prije svega, potrebno je imati ideju koncepta kao logičke kategorije i osobitosti matematičkih koncepata.
U logičkom konceptu Razmatrati kao oblik misli, reflektivni objekti (Predmeti ili pojave) u njihovoj suštinskoj i općim nekretninama. Jezični oblik koncepta je reč ili grupa reči.
Napravite koncept o objektu - Znači biti u stanju da ga razlikuje od ostalih predmeta sličnih njemu.
Matematički pojmovi imaju brojne karakteristike. Glavna stvar je da matematički objekti koji trebaju biti koncept ne postoje u stvarnosti. Matematički objekti kreiraju um osobe osobe. Ovo su idealni predmeti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Na primjer, u geometriji proučite oblik i veličinu objekata, bez uzimanja u obzir ostala svojstva: boja, masa, tvrdoća itd. Iz svega toga su ometani, sažeci. Stoga, u geometriji umjesto riječi "predmet" kažu "geometrijska figura".
Rezultat apstrakcije su i matematički pojmovi kao "broj" i "vrijednost".
Uopšte matematički objekti postoje samo u ljudskom razmišljanju I u onim znakovima i simbolima koji čine matematički jezik.
Na ovo, možete to dodati, proučavanje prostornih oblika i kvantitativnih odnosa Materijalni svijet, matematika ne samo da koriste različite repocije o apstrakcijiAli sama apstrakcija djeluje kao višestupanjski proces. B Matematika ne razmotre ne samo koncepte koji su se pojavili prilikom proučavanja stvarnih objekata, već i koncepte koji su nastali na osnovu prvog. Na primjer, opći koncept funkcije kao usklađenosti je generalizacija koncepata određenih funkcija, I.E. Apstrakcija iz apstrakcija.
Da bi savladali opće pristupe studiji koncepata u početnom toku matematike, nastavnik je potrebno znanje o količini i sadržaju koncepta, odnosa između koncepata i vrstama definicija koncepata.
2. Volumen i sadržaj koncepta
Svaki matematički objekt ima određena svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri strane, četiri ravna uglova jednaku dijagonali. Možete odrediti druga svojstva.
Među svojstva objekta razlikovati značajan i beznačajan.
Nekretnina se razmatra suštinskiza objekt, ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati. Na primjer, za kvadrat sva su svojstva navedena iznad su neophodna. Nesposobno za nekretninu ABCD Square "Side ad horizontal". Ako se kvadrat okrene, bočni oglas bit će smješten drugačije (Sl. 26). Stoga da shvatim šta je ovaj matematički objekt, potrebno je znati njena bitna svojstva.
Kada razgovaraju o matematičkom konceptu, obično imate na umu da su mnogi predmeti označeni jednim terminom (riječ ili grupa riječi). Dakle, govoreći o trgu, oni znače sve geometrijske oblike koji su kvadrati. Vjeruje se da je skup svih kvadrata opseg koncepta "Trga".
Bilo koji koncept karakterizira riječ, jačinu i sadržaj.
Opseg koncepta ali - Ovo je skup svih objekata koji se mogu nazvati ovom riječi (izraz)
Primjer. Izdvajamo jačinu i sadržaj koncepta "pravokutnika".
Opseg koncepta - Ovo su mnogo različitih pravokutnika, a u njegovom sadržaj Takva svojstva pravokutnika uključena su kao "imaju četiri ravna ugla", "imaju jednake suprotne strane", "imaju jednake dijagonale" itd.
Postoji veza između koncepta i njenog sadržaja.: ako se opseg koncepta poveća, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto. Na primjer, opseg koncepta "Trga" dio je koncepta "pravokutnika", a u sadržaju koncepta "kvadrata" sadrži više nekretnina nego u sadržaju koncepta "pravokutnika" (" Sve su stranke jednake "," dijagonala je međusobno okomita na "i druge.).
Svaki koncept se ne može asimilirati bez ostvarivanja odnosa sa drugim konceptima. Stoga je važno znati na koji način mogu biti pojmovi i biti u mogućnosti uspostaviti ove veze.
Predavanje 5. Matematički pojmovi
1. Volumen i sadržaj koncepta. Odnos između koncepata
2. Definicija koncepata. Definirani i neodređeni pojmovi.
3. Metode za određivanje koncepata.
4. Glavni nalazi
Koncepti koji se proučavaju u početnom toku matematike obično su zastupljeni u obliku četiri grupe. Prvi koncepti povezani sa brojevima i operacijama u kojima su uključeni su: broj, dodatak, izraz, više i drugi. Drugi uključuje algebrejske koncepte: izraz, jednakost, jednadžba itd. Treća grupa sastoji se od geometrijskih koncepata : ravno, segment, trokut i t .. Četvrta grupa formira koncepte povezane sa vrijednostima i njihovim mjerenjima.
Da biste saznali iz raznolikosti koncepata, morate imati ideju koncepta kao logičke kategorije i osobitosti matematičkih koncepata.
U logici pojmovismatrati oblik misliReflektirajuće objekte (predmete i pojave) u njihovoj suštinskoj i općim nekretninama. Jezični oblik koncepta je riječ (izraz) ili grupu riječi.
Napravite koncept o objektu - znači biti u stanju da ga razlikujete od drugih predmeta sličnih njemu. Matematički pojmovi imaju brojne karakteristike. Glavni sastoji se zapravo da matematički objekti koji su izuzetno važni za izradu koncepta, ne postoje u stvarnosti. Matematički objekti kreiraju um osobe osobe. Ovo su idealni predmeti koji odražavaju stvarne predmete ili pojave. Na primjer, u geometriji proučite oblik i veličinu objekata, bez uzimajući u obzir ostala svojstva: boja, masa, tvrdoća itd. Iz ovoga ovo je sažeci. Iz tog razloga, u geometriji umjesto riječi "predmet" kažu "geometrijsku figuru".
Rezultat apstrakcije su i matematički pojmovi kao "broj" i "vrijednost".
Općenito, matematički objekti postoje samo u ljudskom razmišljanju i u onim znakovima i simbolima koji čine matematički jezik.
Na ono što možemo dodati, studiranje prostorni oblici i kvantitativni odnosi materijalnog svijetaMatematika ne koristi samo različite tehnike apstrakcije, već i sama apstraktura djeluje kao višestepeni proces. U matematici, ne razmatrani su samo koncepti u proučavanju stvarnih objekata, već i koncepti koji su nastali na osnovu prvog. Na primjer, opći koncept funkcije kao usklađenosti je generalizacija koncepata određenih funkcija, ᴛ.ᴇ. Apstrakcija iz apstrakcija.
- Jačinu i sadržaj koncepta. Odnos između koncepata
Svaki matematički objekt je definirao svojstva. Na primjer, kvadrat ima četiri strane, četiri ravna uglova jednaku dijagonali. Možete odrediti druga svojstva.
Među svojstvima objekta razlikuju se značajan i beznačajan. Nekretnina se razmatra bitno za objekt Ry ako je svojstven ovom objektu i bez njega ne može postojati. Na primjer, za kvadrat su cjelokupna svojstva navedena iznad su neophodna. Nepotrebno za imovinu AVSD Square "Side AV horizontalno".
Kada razgovaraju o matematičkom konceptu, oni obično znače mnogo objekata koji su označeni jedan izraz(Riječ ili grupa riječi). Dakle, govoreći o trgu, znače s obzirom na geometrijske figure koje su trgovi. Vjeruje se da su mnogi trgovi kvadrata opseg "kvadratnog" koncepta.
Uopšte, glasnoća koncepta je ϶ᴛᴏ skup svih objekata koji se označavaju jednim terminom.
Bilo koji koncept nema samo zapreminu, već i sadržaj.
Razmotrite, na primjer, koncept "pravokutnika".
Opseg koncepata - ϶ᴛᴏ Mnogo različitih pravokutnika, a njegov sadržaj uključuje takva svojstva pravougaonika, poput "imaju četiri ravna ugla", "imaju jednake suprotne strane", "imaju jednake dijagonale" itd.
Između opsega koncepta i njenog sadržaja postoji odnos: Ako se opseg koncepta poveća, tada se njegov sadržaj smanjuje i obrnuto. Dakle, na primjer, opseg koncepta "kvadrata" dio je koncepta koncepta "pravokutnika", a u sadržaju koncepta "kvadrata" postoje više nekretnina nego u sadržaju koncepta "pravokutnika" "(" Alto Strane su jednake "," dijagonale su međusobno okomito na "i itd.).
Svaki koncept se ne može asimilirati bez ostvarivanja odnosa sa drugim konceptima. Iz tog razloga važno je znati u kakvim odnosima mogu postojati pojmovi i biti u mogućnosti uspostaviti te veze.
Odnosi između koncepata usko su povezani sa odnosima između njihovih svezaka, ᴛ.ᴇ. Setovi.
Slažemo se sa konceptima za označavanje linearnih slova latinske abecede: A, B, C, D, ..., z.
Neka su navedeni dva koncepta A i B. Količine njih bit će označene, odnosno, A i V.
Ako je A ⊂ u (A ≠ b), kaže da je koncept a vrsta u odnosu na koncept B, a koncept B je odnos u odnosu na koncept u odnosu na koncept u odnosu na koncept u odnosu na koncept u odnosu na koncept u odnosu na koncept A.
Na primjer, ako je "pravokutnik", B je "četverokutni", a zatim njihovi svesci A i B u odnosu na uključivanje (A ⊂ B i A ≠ B), u vezi s tim, bilo koji pravokutnik je četverogaonik. Iz tog razloga može se tvrditi da je koncept "pravokutnika" vrsta u odnosu na koncept "četverokuta", a koncept "četvorke" rođenje je u odnosu na koncept "pravokutnika".
Ako je A \u003d B, onda kažu da koncepti a i u identitetu.
Na primjer, pojmovi "ravnoteže trokuta" i "trokuta bez anaida" identični su, jer njihove količine podudaraju se.
Razmislite o detaljnije omjerom vrste i vrste između koncepata.
1. Prije svega, pojmovi roda i vrsta relativno su relativni: isti koncept može biti generičan prema jednom konceptu i vrsti u odnosu na drugu. Na primjer, koncept "pravokutnika" u odnosu na koncept "kvadrata" i vrsta u odnosu na koncept "četverokutnog".
2. Drugo, za ovaj koncept se često može specificirati nekoliko generičkih koncepata. Dakle, za koncept "pravokutnika", koncepti "četverokuta", "paralelograma", "poligon" su pojmovi "četverokuta". Među navedenim možete odrediti najbliže. Za koncept "pravokutnika" najbliži je koncept "paralelograma".
3. Treće, koncept vrsta ima sva svojstva generičkog koncepta. Na primjer, kvadrat, kao koncept vrste u odnosu na koncept "pravokutnika", ima čitava svojstva svojstva u pravougaoniku.
Budući da je opseg koncepta puno, pogodan, uspostavljajući odnos između količine koncepata, prikazuju ih uz pomoć Eulerovih krugova.
Uspostavljamo, na primjer, odnos između sljedećih pari pojmova A i B, ako:
1) A - "Pravokutnik", B - "Rhombus";
2) A - "Poligon", B - "Paralelogram";
3) A - "Ravno", B - "Cut."
Odnose između skupova prikazuju se na slici, respektivno
2. Definicija koncepata. Definirani i neodređeni pojmovi.
Izgled u matematici novih koncepata, pa stoga novi uvjeti koji označavaju ove koncepte podrazumijevaju njihovu definiciju.
Odlučnostobično se odnose na prijedlog koji je objašnjavao suštinu novog termina (ili notacije). U pravilu se to radi na osnovu prethodno uveženih koncepata. Na primjer, pravokutnik se može definirati na sljedeći način: "Pravokutnik se naziva četverokut koji ima direktan ugao." U ovoj definiciji postoje dva dijela - definirani koncept (pravokutnik) i definiranje koncepta (četverokut u kojem su uglovi direktni). Ako odredite putem prvog koncepta, a preko B je drugi, ta se definicija može zastupljena u ovom obliku:
a tu je (definiranim) b.
Riječi "Postoji (definiranim)" obično zamjenjuju simbol ⇔, a zatim definicija izgleda ovako:
Pročitali su: "A je ekvivalent B po definiciji." Ovaj rekord možete pročitati još: ", a zatim i samo ako B.
Definicije koje imaju takvu strukturu nazivaju se očigledan. Smatrajte ih detaljnijem.
Okrenimo se drugom dijelu kvarca "pravokutnika".
Može se izdvojiti:
1) Koncept "četverostralog", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ je rođenje u odnosu na koncept "pravokutnika".
2) svojstvo "da ima sami uglovi direktno", ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ omogućava vam da dodjelite od svih mogućih kvadratnih metara - pravougaonika; S tim u vezi, to se zove sjajna razlika.
Općenito, razlika vrsta - ϶ᴛᴏ Svojstva (jedna ili više), što vam omogućava da označite definirane objekte iz jačine generalnog koncepta.
Rezultati naše analize mogu se zastupati kao shema:
Znak "+" koristi se kao zamjena čestica "i".
Znamo da bilo koji koncept ima volumen. U slučaju da se koncept A određuje kroz rod i razliku od vrsta, tada je njegov volumen postavljen A - Možemo reći da sadrži takve objekte koji pripadaju set C (volumen generičkog koncepta C) i imaju nekretninu P:
A \u003d (x / x ∈ c i p (x)).
Od definicije koncepta kroz rod i razlika u vrsti u suštini su uvjetni dogovor o uvođenju novog roka za zamjenu bilo koje kombinacije poznatih pojmova, tada se definicija ne može ispravno ili pogrešno ne reći; Ne dokazuje i ne opovrgava. Ali, formulisanje definicije, pridržavani su se brojni pravila. Nazovimo ih.
1. Definicija treba biti proporcionalan. To znači da se količine utvrđenih i definirajućih koncepata moraju podudarati.
2. u odlučnosti (ili njihovom sistemu) ne bi trebalo biti začarani krug. To znači da je nemoguće odrediti koncept putem sebe.
3. Definicija treba biti jasan. Na primjer, vrijednosti izraza koji ulaze u definirajući koncept poznati su po vrijeme uvođenja novog koncepta.
4. Isti koncept određuje se kroz rod i razliku vrsta, promatrajući pravila formulisana gore, može biti drugačije. Dakle, kvadrat se može definirati kao:
a) pravokutnik čije je društvo jednako;
b) pravokutnik čije je dijagonalno međusobno okomito;
c) romb, koji ima pravog ugla;
d) Paralelogram, čije su stranke jednake, a uglovi su direktni.
Različita određivanje istog koncepta moguća je zbog velikog broja svojstava uključenih u sadržaj koncepta, samo su neki uključeni u definiciju. A onda je jedna od mogućih odbrana odabrati jedan, oni nastaju od jednog od njih lakše je i svrha za daljnju izgradnju teorije.
Nazivamo redoslijed radnji koje moramo slijediti ako želimo reproducirati definiciju poznatog koncepta ili izgraditi definiciju novog:
1. Navedite definirani koncept (izraz).
2. Navedite najbliži generički koncept (u odnosu na definirani) koncept.
3. Navedite svojstva koja dodjeljuju definirane objekte iz volumena generike, I.e, formulira razliku vrsta.
4. Provjerite je li pravila za određivanje koncepta (bilo da je proporcionalno, nema začaranog kruga itd.).
