Prezentacija na temi "Kvadratni korijen iz posla". Formulas korijenje. Svojstva korijena. Kako umnožiti korijenje? Primjeri kako izvući korijen djela

Vrijeme je za rastavljanje metode za vađenje korijena. Oni se zasnivaju na svojstvima korijena, posebno, na jednakost, što vrijedi za bilo koji negativni broj B.

Ispod skrećemo sa pogledom na osnovne načine za izdvajanje korijena.

Započnimo s najjednostavnijim slučajem - uz vađenje korijena iz prirodnih brojeva pomoću kvadratnog stola, kockicama tablice itd.

Ako su kvadratni stolovi, kockice itd. Nema ruke, logično je koristiti način izvlačenja korijena koji podrazumijeva raspadanje podloge u jednostavnim faktorima.

Odvojeno, vrijedi zaustaviti ono što je moguće za korijenje sa neparnim pokazateljima.

Konačno, razmislite o metodi koja vam omogućava da uzastopno pronađete vrijednosti pražnjenja korijena.

Nastavljamo.

Koristeći kvadratni stol, kockice stolova itd.

U najnejmenitijim slučajevima uklanjanje korijena omogućava tablice kvadrata, kockica itd. Koje su ove tablice?

Tabela kvadrata cijelih brojeva od 0 do 99 inkluzivne (prikazana je u nastavku) sastoji se od dvije zone. Prva zona tablice nalazi se na sivoj pozadini, koristi određeni niz i određeni stupac omogućava vam da napravite broj od 0 do 99. Na primjer, odaberite niz od 8 dozena i stupca 3 jedinice, popravili smo broj 83. Druga zona zauzima preostali dio tabele. Svaka ćelija je na raskrižju određenog reda i određenog stupca, a sadrži kvadrat odgovarajućeg broja od 0 do 99. Na raskrižju odabrane linije 8 dozena i stupca 3 jedinice su ćelije sa brojem 6 889, koji je kvadrat broja 83.

Stolovi za kocke, stolovi od četvrtih stupnjeva brojevi od 0 do 99 i tako na sličan za tablicu kvadrata, samo u drugoj zoni sadrže Kubu, četvrti stepeni, itd. Odgovarajući brojevi.

Kvadratni stolovi, kockice, četvrti stepeni, itd. Dopustite kvadratne korijene, kubne korijene, korijene četvrtog stepena itd. Prema tome, iz brojeva u ovim tablicama. Objasnite princip njihove prijave prilikom izvlačenja korijena.

Pretpostavimo da moramo izdvojiti korijen N-diplome iz među brojem A, a broj A sadržan je u tabeli N-Threes. Na ovoj tabeli nalazimo broj B takav da \u003d b n. Onda Stoga će broj B biti željeni korijen N-diploma.

Kao primjer, pokazat ćemo kako se kubični korijen od 19.683 izvlači pomoću kubične tablice. Pronalazimo broj 19.683 u tablici kockica, od nje otkrivamo da je ovaj broj kocka brojeva 27, dakle, .

Jasno je da su stolovi n-niti vrlo zgodni kada se korijenje uklone. Međutim, oni često nisu pri ruci, a njihova kompilacija zahtijeva određeno vrijeme. Štaviše, često je potrebno izvući korijenje sa brojeva koji nisu sadržani u odgovarajućim tablicama. U tim slučajevima morate pribjeći drugim metodama izvlačenja korijena.

Dekompozicija potkoljenog broja na jednostavnim faktorima

Dovoljno je prikladan način, što omogućava uklanjanje korijena iz prirodnog broja (osim ako se naravno ne izvlači korijen), je raspadanje napunjenog broja u jednostavne faktore. Njegova suština je sljedeća: Nakon što je dovoljno lako zamisliti u obliku diplome sa željenim indikatorom, što vam omogućava da dobijete vrijednost korijena. Objasnimo da objasnimo ovaj trenutak.

Neka je korijen n-stepena iz prirodnog broja A, a njena vrijednost jednaka b. U ovom slučaju jednakost je \u003d b n. Broj B kao i svaki prirodni broj može se predstavljati kao proizvod svih svojih jednostavnih multiplikatora P 1, P 2, ..., PM u obliku P 1 · P 2 · ... · PM, i broj hrane A in Čini se da je ovaj slučaj (P 1 · P 2 · ... · PM) n. Budući da je raspadanje broja jednostavnim faktorima jedini, tada će se raspadanje brojevima feed A na jednostavnim faktorima biti obrasca (P 1 · P 2 · ... · P M) N, što omogućava za izračunavanje vrijednosti korijena kao.

Imajte na umu da ako se raspadanje na jednostavnim tvornicama guad broja A ne može biti zastupljeno u obliku (P 1 · P 2 · ... · P M) N, tada se korijen N-stupnja ne izvlači iz takvog broj.

O tome ćemo se baviti prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Izvadite kvadratni korijen od 144.

Odluka.

Ako se obratite tablici kvadrata navedenih u prethodnom stavku, jasno se vidi da je 144 \u003d 12 2, iz kojeg je jasno da je kvadratni korijen od 144 jednak 12.

Ali u svjetlu ovog predmeta zanima nas kako se korijen izvlači raspadanjem vođenog broja 144 na jednostavne multiplikatore. Mi ćemo analizirati ovu metodu rješenja.

Proglašavanje 144 na jednostavnim multiplikatorima:

To je, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Na osnovu dobivenog raspada, ove se transformacije mogu izvesti: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2. Otuda, .

Koristeći stepen i svojstva korijena, rješenje bi se moglo dogovoriti i malo drugačije:.

Odgovor:

Da biste osigurali materijal, razmotrimo rješenja za još dva primjera.

Primjer.

Izračunati korijenu vrijednost.

Odluka.

Dekompozicija na jednostavnim tvornicama feed broja 243 ima obrazac 243 \u003d 3 5. Na ovaj način, .

Odgovor:

Primjer.

Da li je vrijednost korijena u cijelom broju?

Odluka.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, rasparit ćemo vođeni broj na jednostavnim multiplikatorima i vidjeti hoće li zamisliti cjelobrojnu kocku.

Imamo 285 768 \u003d 2 3 · 3 6 · 7 2. Rezultirajuća raspadanje ne čini se u obliku kocke cijelog broja, jer je stupanj jednostavnog multiplikatora 7 ne višestruko. Shodno tome, kubni korijen iz među 285.768 nije izdvojen.

Odgovor:

Ne.

Uklanjanje korijena iz frakcijskih brojeva

Vrijeme je da shvatimo kako se izvlači korijen frakcijskog broja. Dopustite da je frakcijski broj hrane zabilježen kao P. / Q. Prema vlasništvu korijena od privatno, sljedeća jednakost je fer. Iz ove jednakosti slijedi pravilo korijen korijena od voća: Korijen frakcije jednak je privatnoj iz fisije korijena iz brojeva do korijena iz nazivnika.

Analizirat ćemo primjer izvlačenja korijena iz frakcije.

Primjer.

Ono što je jednako kvadratnom korijenu iz uobičajene frakcije 25/169.

Odluka.

Na stolu kvadrata nalazimo da je kvadratni korijen iz brojača prvobitnog frakcije 5, a kvadratni korijen iz nazivnika je 13. Onda . Na ovom ekstrakciji korijena iz uobičajene frakcije 25/169 završeno.

Odgovor:

Korijen decimalnog frakcije ili mješovitog broja izvađen je nakon zamjene brojeva u običnim frakcijama.

Primjer.

Uklonite kubni korijen iz decimalnog frakcije 474.552.

Odluka.

Zamislite originalnu decimalnu frakciju u obliku obične frakcije: 474,552 \u003d 474552/1000. Onda . Ostaje za izdvajanje kubnih korijena koje se nalaze u brojevniku i nazivniku rezultirajuće frakcije. Kao 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 i 1 000 \u003d 10 3, onda i . Ostaje samo da bi ispunio proračune .

Odgovor:

Uklanjanje korijena negativnog broja

Odvojeno, vrijedno je zaustaviti na vađenje korijena negativnih brojeva. Prilikom proučavanja korijena, rekli smo da je kada je stopa korijena neparni broj, tada negativan broj može biti pod korijenskim znakom. Takve evidencije dali smo sljedeće značenje: za negativan broj -a i neobični korijenski pokazatelj 2 · n-1 pošteno . Ova jednakost daje pravilo za vađenje korijena neparnog stepena od negativnih brojeva: Da izvučete korijen negativnog broja, potrebno je izvući korijen iz suprotnog broja nasuprot njoj i da stavi minus znak prije rezultata.

Razmotrite rješenje primjera.

Primjer.

Pronađite vrijednost korijena.

Odluka.

Pretvorimo početni izraz tako da se pod znakom korijena pokazalo pozitivnim brojem: . Sada se mješoviti broj zamjenjuje običnim snimkom: . Primijenite pravilo ocjenjivanja iz običnih Fraci: . Ostaje izračunati korijene u brojevniku i denomoter rezultirajućeg Fraci: .

Dozvolite nam da damo kratak zapis o rješenju: .

Odgovor:

Prekidač

Općenito, pod korijenom postoji broj koji, uz pomoć rastavljanih metoda, nije moguće biti predstavljen kao N-stupanj bilo koji broj. Ali istovremeno je potrebno znati vrijednost ovog korijena, barem s tačnošću nekih znaka. U tom slučaju, za izdvajanje korijena, možete koristiti algoritam, što vam omogućava da uzastopno dobivate dovoljan broj vrijednosti ispuštanja željenog broja.

U prvom koraku ovog algoritma potrebno je saznati koja je starija cifra korijenske vrijednosti. Da biste to učinili, oni su dosljedno postavljeni u stupnju N od broja 0, 10, 100, ... do broja kada se dobije broj koji prelazi broj dovoda. Tada će broj koji smo postavili u stupnju n u prethodnoj fazi ukazivat će na odgovarajući viši pražnjenje.

Na primjer, razmotrite ovaj korak algoritma prilikom uklanjanja kvadratnog korijena pet. Uzimamo brojeve 0, 10, 100, ... i usavršimo ih na kvadrat dok ne dobijemo broj koji prelazi 5. Imamo 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, dakle, visoki pražnjenje bit će ispuštanje jedinica. Značenje ovog pražnjenja, kao i mlađe, naći će se u sljedećim koracima algoritma ekstrakcije korijena.

Svi sljedeći koraci algoritma namijenjeni su dosljedno dosljedno pročišćavanje vrijednosti korijena zbog činjenice da se vrijednosti sljedećih znamenki željene vrijednosti korijena počinju sa starijim i prelazeći na mlađe. Na primjer, vrijednost korijena u prvom koraku dobiva se 2, na drugom - 2.2, na trećem - 2.23, a tako na 2,236067977 .... Opisujemo kako se pronađu vrijednosti pražnjenja.

Pronalaženje pražnjenja se vrši donošenjem njihovih mogućih vrijednosti 0, 1, 2, ..., 9. Istovremeno, NiC stupnjevi odgovarajućih brojeva izračunavaju se paralelno, a oni se uspoređuju sa zatvorenim brojem. Ako u nekoj fazi, vrijednost stupnja prelazi na broj, tada se smatra da se vrijednost pražnjenja odgovara prethodnoj vrijednosti, a tranzicija se vrši na sljedeći korak algoritma ekstrakcije korijena, ali ako je ovo Ne događa se, vrijednost ovog pražnjenja je 9.

Objasnimo sve ove trenutke na istom primjeru ekstrakcije kvadratnog korijena od pet.

Prvo pronalazimo vrijednost pražnjenja jedinica. Razvrstat ćemo vrijednosti od 0, 1, 2, ..., 9, izračunavanje 0 2, 1 2, respektivno, ..., 9 2 do trenutka, dok ne dobijemo vrijednost, više brojeva 5 . Svi ovi proračuni prikladni su za predstavljanje u obliku tablice:

Dakle, vrijednost pražnjenja jedinica je 2 (od 2 2<5 , а 2 3 >pet ). Idite na pronalaženje vrijednosti ispuštanja desetina. Istovremeno ćemo biti podignuti u kvadrat broja 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, uspoređujući dobivene vrijednosti s upitom broj 5:

Kao 2,2 2 2<5 , а 2,3 2 >5, vrijednost ispuštanja desetine je 2. Možete nastaviti sa pronalaženjem vrijednosti pražnjenja stotine:

Ovo je sljedeća vrijednost korijena pet, jednak je 2,23. I tako možete nastaviti dalje pronaći vrijednosti: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Da bismo osigurali materijal, analizirat ćemo vađenje korijena s tačnošću stotine uz pomoć razmatranog algoritma.

Prvo definiramo najstarije pražnjenje. Da biste to učinili, postavljeni smo u popis brojeva 0, 10, 100 itd. Dok ne primimo broj koji je superiorniji od 2 151.186. Imamo 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186, dakle, viši pražnjenje je ispuštanje desetina.

Odrediti njegovu vrijednost.

Od 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, vrijednost ispuštanja desetaka jednaka je 1. Idite u jedinice.

Dakle, vrijednost pražnjenja jedinica je 2. Idi na desetinu.

Budući da je čak 12,9 3 manji od purnenog broja 2 151.186, vrijednost ispuštanja desetine je 9. Ostaje da izvrši zadnji korak algoritma, dat će nam vrijednost korijena sa potrebnom tačnošću.

U ovoj fazi vrijednost korijena nalazi se s tačnošću na stotine: .

Zaključivanje ovog članka želim reći da postoji mnogo drugih načina za izdvajanje korijena. Ali za većinu zadataka ima dovoljno onih koji smo proučavali gore.

Bibliografija.

Makarychev Yu.n., Mindyuk N.G., Nebkov K.i., Suvorova S.B. Algebra: Vodič za 8 Cl. Opće obrazovne ustanove.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn yu.p. i al. Algebra i početna analiza: udžbenik za 10 - 11 klasa općih obrazovnih ustanova.
Gusev V.A., MORDKOVICH A.G. Matematika (dodatak za podnositelje zahtjeva za tehničke škole).

√2601 \u003d 51, od (51) 2 \u003d 2601.

S druge strane, primjećujemo da je broj 2601 djelo dva faktora, od kojih se korijen lako izvlači:

Izdvojite kvadratni korijen iz svake tvornice i naizmenirajte ove korijene:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

Primili smo iste rezultate, a zatim kada je korijen uklonjen iz djela pod korijenom, a zatim, kada je korijen uklonjen iz svake tvornice odvojeno i pomnoženi rezultati.

U mnogim slučajevima drugi način za pronalaženje rezultata je lakši, jer je potrebno izvući korijen manjih brojeva.

Theorem 1. Da biste izvukli kvadratni korijen iz posla, možete ga ukloniti iz svake tvornice odvojeno i množite se rezultate.

Dokazujemo teoremu za tri faktora, odnosno dokazati valjanost jednakosti:

Dokaz ćemo biti direktno inspekciju na osnovu definicije aritmetičkog korijena.

Pretpostavimo da moramo dokazati ravnopravnost:

√a \u003d B.

(A i b - negativni brojevi). Da bi se odredio kvadratni korijen, to znači da

B 2 \u003d a.

Stoga je dovoljno izgraditi pravi dio jednakosti dokazanog na trg i osigurati da se izvijesti vođeni izraz lijeve strane.

Primijenite ovo obrazloženje na dokaz ravnopravnosti (1). Podigao desnu stranu u kvadrat; Ali u pravom dijelu postoji posao i izgraditi rad na kvadrat, dovoljno je izgraditi svaku tvornicu i multiplikator i množiti rezultate (vidi § 40):

(√a √b √c) 2 \u003d (√a) 2 (√b) 2 (√c) 2 \u003d abc.

Isključio je ekspresiju hranjenja na lijevoj strani. Dakle, jednakost (1) je tačna.

Dokazali smo teoremu za tri faktora. Ali argumenti će ostati isti ako pod korijenom bit će toliko 4, itd. Teorem je vjeran za bilo koji broj faktora.

Primjer.

Rezultat se lako nalazi usmeno.

2. korijen frakcije.

Dokazujemo teoremu.

Theorem 2. Da biste izvukli korijen frakcije, korijen možete ukloniti odvojeno od brojeva i nazivnika i prvi rezultat je podijeljen u drugu.

Potrebno je dokazati valjanost jednakosti:

Za dokaz ćemo primijeniti način na koji je dokazana prethodna teorema.

Uspostavite desnu stranu na trg. Imaće:

Dobio je izraz hranjenja koji stoji na lijevoj strani. Dakle, jednakost (2) je tačna.

Dakle, dokazali smo sljedeće identitete:

i formulisao je relevantna pravila za vađenje kvadratnog korijena sa posla i privatnog. Ponekad prilikom obavljanja transformacija, ovi identiteti moraju koristiti, čitati ih "desno na lijevo".

Povrat lijevih i desnih dijelova, prepisivanje dokazanih identiteta na sljedeći način:

Da biste množili korijene, možete pomnožiti hranjenje izraza i izvući korijen iz posla.

Da biste podijelili korijene, možete podijeliti izraze hranjenja i od privatnog uklanjanja korijena.

3. Root iz diplome.

U oba primjera, kao rezultat, dobili smo temelj izraza hranjenja do diplome jednake podjeli pokazatelja za 2.

Dokažimo ovu poziciju općenito.

Theorem 3. Ako je m parni broj, onda

Ukratko recite tako: da biste uklonili kvadratni korijen iz diplome, dovoljno je podijeliti na 2 indikatora diplome (bez promjene temelja).

Za dokaz primjenjujemo metodu verifikacije da je teorema 1 i 2 dokazana.

Budući da je m još broj (pod uvjetom), a zatim cijeli broj. Podigao desnu stranu ravnopravnosti na trgu, za koji (vidi § 40) da se pomnoži sa 2 ukazavanja stepena bez promjene temelja

Dobio je izraz hranjenja koji stoji na lijevoj strani. Dakle, jednakost (3) je tačna.

Primjer. Izračunati.
Izračun 76 morao bi provesti veliko vrijeme i posao. Theorem 3 omogućava vam da nađete rezultat usmeno.

Slide 2.

CILJEVI Lekcija:

Ponovite određivanje aritmetičkog kvadratnog korijena. Uđite i dokažite teoremu o kvadratnom korijenu iz posla. Naučite da pronađete. Proverite znanje i veštine sa samo-radom.

Slide 3.

Kvadratni korijen rada

Plan lekcije: Aktualizacija znanja. Proučavajući novi materijal. Formula pričvršćivanje na primjere. Nezavisni rad. Rezimiranje. Zadatak kod kuće.

Slide 4.

Pozdrav momci!

Ponavljajte: 2. Kako se zove aritmetički kvadratni korijen među 3. Sa kojom vrijednošću izraz ima smisla? 1. Kako se zove izraz

Slide 5.

Pronađi:

1) 2) 3) 7 ili 7

Slide 6.

Danas ćemo se upoznati s jednim od svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena. Predstavljamo i dokazujemo teoremu o kvadratnom korijenu sa posla, razmotrimo primjere njegove primjene. Tada će vam biti ponuđeni zadaci za samotestiranje. Sretno!

Slide 7.

Pokušajmo odlučiti

Razmotrite aritmetički korijen pronađite vrijednost izraza: Dakle, tako da je korijen proizvoda dva broja jednak proizvodu korijena ovih brojeva.

Slide 8.

Korijen rada nenegativnog faktora jednak je proizvodu korijena iz ovih faktora. Ako teorema

Slajd 9.

Kvadratni korijen rada

Dokaz: Dakle, imaju smisla. 4. Zaključak: (jer je proizvod dva negativni broj nenegativan) 5. Dakle,

Slide 10.

Pregledali smo dokaz teoreme za vađenje kvadratnog korijena iz posla. Okrenimo se praktičnom radu. Sada ću vam pokazati kako se ova formula koristi prilikom rješavanja primjera. Odlučite sa mnom.

Slide 11.

Izračunajte vrijednost kvadratnog korijena pomoću korijenskog teorema iz posla: Mi rješavamo primjere:

Slajd 12.

Riješimo primjere:

2. Pronađite vrijednost izraza:

Slide 13.

Brzi račun

I pretpostavljao sam kako koristiti ovu formulu za brzo računanje. Pogledajte i naučite.

Slide 14.

Opcija 1 Opcija 2 Ponudim vam primjere za neovisno rješenje.

Prije pojavljivanja kalkulatora, studenti i nastavnici shvatili su kvadratne korijene ručno. Postoji nekoliko načina za ručno izračunavanje kvadratnog korijena. Neki od njih nude samo približno rješenje, drugi daju tačan odgovor.

Korake

Dekompozicija jednostavnih faktora

Raširite broj multiplikatora koji su kvadratni brojevi. Ovisno o prošlom broju, dobit ćete približni ili tačan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može ukloniti cijeli kvadratni korijen. Multiplikatori - brojevi koji su dati u množitelju. Na primjer, množitelji broja 8 su 2 i 4, kao 2 x 4 \u003d 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, od √25 \u003d 5, √36 \u003d 6, √49 \u003d 7. Kvadratni multiplikatori su multiplikatori koji su kvadratni brojevi. Prvo pokušajte razgraditi broj hrane u četvrtaste multiplikatore.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte da se razgrade 400 po kvadratnim greškama. 400 više 100, odnosno podijeljeno je u 25 - ovo je kvadratni broj. Dijeljenje 400 do 25, dobit ćete 16. Broj 16 je također kvadratni broj. Tako se 400 može razgraditi na kvadratne greške 25 i 16, odnosno 25 x 16 \u003d 400.
To se može napisati na sljedeći način: √400 \u003d √ (25 x 16).

Kvadratni korijen iz proizvoda nekih članova jednak je proizvodu kvadratnih korijena od svakog člana, odnosno √ (a x b) \u003d √a x √b. Iskoristite ovo pravilo i uklonite kvadratni korijen iz svakog kvadratnog multiplikatora i množite se dobijene rezultate kako biste pronašli odgovor.
- U našem primjeru uklonite korijen od 25 i od 16.
  - √ (25 x 16)
  - √25 x √16.
  - 5 x 4 \u003d 20
Ako broj feed ne postavi dva kvadratna faktora (i to se događa u većini slučajeva), nećete moći pronaći tačan odgovor u obliku cijelog broja. Ali možete pojednostaviti zadatak, postavljati broj hrane u kvadratni faktor i običan multiplikator (broj iz kojeg je cijeli kvadratni korijen nemoguće izdvojiti). Tada uklonite kvadratni korijen iz kvadratnog multiplikatora i izdvojit ćete korijen iz običnog faktora.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen iz broja 147. Broj 147 ne može se razgraditi u dva kvadratna faktora, ali može se razgraditi u sljedeće faktore: 49 i 3. Odlučiti zadatak na sljedeći način:
  - \u003d √ (49 x 3)
  - \u003d √49 x √3
  - = 7√3
Ako je potrebno, cijenite vrijednost korijena. Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) uspoređujući ga s vrijednostima kvadratnih brojeva koji su najbliži (na obje strane na numeričkoj liniji) na vođeni broj. Dobit ćete vrijednost korijena u obliku decimalnog frakcije, koji se mora pomnožiti s brojem iza korijenskog znaka.
- Vratimo se našem primjeru. Broj 3. Najbliži kvadratni brojevi bit će brojevi 1 (√1 \u003d 1) i 4 (√4 \u003d 2). Dakle, vrijednost √3 nalazi se između 1 i 2. Kao vrijednost √3, vjerovatno bliže 2 nego na 1, a zatim naša ocjena: √3 \u003d 1,7. Pomnožite ovu vrijednost po broju na potkoljetnom znaku: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ako napravite proračune na kalkulatoru, tada ćete dobiti 12.13, što je prilično blizu našeg odgovora.
  - Ova metoda takođe radi sa velikim brojevima. Na primjer, razmislite o √35. Angering broj 35. Kvadratni brojevi najbliži tome bit će brojevi 25 (√25 \u003d 5) i 36 (√36 \u003d 6). Dakle, vrijednost √35 nalazi se između 5 i 6. jer je vrijednost √35 mnogo bliža 6 od K 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), tada se može proglasiti da je √35 neznatno manje nego 6. Provjera kalkulatora daje nam odgovor 5,92 - bili smo u pravu.
Drugi način - raširiti broj običnih faktora . Jednostavni faktori su brojevi koji dijele samo 1 i sebe. Zapišite jednostavne množitelje u nizu i pronađite parove istih multiplikatora. Može se doći do takvih multiplikatora za korijenski znak.
- Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Otključajte broj dovoda na jednostavnim množiteljima: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Dakle, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 Do znaka korijena može se doći: √45 \u003d 3√5. Sada možete procijeniti √5.
- Razmotrite još jedan primjer: √88.
  - \u003d √ (2 x 44)
  - \u003d √ (2 x 4 x 11)
  - \u003d √ (2 x 2 x 2 x 11). Primili ste tri faktora 2; Uzmi nekoliko njih i donio korijen.
  - \u003d 2√ (2 x 11) \u003d 2√2 x √11. Sada možete procijeniti √2 i √11 i pronaći približan odgovor.
Proračun kvadratnog korijena ručno

Korištenje podjele u koloni
1. Ova metoda uključuje proces sličan podjeli u kolonu i daje tačan odgovor. Prvo, potrošite vertikalnu liniju podijeliti list u dvije polovine, a zatim udesno i malo ispod gornje ivice lista do vertikalne linije. Okrenite vodoravnu liniju. Sada podijelite vođeni broj u parove brojeva, počevši od frakcijskog dijela nakon zareza. Dakle, broj 79520789182,47897 napisan je kao "7 95 20 78 91 82, 47,89 70".
  - Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 780.14. Nacrtajte dvije linije (kao što je prikazano na slici) i s lijeve strane, napišite ovaj broj u obliku "7 80, 14". Normalno je da je prvi lijevi broj nepoštena cifra. Odgovor (korijen ovog broja) bit će zabilježen s desne strane.
2. Za prve lijeve parove brojeva (ili jedan broj) pronađite najveći cijeli broj n, od kojih je kvadrat manji ili je jednak par brojeva (ili jednim brojem). Drugim riječima, pronađite kvadratni broj koji je najbliži prvom lijevom par brojeva (ili jednim brojem), ali manje od njega i uklonite kvadratni korijen sa ovog kvadratnog broja; Dobit ćete broj N. Napišite pronađene n odozgo udesno, a kvadrat n se prijavite iz donjeg desno.
  - U našem slučaju, prvi lijevi broj bit će broj 7. Dalje, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Izbrišite kvadrat N broja koji ste upravo pronašli, od prvog lijevog para brojeva (ili jednog broja). Rezultat izračuna snima se odduživim (kvadratni n).
  - U našem primjeru, odbijte 4 od 7 i dobijte 3.
4. Sneake drugi par brojeva i napišite je oko vrijednosti dobivene u prethodnom koraku. Zatim udvostručite broj na vrhu udesno i napišite rezultat s dna do dna uz dodatak "_ × _ \u003d".
  - U našem primjeru drugi par brojeva je "80". Zapišite "80" nakon 3. Zatim se udvostručio na vrhu desne dati 4. Snimanje "4_ × _ \u003d" s dna udesno.
5. Ispunite gorivo s desne strane.
  - U našem slučaju, ako umjesto kruta stavljaju broj 8, tada 48 x 8 \u003d 384, što je više od 380. Stoga je 8 previše, ali 7 će odgovarati. Napišite 7 umjesto ukoljenica i dobijete: 47 x 7 \u003d 329. Rekord 7 odozgo s desne strane - ovo je druga cifra u traženoj četvrtom korijenu broja 780.14.
6. Izbrišite rezultirajuće broj iz trenutnog broja s lijeve strane. Zapišite rezultat iz prethodnog koraka ispod trenutnog broja s lijeve strane pronađite razliku i zapišite ga pod spremni.
  - U našem primjeru, odbit je 329 od 380, što je jednako 51.
7. Ponovite korak 4. Ako je frakcijski par brojeva frakcijski dio izvornog broja, a zatim stavite separator (zarez) cjelokupnog i frakcijskog dijela u traženom kvadratnom korijenu s desne strane. S lijeve strane, rušite niz sljedećih nekoliko brojeva. Udvostručite broj od gore s desne strane i napišite rezultat s dna do dna do dodavanja "_ × _ \u003d".
  - U našem primjeru, sljedeći podneseni par brojeva bit će frakcijski dio broja 780,14, pa se odvajač cjelokupnih i frakcijskih dijelova stavite u zglobni kvadratni korijen na vrhu desne strane. Prijavite se 14 i zapišite levo. Udvostručeni broj odozgo na desnoj strani (27) bit će 54, pa napišete "54_ × _ \u003d" s dna udesno.
8. Ponovite korake 5 i 6. Pronađite takav najveći broj satelitu s desne strane (umjesto krutosti morate zamijeniti isti broj) tako da je rezultat množenja manji ili jednak trenutnom broju s lijeve strane.
  - U našem primjeru 549 x 9 \u003d 4941, što je manje od trenutnog broja s lijeve strane (5114). Napišite 9 na vrh udesno i odbijte rezultat umnožavanja sa trenutnog broja ulijevo: 5114 - 4941 \u003d 173.
9. Ako za kvadratni korijen morate pronaći više plakiranih znakova, napišite par nula sa trenutnog broja na lijevoj strani i ponovite korake 4, 5 i 6. Ponovite korake dok ne primite tačnost odgovora (broj zareza).
Razumijevanje procesa
1. Razmislite o prvom paru SA brojeva SA (SA \u003d 7 u našem primjeru) i pronađite svoj kvadratni korijen. U ovom slučaju, prva znamenkata željene vrijednosti kvadratnog korijena bit će takva cifra, čija je kvadrat manja ili jednaka S a (to jest, tražimo takvu A2 u kojoj se navodi takav A2 ≤ SA< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Pretpostavimo da trebate podijeliti 88962 do 7; Prvi korak bit će sličan: smatramo prvom znamenkom podjele broja 88962 (8) i mi odaberemo tako najveći broj, koji, prilikom množenja, daje vrijednost manje ili jednaku 8. To je, gledamo Za takav broj D, na kojem je nejednakost tačna: 7 × D ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

Diplomiraj sa racionalnim pokazateljem

Funkcija napajanja IV.

§ 79. Vađenje korijena sa posla i privatnog

Theorem 1. Korijen p Stepen iz proizvoda pozitivnih brojeva jednak je proizvodu korijena p - od faktora, to jest, ali > 0, b. \u003e 0 i prirodno p

n. √aB = n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: n. √b. . (1)

Dokazi. Podsjetimo da je korijen p - iz pozitivnog broja aB Postoji tako pozitivan broj p - Ja sam jednak aB . Stoga dokazati ravnopravnost (1) Da li je sve isto tako da dokaže jednakost

(n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: n. √b. ) n. = aB .

Stepenom rada

(n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: n. √b. ) n. = (n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ) n. (n. √b. ) n. =.

Ali po definiciji korijena p stepen ( n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: ) n. = ali , (n. √b. ) n. = b. .

Dakle ( n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: n. √b. ) n. = aB . Teorem se dokazuje.

Potražnja ali > 0, b. \u003e 0 u suštini samo za čak p jer sa negativnim ali i b. I čak p korijenje n. √sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: i n. √b. nije definisano. Ako p Samo, tada formula (1) važi za bilo koji ali i b. (I pozitivno i negativno).

Primjeri: √16 121 \u003d √16 √121 \u003d 4 11 \u003d 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

Formula (1) korisna je za upotrebu prilikom izračuna korijena kada je izraz hranjenja predstavljen u obliku proizvoda tačnog kvadrata. Na primjer,

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

Teorem 1 Dokazali smo se za slučaj kada su pod znakom radikala na lijevoj strani formule (1), postoji proizvod dva pozitivna brojeva. U stvari, ova teorema vrijedi za bilo koji broj pozitivnih faktora, odnosno sa bilo kojim prirodnim k. > 2:

Korolija. Čitanje ovog identiteta s desne lijeve strane, dobivamo sljedeće povijanje ustrojenosti s istim. Pokeri;

Da bi se množili korijeni istim pokazateljima, dovoljno je pomnožiti sa ekspresijom za hranjenje, ostavljajući korijensku brzinu za isti.

Na primjer, √3 √8 √6 \u003d √3 8 6 \u003d √144 \u003d 12.

Theorem 2. Korijen pMeđu frakcijom, brojevnice i nazivnik koji su pozitivni brojevi, jednaki su podjeli korijena iste mjere iz brojača do korijena istog stepena iz nazivnika, to jest, kada ali \u003e 0 I. b. > 0

(2)

Dokazati jednakost (2) - to znači da to pokaže

Prema pravilima izgradnje frakcije u diplomi i definiciji korijena n. - Imam:

Dakle, teorema se dokazuje.

Potražnja ali \u003e 0 I. b. \u003e 0 u suštini samo sa čak i ravnomjernim p . Ako p Inače, formula (2) vrijedi za negativne vrijednosti ali i B. .