عرض تقديمي حول موضوع "الجذر التربيعي من العمل". جذور الصيغ. خصائص الجذور. كيف تضاعف الجذور؟ أمثلة كيفية استخراج جذر العمل

حان الوقت لتفكيك طرق لاستخراج الجذوروبعد وهي تستند إلى خصائص الجذور، على وجه الخصوص، على المساواة، وهي صالحة لأي عدد غير سلبي ب.

أدناه نتحول ننظر إلى الطرق الأساسية لاستخراج الجذور.

دعنا نبدأ بأبسط حالة - مع استخراج الجذور من الأرقام الطبيعية باستخدام جدول مربعة وجداول مكعبات، إلخ.

إذا كانت الجداول المربعة والمكعبات، إلخ. لا توجد جهة، من المنطقي استخدام طريقة استخراج الجذر الذي يعني تحلل عدد UnderCase لعوامل بسيطة.

بشكل منفصل، يستحق التوقف عن ما هو ممكن للجذور مع مؤشرات غريبة.

أخيرا، فكر في طريقة تسمح لك بالعثور على قيم التفريغ على التوالي.

دعنا المضي قدما.

باستخدام جدول المربع، جداول المكعبات، إلخ.

في الحالات الأكثر بساطة، إزالة الجذور تسمح جداول المربعات والمكعبات، إلخ. ما هي هذه الجداول؟

يتكون طاولة المربعات من الأعداد الصحيحة من 0 إلى 99 شاملة (تظهر أدناه) من منطقتين. تقع المنطقة الأولى من الجدول على خلفية رمادية، وهي تستخدم سلسلة معينة وعمود معين يتيح لك إصدار رقم من 0 إلى 99. على سبيل المثال، حدد سلسلة من 8 دزينة ووحدات العمود 3، قمنا بإصلاح الرقم 83. المنطقة الثانية تحتل الجزء المتبقي من الطاولة. كل خلية موجودة على تقاطع صف معين وعمدة محددة، وتحتوي على مربع الرقم المقابل من 0 إلى 99. عند تقاطع الخط المحدد 8 دزينة ووحدات العمود 3 خلية عدد من 6 889، وهو مربع الرقم 83.

جداول مكعبات، جداول الدرجات الرابعة من 0 إلى 99 وهكذا على غرار جدول المربعات، فقط في المنطقة الثانية تحتوي على كوبا، الدرجات الرابعة، إلخ. الأرقام المقابلة.

طاولات مربعة، مكعبات، درجات رابعة، إلخ. السماح للجذور المربعة والجذور المكعبة وجذور الدرجة الرابعة، إلخ. وفقا لذلك، من الأرقام في هذه الجداول. اشرح مبدأ طلبهم عند استخراج الجذور.

لنفترض أننا نحتاج إلى استخراج جذر درجة N من بين الرقم أ، ويتم احتواء الرقم A في جدول N-Threes. على هذا الجدول، نجد الرقم ب بحيث \u003d b n. ثم لذلك، سيكون الرقم ب الجذر المرغوب فيه من درجة n.

كمثال، سنظهر كيف يتم استخراج الجذر المكعب من 19،683 باستخدام الجدول المكعب. نجد الرقم 19،683 في طاولة المكعبات، من ذلك، نجد أن هذا الرقم عبارة عن مكعب من الأرقام 27، لذلك، .

من الواضح أن جداول N- الخيوط مريحة للغاية عند إزالة الجذور. ومع ذلك، فهي في كثير من الأحيان ليست في متناول اليد، وتجميعها يتطلب وقتا معينا. علاوة على ذلك، غالبا ما يكون من الضروري استخراج الجذور من الأرقام غير الموجودة في الجداول المعنية. في هذه الحالات، عليك أن تلجأ إلى طرق أخرى لاستخراج الجذور.

تحلل عدد قليل في العوامل البسيطة

طريقة مريحة بما فيه الكفاية، مما يسمح بإزالة الجذر من عدد طبيعي (ما لم يتم استخراج الجذر)، هو تحلل رقم مضغوط في عوامل بسيطة. له الجوهر هو ما يلي: بعد ذلك سهلا بما يكفي تخيله في شكل درجة مع المؤشر المرغوب، مما يسمح لك بالحصول على قيمة الجذر. دعونا نوضح هذه اللحظة.

دع جذر n درجة من العدد الطبيعي من أ، وقيمته يساوي ب. في هذه الحالة، المساواة هي A \u003d B N. يمكن تمثيل الرقم ب حيث أن أي عدد طبيعي يمكن تمثيل كمنتج لجميع مضاعفها البسيطة P 1، P 2، ...، PM في النموذج P 1 · P 2 · ... · PM، وعلامة التغذية يبدو أن هذه الحالة (ص 1 · P 2 · ... · PM) N. نظرا لأن التحلل العدد إلى العوامل البسيطة هو الوحيد، فإن تحلل رقم التغذية أ على العوامل البسيطة سيكون من النموذج (p 1 · p 2 · ... · p m) n، مما يجعل من الممكن لحساب قيمة الجذر كما.

لاحظ أنه إذا تعذر تمثيل التحلل على المصانع البسيطة للرقم المغخري A في النموذج (P 1 · p 2 · ... · p m) n، ثم لا يتم استخراج جذر درجة n من مثل هذا عدد.

سنتعامل مع هذا عند حل أمثلة.

مثال.

إزالة الجذر التربيعي من 144.

قرار.

إذا اتصلت بجدول المربعات الواردة في الفقرة السابقة، فمن الواضح أن 144 \u003d 12 2، من الواضح منه أن الجذر التربيعي 144 يساوي 12.

ولكن في ضوء هذا البند، نحن مهتمون بكيفية استخراج الجذر عن طريق تحلل الرقم 144 الموجه 144 إلى مضاعفات بسيطة. سنقوم بتحليل طريقة الحلول هذه.

إعلان 144 على مضاعفات بسيطة:

هذا هو، 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. بناء على التحلل الذي تم الحصول عليه، يمكن تنفيذ هذه التحولات: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2وبعد لذلك، .

باستخدام درجة وخصائص الجذور، يمكن ترتيب الحل ومختلف قليلا :.

إجابه:

لتأمين المواد، اعتبر حلول مثالين آخرين.

مثال.

حساب قيمة الجذر.

قرار.

يحتوي التحلل على المصانع البسيطة لعدد الأعلاف 243 على نموذج 243 \u003d 3 5. في هذا الطريق، .

إجابه:

مثال.

هل قيمة الجذر في عدد صحيح؟

قرار.

للرد على هذا السؤال، سوف نحلل العدد الموجه على مضاعفات بسيطة ومعرفة ما إذا كان سوف يتخيل كيوب عدد صحيح.

لدينا 285 768 \u003d 2 3 · 3 6 · 7 2. لا يبدو التحلل الناتج في شكل مكعب عدد صحيح، لأن درجة المضاعف البسيط 7 ليست متعددة. وبالتالي، لا يتم استخراج الجذر المكعب من بين 285768 شخصا.

إجابه:

لا.

إزالة جذور من الأرقام الكسرية

حان الوقت لمعرفة كيفية استخراج أصل رقم كسور. دع رقم تغذية كسور مسجلة ك P / Q. وفقا لملكية الجذر من القطاع الخاص، فإن المساواة التالية عادلة. من هذه المساواة يتبع القاعدة الجذر الجذر من الفاكهة: جذر الكسر يساوي القطاع الخاص من انشطار الجذر من البسط إلى الجذر من القاسم.

سنقوم بتحليل مثال لاستخراج الجذر من الكسر.

مثال.

ما يساوي الجذر التربيعي من الكسر العادي 25/169.

قرار.

على طاولة المربعات، نجد أن الجذر التربيعي من أصل الكسر الأصلي هو 5، والجذر التربيعي من القاسم هو 13. ثم وبعد على هذا الاستخراج الجذر من الكسر العادي 25/169 الانتهاء.

إجابه:

يتم استخراج جذر الكسر العشري أو الرقم المختلط بعد استبدال الأرقام في الكسور العادية.

مثال.

قم بإزالة الجذر المكعب من الكسر العشري 474،552.

قرار.

تخيل الكسر العشري الأصلي في شكل جزء صغير عادي: 474،552 \u003d 474552/1000. ثم وبعد يبقى لاستخراج الجذور المكعبة الموجودة في البسط والمقاوم للكسر الناتج. مثل 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 و 1000 \u003d 10 3، ثم و وبعد لا يزال فقط لإكمال الحسابات .

إجابه:

.

إزالة جذر عدد سلبي

بشكل منفصل، يستحق التوقف عن استخراج جذور الأرقام السلبية. عند دراسة الجذور، قلنا أنه عندما يكون معدل الجذر رقم فردي، فقد يكون الرقم السلبي تحت علامة الجذر. هذه السجلات التي قدمها المعنى التالي: لعدد سلبي من -A ومؤشر الجذر الغريب 2 · N-1 إلى حد ما وبعد هذه المساواة تعطي القاعدة لاستخراج جذور درجة غريبة من الأرقام السالبة: لاستخراج جذر رقم سالب، من الضروري استخراج الجذر من الرقم المقابل المعاكس له، ووضع علامة ناقص قبل النتيجة.

النظر في حل المثال.

مثال.

العثور على قيمة الجذر.

قرار.

نقوم بتحويل التعبير الأولي بحيث تحولت في ظل علامة الجذر إلى رقم إيجابي: وبعد الآن يتم استبدال الرقم المختلط بالرصاص العادي: وبعد تطبيق قاعدة التصنيف من Fraci العادي: وبعد يبقى لحساب الجذور في البسط والمستشار من FRACI الناتجة: .

دعونا نقدم سجل موجز للحل: .

إجابه:

.

قاطع

بشكل عام، تحت الجذر، هناك رقم أنه، بمساعدة أساليب تفكيكه، لا يمكن تمثيله ككلغة N- أي رقم. ولكن في الوقت نفسه، من الضروري معرفة قيمة هذا الجذر، على الأقل بدقة بعض العلامات. في هذه الحالة، لاستخراج الجذر، يمكنك استخدام الخوارزمية، والتي تسمح لك بالحصول على عدد كاف من قيم التصريفات في العدد المطلوب.

في الخطوة الأولى من هذه الخوارزمية، من الضروري معرفة ما هو الرقم الأقدم من قيمة الجذر هو. للقيام بذلك، يتم تقسيمها باستمرار في درجة N العدد 0، 10، 100، ... حتى يتم الحصول على الرقم عندما يتم الحصول على الرقم الذي يتجاوز عدد الخلاصة. ثم فإن الرقم الذي أقامناه في درجة ن في المرحلة السابقة سيشير إلى التفريغ العالي المناسب.

على سبيل المثال، النظر في هذه الخطوة من الخوارزمية عند إزالة الجذر التربيعي لخمسة. نأخذ الأرقام 0، 10، 100، ... وتصدرهم في مربع حتى نحصل على رقم يتجاوز 5. لدينا 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5، لذلك، سيكون التفريغ المرتفع هو تصريف الوحدات. سيتم العثور على معنى هذا التفريغ، وكذلك أكثر أصغر سنا، في الخطوات التالية من خوارزمية استخراج الجذر.

تهدف جميع الخطوات التالية من الخوارزمية إلى تحسين قيمة الجذر باستمرار بسبب حقيقة أن قيم الأرقام التالية من القيمة الجذرية المطلوبة تبدأ مع الأقدم والانتقال إلى الأصغر. على سبيل المثال، يتم الحصول على قيمة الجذر في الخطوة الأولى 2، في الثانية - 2.2، في الثالثة - 2.23، وهكذا على 2،236067977 .... نحن تصف كيفية العثور على قيم التفريغ.

يتم العثور على التصريفات من خلال الوتد القيم المحتملة 0، 1، 2، ...، 9. في الوقت نفسه، يتم احتساب درجات NIC من الأرقام المقابلة بالتوازي، ويتم مقارنتها برقم داخلي. إذا كان قيمة الشهادة في مرحلة ما في مرحلة ما، فإن قيمة الشهادة تتجاوز، ثم تعتبر قيمة التفريغ المقابلة للقيمة السابقة، ويرد الانتقال إلى الخطوة التالية من خوارزمية استخراج الجذر، ولكن إذا كان هذا لا يحدث، قيمة هذا التفريغ هو 9.

دعونا نوضح كل هذه اللحظات في نفس المثال لاستخراج الجذر المربع الخامس.

أولا نجد قيمة تفريغ الوحدات. سنفرز قيم 0، 1، 2، ...، 9، حساب 0 2، 1 2، على التوالي، ...، 9 2 إلى اللحظة، حتى نحصل على قيمة، وأرقام أكثر تعليما 5 وبعد كل هذه الحسابات مريحة تمثل في شكل جدول:

لذلك قيمة التفريغ للوحدات 2 (منذ 2 2<5 , а 2 3 >خمسة). اذهب إلى العثور على قيمة تصريف أعشار. في الوقت نفسه، سيتم تقسيمنا في مربع الرقم 2.0، 2.1، 2.2، ...، 2.9، مقارنة القيم التي تم الحصول عليها مع التحقيق رقم 5:

كما 2.2 2 2<5 , а 2,3 2 >5، قيمة تفريغ العاشر هي 2. يمكنك المتابعة لإيجاد قيمة تفريغ مائة:

هذه هي القيمة التالية لجذر خمسة، وهو يساوي 2.23. وهكذا يمكنك الاستمرار في مواصلة العثور على القيم: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

لتأمين المواد، سنقوم بتحليل استخراج الجذر بدقة المئات بمساعدة الخوارزمية التي تعتبر.

أولا نحدد التفريغ الأكبر. للقيام بذلك، نحن أقامنا في قائمة بالأرقام 0، 10، 100، إلخ. حتى نتلقى عددا متفوقا على 2 151،186. لدينا 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151،186، وبالتالي، فإن التفريغ العظيم هو تصريف عشرات.

تحديد قيمتها.

منذ 10 3.<2 151,186 , а 20 3 >2 151،186، قيمة تفريغ العشرات تساوي 1. الذهاب إلى الوحدات.

وبالتالي، فإن قيمة تفريغ الوحدات هي 2. انتقل إلى العاشر.

منذ حتى 12.9 3 أقل من رقم 2 151،186، قيمة إفرازات العاشرة هي 9. يبقى أداء الخطوة الأخيرة في الخوارزمية، وسوف تعطينا قيمة الجذر بالدقة المطلوبة.

في هذه المرحلة، تم العثور على قيمة الجذر مع الدقة إلى مائة: .

في ختام هذه المقالة، أود أن أقول إن هناك العديد من الطرق الأخرى لاستخراج الجذور. ولكن بالنسبة لمعظم المهام، هناك ما يكفي من تلك التي درسناها أعلاه.

فهرس.

• makarychev yu.n.، mindyuk n.g.، nebkov k.i.، suvorova s.b. الجبر: البرنامج التعليمي ل 8 CL. المؤسسات التعليمية العامة.
• Kolmogorov A.N.، Abramov A.M، Dudnitsyn Yu.P. et al. algebra وبدء التحليل: كتاب مدرسي لمدة 10 - 11 فصول من المؤسسات التعليمية العامة.
• gusev v.a.، mordkovich a.g. الرياضيات (بدل للمتقدمين للمدارس الفنية).

√2601 \u003d 51، منذ (51) 2 \u003d 2601.

من ناحية أخرى، نلاحظ أن الرقم 2601 هو عمل عاملين، حيث يتم استخراج الجذر بسهولة:

استخراج الجذر التربيعي من كل مصنع وبديل هذه الجذور:

√9 * √289 = 3 * 17 = 51.

تلقينا نفس النتائج ثم عندما تمت إزالة الجذر من العمل تحت الجذر، ثم، عندما تمت إزالة الجذر من كل مصنع بشكل منفصل والنتائج مضروبة في ذلك.

في كثير من الحالات، الطريقة الثانية للعثور على النتيجة أسهل، لأنه من الضروري استخراج جذر الأرقام الأصغر.

نظرية 1. لاستخراج الجذر التربيعي من العمل، يمكنك إزالته من كل مصنع بشكل منفصل وضرب النتائج.

نثبت نظرية ثلاثة عوامل، وهذا يعني أننا سنثبت صحة المساواة:

برهان سنكون فحصا مباشرا بناء على تعريف الجذر الحسابي.

لنفترض أننا بحاجة إلى إثبات المساواة:

\u003d B.

(A و B - أرقام غير سلبية). لتحديد الجذر التربيعي، وهذا يعني ذلك

ب 2 \u003d

لذلك، يكفي بناء الجزء الأيمن من المساواة التي أثبتت المربع وتأكد من أن التعبير الموجه للجانب الأيسر سوف تتحول.

تطبيق هذا المنطق لإثبات المساواة (1). أقام الجانب الأيمن في المربع؛ ولكن في الجزء الأيمن يوجد عمل، وبناء عمل في مربع، يكفي إنشاء كل مصنع ومضاعف وضرب النتائج (انظر الفقرة 40):

(B c) 2 \u003d (√a) 2 () 2 (c) 2 \u003d ABC.

اتضح تعبير التغذية في الجانب الأيسر. لذلك، المساواة (1) صحيح.

لقد أثبتنا نظرية ثلاثة عوامل. لكن الحجج ستبقى كما هي إذا كان تحت الجذر سيكون هناك 4، وما إلى ذلك كثيرا. Theorem مخلص لأي عدد من العوامل.

مثال.

يتم العثور على النتيجة بسهولة شفهيا.

2. جذر الكسر.

نحن نثبت نظرية.

نظرية 2. لاستخراج جذر الكسر، يمكنك إزالة الجذر بشكل منفصل عن البسط والمقاوم والنتائج الأولى مقسمة إلى الثانية.

مطلوب لإثبات صحة المساواة:

للحصول على الدليل، سنقوم بتطبيق الطريقة التي ثبت فيها نظرية السابق.

تأسيس الجانب الأيمن إلى المربع. سوف نحصل على:

تلقى تعبير التغذية الذي يقف في الجانب الأيسر. لذلك، المساواة (2) صحيح.

لذلك، لقد أثبتنا الهويات التالية:

وصياغة القواعد ذات الصلة لاستخراج الجذر التربيعي من العمل والخاصة. في بعض الأحيان عند إجراء التحولات، يتعين على هذه الهويات استخدامها، وقراءةها "الحق في اليسار".

إلقاء الأجزاء اليمنى واليمين، أعد كتابة الهويات المثبتة على النحو التالي:

لمضاعفة الجذور، يمكنك ضرب تعبيرات التغذية واستخراج الجذر من العمل.

لتقسيم الجذور، يمكنك تقسيم تعبيرات التغذية ومن إزالة الجذر الخاص.

3. الجذر من الدرجة.

في كلتا الأمثلة، نتيجة لذلك، حصلنا على أساس تعبير التغذية بدرجة مساوية لشعبة المؤشر بنسبة 2.

دعونا نثبت هذا المنصب بشكل عام.

نظرية 3. إذا كان م هو رقم حتى، ثم

قل باختصار ذلك: لإزالة الجذر التربيعي من الدرجة، يكفي للتقسيم إلى مؤشر 2 على درجة (دون تغيير الأساس).

للحصول على الدليل، نطبق طريقة التحقق التي ثبت فيها نظرية 1 و 2.

منذ م هو عدد حتى (تحت الحالة)، ثم عدد صحيح. أقام الجانب الأيمن من المساواة في المربع، والتي (انظر الفقرة 40) مضاعفة من قبل 2 من المؤشرات على درجة دون تغيير الأساس

تلقى تعبير التغذية الذي يقف في الجانب الأيسر. لذلك، المساواة (3) صحيح.

مثال. حساب.
يجب أن ينفق الحساب 76 وقتا كبيرا وعمل كبير. يتيح لك Theorem 3 العثور على النتيجة شفهيا.

الشريحة 2.

الأهداف الدرس:

كرر تحديد جذر مربع حسابي. أدخل وأثبت النظرية حول الجذر التربيعي من العمل. تعلم أن تجد. تحقق المعرفة والمهارات مع العمل الذاتي.

الشريحة 3.

الجذر التربيعي للعمل

خطة الدرس: تحقيق المعرفة. دراسة مواد جديدة. صيغة تصلب على الأمثلة. عمل مستقل. تلخيص. المهمة في المنزل.

الشريحة 4.

مرحبا يا شباب!

كرر: 2. ما يسمى الجذر المربع الحسابي من بين 3. مع القيمة التي لا معنى لها التعبير؟ 1. ما هو اسم التعبير

الشريحة 5.

تجد:

1) 2) 3) 7 أو أو 7

الشريحة 6.

اليوم سوف نتعرف على واحدة من خصائص جذر مربع حسابي. نحن نقدم وإثبات نظرية الجذر التربيعي من العمل، والنظر في أمثلة تطبيقها. ثم سيتم تقديم مهام الاختبار الذاتي. حظا سعيدا!

الشريحة 7.

دعونا نحاول أن تقرر

النظر في الجذر الحسابي العثور على قيمة التعبير: لذلك، لذلك، فإن جذر نتاج رقمين يساوي نتاج جذور هذه الأرقام.

الشريحة 8.

جذر عمل العامل غير النظري يساوي نتاج الجذور من هذه العوامل. إذا نظرت نظرية

الشريحة 9.

الجذر التربيعي للعمل

إثبات: إذن، فهم منطقي. 4. الخلاصة: (نظرا لأن منتج اثنين من الأرقام غير السالبة غير سليجنجية) 5. لذلك،

الشريحة 10.

استعرضنا إثبات نظرية لاستخراج الجذر التربيعي من العمل. دعونا ننتقل إلى العمل العملي. الآن سأريك كيف يتم استخدام هذه الصيغة عند حل الأمثلة. اتخاذ قرار معي.

الشريحة 11.

احسب قيمة الجذر التربيعي باستخدام نظرية الجذر من العمل: نحل الأمثلة:

الشريحة 12.

نحن نحل الأمثلة:

2. العثور على قيمة التعبير:

الشريحة 13.

حساب سريع

وتخمن بكيفية استخدام هذه الصيغة للحوسبة السريعة. شاهد وتعلم.

الشريحة 14.

الخيار 1 الخيار 2 أقدم لك أمثلة لحل مستقل.

قبل ظهور الآلات الحاسبة، احسب الطلاب والمعلمون الجذور المربعة يدويا. هناك عدة طرق لحساب رقم الجذر التربيعي يدويا. يقدم البعض منهم حلا تقريبي فقط، فإن الآخرين يعطي إجابة دقيقة.

خطوات

تحلل العوامل البسيطة

نشر عدد مضاعف الأرقام المربعة. اعتمادا على الرقم الماضي، سوف تحصل على إجابة تقريبية أو دقيقة. أرقام مربع هي أرقام يمكن من خلالها إزالة الجذر المربع بأكمله. المضاعفات - الأرقام الواردة في الشركات. على سبيل المثال، مضاعفات الرقم 8 هي 2 و 4، ك 2 × 4 \u003d 8، والأرقام 25، 36، 49 هي أرقام مربعة، منذ √25 \u003d 5، √36 \u003d 6، 49 \u003d 7. مضاعفات مربع هي المضاعفات التي هي أرقام مربع. حاول أولا أن تتحلل رقم التغذية إلى مضاعفات مربعة.

• على سبيل المثال، احسب الجذر التربيعي 400 (يدويا). أول محاولة لتحلل 400 لكل عيوب مربعة. 400 متعددة 100، وهذا هو، هو مقسمة إلى 25 - وهذا هو رقم مربع. تقسيم 400 إلى 25، سوف تتلقى 16. الرقم 16 هو أيضا رقم مربع. وبالتالي، يمكن تحليل 400 في الأعطال المربعة 25 و 16، وهذا هو، 25 × 16 \u003d 400.
• يمكن كتابة هذا على النحو التالي: 400 \u003d √ (25 × 16).

1. الجذر التربيعي من منتج بعض الأعضاء يساوي نتاج جذور مربعة من كل عضو، وهذا هو، (x b) \u003d √a x √b. الاستفادة من هذه القاعدة وإزالة الجذر التربيعي من كل مضاعف مربع وضرب النتائج التي تم الحصول عليها للعثور على الجواب.

   • في مثالنا، قم بإزالة جذر 25 والخروج من 16.
     • (25 × 16)
     • 25 X 16.
     • 5 × 4 \u003d 20

2. إذا لم يتم وضع رقم التغذية من قبل عاملين مربعا (وهذا يحدث في معظم الحالات)، فلن تتمكن من العثور على إجابة دقيقة في شكل عدد صحيح. ولكن يمكنك تبسيط المهمة، ووضع برقم موجز في عامل مربع ومضاعف عادي (الرقم الذي من المستحيل استخراج الجذر المربع بأكمله). ثم يمكنك إزالة الجذر التربيعي من مضاعف المربع وسيستخلص الجذر من العامل العادي.

   • على سبيل المثال، احسب الجذر التربيعي من بين الرقم 147. لا يمكن تحليل الرقم 147 في عاملين مربعين، ولكن يمكن تحليله في العوامل التالية: 49 و 3. حدد المهمة على النحو التالي:
     • \u003d (49 × 3)
     • \u003d 49 x 3
     • = 7√3

3. إذا لزم الأمر، نقدر قيمة الجذر. الآن يمكنك تقدير قيمة الجذر (ابحث عن قيمة تقريبية) بمقارنتها بقيم الأرقام المربعة الأقرب (على كلا الجانبين على خط رقمي) إلى الرقم الموجود. سوف تحصل على قيمة الجذر في شكل جزء كبير من الكسر العشري، والتي يجب أن تضاعفها الرقم خلف علامة الجذر.

   • دعنا نعود إلى مثالنا. الرقم 3. ستكون أقرب أرقام مربع أرقام 1 (1 \u003d 1) و 4 (4 \u003d 2). وبالتالي، فإن قيمة 3 موجودة بين 1 و 2. مثل قيمة 3، ربما أقرب إلى 2 من 1، ثم تقييمنا: √3 \u003d 1.7. نضرب هذه القيمة من قبل الرقم في علامة الجذر: 7 × 17 \u003d 11.9. إذا قمت بإجراء حسابات على الآلة الحاسبة، فستحصل على 12.13، وهو قريب جدا من ردنا.
     • تعمل هذه الطريقة أيضا بأعداد كبيرة. على سبيل المثال، النظر في 35. رقم مزين 35. الأرقام المربعة الأقرب إليها ستكون أرقام 25 (√25 \u003d 5) و 36 (√36 \u003d 6). وبالتالي، تقع قيمة 35 بين 5 و 6. منذ قيمة 35 أقرب بكثير من 6 ك 5 (لأن 35 فقط أقل من 36)، ثم يمكن الإعلان عن أنه 35 أقل قليلا من 6. فحص الآلة الحاسبة تعطينا إجابة 5.92 - كنا على حق.

4. طريق اخر - نشر عدد العوامل العادية . العوامل البسيطة هي أرقام تشارك فقط 1 ونفسها. اكتب مضاعفات بسيطة على التوالي والعثور على أزواج من نفس المضاعفات. يمكن الوصول إلى مثل هذه المضاعفات لعلامة الجذر.

   • على سبيل المثال، احسب الجذر التربيعي البالغة 45. قم بإلغاء تأمين رقم التغذية على مضاعفات بسيطة: 45 \u003d 9 × 5، و 9 \u003d 3 × 3. هكذا، 45 \u003d √ (3 × 3 × 5). 3 يمكن الوصول إليها بواسطة علامة الجذر: 45 \u003d 3√5. الآن يمكنك تقدير √5.
   • النظر في مثال آخر: 88.
     • \u003d (2 × 44)
     • \u003d (2 × 4 × 11)
     • \u003d (2 × 2 × 2 × 11). تلقيت ثلاثة عوامل 2؛ تأخذ زوجين منهم وتقديم جذر.
     • \u003d 2√ (2 × 11) \u003d 2√2 x √11. الآن يمكنك تقدير √2 و √11 وابحث عن إجابة تقريبية.

   حساب جذر مربع يدويا

   باستخدام التقسيم في العمود

   1. تتضمن هذه الطريقة عملية مشابهة للقسمة إلى عمود ويعطي إجابة دقيقة. أولا، اقض الخط العمودي تقسم الورقة إلى نصفين، ثم إلى اليمين وأقل قليلا أسفل الحافة العلوية من الورقة إلى الخط العمودي. اقلب الخط الأفقي. الآن قسم الرقم الموجدي في أزواج الأرقام، بدءا من الجزء الكسري بعد الفاصلة. وهكذا، يتم كتابة الرقم 79520789182،47897 باسم "7 95 20 78 91 82، 47،89 70".

      • على سبيل المثال، احسب الجذر التربيعي للرقم 780.14. ارسم سطرين (كما هو موضح في الشكل) وعلى اليسار أعلاه، اكتب هذا الرقم في النموذج "7 80 و 14". من الطبيعي أن الرقم الأيسر الأول هو رقم غير متجانس. سيتم تسجيل الإجابة (جذر هذا الرقم) على اليمين.

   2. بالنسبة لأول مرة أزواج من الأرقام (أو رقم واحد)، ابحث عن أكبر عدد صحيح N، المربع الذي هو أصغر أو يساوي زوج الأرقام (أو رقم واحد). بمعنى آخر، ابحث عن رقم مربع الأقرب إلى أول زوج من الأرقام (أو رقم واحد)، ولكن أقل من ذلك، وإزالة الجذر التربيعي من هذا الرقم المربع؛ سوف تتلقى الرقم N. اكتب وجدت N من أعلى إلى اليمين، والمربعة N اشترك من أسفل اليمين.

      • في حالتنا، سيكون الرقم الأيسر الأول هو الرقم 7. أكثر، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. حذف مربع رقم N الذي وجدت للتو، من أول زوج من الأرقام (أو رقم واحد). يتم تسجيل نتيجة الحساب عن طريق التعرض (مربع N).

      • في مثالنا، خصم 4 من أصل 7 واحصل على 3.

   4. Sneake الزوج الثاني من الأرقام واكتبها حول القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة. ثم مضاعفة الرقم على اليمين والكتابة النتيجة من الأسفل إلى الأسفل مع إضافة "_ × \u003d".

      • في مثالنا، الزوج الثاني من الأرقام هو "80". اكتب "80" بعد 3. ثم، مضاعف أعلى اليمين يعطي 4. سجل "4_ × _ \u003d" من أسفل إلى اليمين.

   5. ملء الوقود على اليمين.

      • في حالتنا، إذا وضعت Levermers رقم 8، ثم 48 × 8 \u003d 384، وهو أكثر من 380. لذلك، 8 أكثر من اللازم، ولكن 7 سوف تناسب. اكتب 7 بدلا من تقديسها واحصل على: 47 × 7 \u003d 329. سجل 7 من الأعلى على اليمين - هذا هو الرقم الثاني في الجذر التربيعي المطلوب للرقم 780.14.

   6. حذف الرقم الناتج من الرقم الحالي على اليسار. اكتب النتيجة من الخطوة السابقة أسفل الرقم الحالي على اليسار، والعثور على الفرق وكتابةها أسفل جاهزة.

      • في مثالنا، خصم 329 من أصل 380، وهو ما يساوي 51.

   7. كرر الخطوة 4. في حالة وجود زوج كسور من الأرقام جزءا كسورا من الرقم الأصلي، فقم بوضع الفاصل (فاصلة) من الأجزاء الكاملة والكسرية في الجذر المربع المطلوب على اليمين. على اليسار، هدم أسفل اثنين من الأرقام القادمة. مضاعفة الرقم من أعلى اليمين واكتب النتيجة من الأسفل إلى الأسفل إلى إضافة "_ × \u003d".

      • في مثالنا، سيكون الزوج المقدم التالي من الأرقام الجزء الكسري من الرقم 780.14، لذا ضع فاصل الأجزاء الكاملة والكسرية في الجذر المربع المفصلي أعلى اليمين. قم بالتسجيل 14 واكتب إلى اليسار. سيكون رقم مضاعف من أعلى اليمين (27) 54، لذلك تكتب "54_ × × \u003d" من الأسفل إلى اليمين.

   8. كرر الخطوات من 5 و 6. ابحث عن هذا الرقم الأكبر إلى القمر الصناعي على اليمين (بدلا من الجودسين تحتاج إلى استبدال نفس العدد) بحيث تكون نتيجة الضرب أقل من أو تساوي الرقم الحالي على اليسار.

      • في مثالنا 549 × 9 \u003d 4941، وهو أقل من الرقم الحالي على اليسار (5114). اكتب 9 في الأعلى إلى اليمين وخصم نتيجة الضرب من الرقم الحالي إلى اليسار: 5114 - 4941 \u003d 173.

   9. إذا كنت جذر مربع، فأنت بحاجة إلى العثور على علامات أكثر مغناصة، واكتب بضع من الأصفار من الرقم الحالي على اليسار وكرر الخطوتين 4 و 5 و 6. كرر الخطوات حتى تتلقى دقة الإجابة (عدد الفاصلة منقوثة).

   فهم العملية

   لتمثيل هذه الطريقة، تخيل الجذر التربيعي الذي من الضروري العثور عليه كمربعة مربع S. في هذه الحالة، سوف تبحث طول الجانب L بهذا المربع. احسب هذه القيمة L² \u003d S.

   اضبط الرسالة لكل رقم في الاستجابة. تشير إلى رقم أول في القيمة L (الجذر المربع المطلوب). B سيكون الرقم الثاني، C هو الثالث وما إلى ذلك.

   اضبط الرسالة لكل زوج من الأرقام الأولى. تشير إلى أنه أول زوج من الأرقام في القيمة S، من خلال S B - الزوج الثاني من الأرقام وهلم جرا.

   احسب اتصال هذه الطريقة مع التقسيم إلى عمود. كما هو الحال في عملية التقسيم، حيث كل مرة مهتمون فقط في الرقم التالي من رقم الفجوة، عند حساب الجذر التربيعي، نحن نعمل باستمرار مع زوج من الأرقام (للحصول على رقم واحد مقبل في القيمة الجذرية المربعة).

   1. النظر في الزوج الأول من SA أرقام SA (SA \u003d 7 في مثالنا) والعثور على جذرها المربع. في هذه الحالة، ستكون الرقم الأول من القيمة المطلوبة للجذر المربعة مثل هذا الرقم، وهو مربع أقل من أو يساوي S A (أي ما هو، نحن نبحث عن هذه التي يتم فيها تنفيذ A² ≤ SA< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • افترض أنك بحاجة إلى تقسيم 88962 بحلول 7؛ هنا، ستكون الخطوة الأولى مشابهة: نحن نعتبر الرقم الأول من رقم الفقس 88962 (8) ونختار مثل هذا الرقم الأكبر، والذي، عند مضاعفة، يعطي قيمة أقل أو يساوي 8. وهذا هو، نحن نبحث لمثل هذا الرقم D، الذي يكون فيه عدم المساواة صحيحا: 7 × D 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

درجة مع مؤشر عقلاني

وظيفة السلطة الرابع.

§ 79. استخراج الجذور من العمل والخاص

نظرية 1. جذر p درجة من نتاج الأرقام الإيجابية تساوي نتاج الجذور p - من العوامل، أي، لكن > 0, ب. \u003e 0 والطبيعي p

ن. √من = ن. √أ. ن. √ب. . (1)

شهادة. أذكر أن الجذر p - من عدد إيجابي من هناك مثل هذا الرقم الإيجابي p - أنا على قدم المساواة من وبعد لذلك، إثبات المساواة (1) هل كل شيء هو نفسه لإثبات المساواة

(ن. √أ. ن. √ب. ) ن. = من .

بدرجة العمل

(ن. √أ. ن. √ب. ) ن. = (ن. √أ. ) ن. (ن. √ب. ) ن. =.

ولكن بحكم تعريف الجذر p الدرجة العلمية ( ن. √أ. ) ن. = لكن , (ن. √ب. ) ن. = ب. .

لذلك ( ن. √أ. ن. √ب. ) ن. = من وبعد ثبت أن نظرية.

الطلب لكن > 0, ب. \u003e 0 أساسا فقط حتى p لأنه مع سلبي لكن و ب. وحتى p جذور ن. √أ. و ن. √ب. غير معرف. إذا p فقط، ثم الصيغة (1) صالحة لأي لكن و ب. (كل من الإيجابية والسلبية).

أمثلة: 16 121 \u003d √16 √121 \u003d 4 11 \u003d 44.

3 √-125 27 = 3 √-125 3 √27 = -5 3 = - 15

الصيغة (1) مفيد للاستخدام عند حساب الجذور عند تقديم تعبير التغذية في شكل منتج من المربع الدقيق. على سبيل المثال،

√153 2 -72 2 = √ (153+ 72) (153-72) = √225 81 = 15 9 = 135.

نظرية 1 لقد أثبتنا على القضية عندما تحت علامة الراديكالية في الجانب الأيسر من الصيغة (1) هناك منتج من رقمين إيجابي. في الواقع، هذا نظرية صحيح بالنسبة لأي عدد من العوامل الإيجابية، أي مع أي طبيعية ك. > 2:

اللازمة - النتيجة. قراءة هذه الهوية إلى اليمين الأيسر، نحصل على القاعدة التالية لضرب المحاصيل مع نفسه. الممبرين؛

من أجل ضرب الجذور بنفس المؤشرات، فهي كافية لمضاعفة تعبيرات التغذية، وترك معدل الجذر لنفسه.

على سبيل المثال، √3 √8 √6 \u003d √3 8 6 \u003d √144 \u003d 12.

نظرية 2. جذر pمن بين الكسر، البسط والمقاوم لها أرقام إيجابية، يساوي تقسيم جذر نفس الحد من البسط إلى جذر نفس الدرجة من القاسم، ذلك حين لكن \u003e 0 ب. > 0

(2)

إثبات المساواة (2) - وهذا يعني أن تظهر ذلك

وفقا لقواعد بناء الكسر في درجة وتعريف الجذر ن. - لدي:

وبالتالي، ثبت أن نظرية.

الطلب لكن \u003e 0 ب. \u003e 0 أساسا فقط مع p وبعد إذا p خلاف ذلك، فإن الصيغة (2) صحيحة للقيم السلبية لكن و ب. .

اللازمة - النتيجة. قراءة الهوية من اليمين إلى اليسار، نحصل على قاعدة قسم الجذر التالية مع نفس المؤشرات:

لتقسيم الجذور بنفس المؤشرات، يكفي تقسيم تعبيرات التغذية، وترك جذر واحد السابق.

على سبيل المثال،

تمارين

554. في أي مكان إثبات نظرية 1 استخدمنا ذلك لكن و ب. إيجابي؟

لماذا مع الغريب p الصيغة (1) صحيح للأرقام السالبة لكن و ب. ?

تحت القيم حاء بيانات المساواة صحيحة (رقم 555-560):

555. x. 2 - 9 = x. -3 h. + 3 .

556. 4 √ (عاشر - 2) (8 - عاشر ) = 4 h. - 2 4 √ 8 - عاشر

557. 3 √ (حاء + 1) (حاء - 5) = 3 h. +1 3 h. - 5 .

558. √ حاء (حاء + 1) (حاء + 2) = √ حاء √ (حاء + 1) √ (حاء + 2)

559. √ (س - أ. ) 3 = (√ س - أ. ) 3 .

560. 3 √ (حاء - 5) 2 = (3 √ حاء - 5 ) 2 .

561. حساب:

أ) √ 173 2 - 52 2؛ في) √ 200 2 - 56 2 ;

ب) √ 373 2 - 252 2؛ د) √ 242,5 2 - 46,5 2 .

562. في مثلث مستطيل من انخفاض ضغط الدم هو 205 سم، وواحدة من القسهات 84 سم. ابحث عن قطني آخر.

563. كم مرة:

555. حاء > 3. 556. 2 < حاء < 8. 557. حاء - أي عدد. 558. حاء > 0. 559. حاء > لكن . 560. حاء - أي عدد. 563. أ) ثلاث مرات.