أنواع المفاهيم الرياضية وهيكل أمثلة التعريفات. طرق دراسة المفاهيم الرياضية. سجلات النموذج: تسمى الكسور العادية

أطروحة

1.1 المفاهيم الرياضية ومحتواها ونطاقها وتصنيف المفاهيم

المفهوم هو شكل من أشكال التفكير في مجموعة متكاملة من الخصائص الأساسية وغير الأساسية لشيء ما.

للمفاهيم الرياضية خصائصها الخاصة: غالبًا ما تنشأ من احتياجات العلم وليس لها نظائر في العالم الحقيقي ؛ لديهم درجة عالية من التجريد. لهذا السبب ، من المستحسن أن نظهر للطلاب ظهور المفهوم الذي تتم دراسته (إما من الحاجة إلى الممارسة ، أو من الحاجة إلى العلم).

كل مفهوم يتميز بالحجم والمحتوى. محتوى- الكثير من السمات الأساسية للمفهوم. الصوت- مجموعة من الأشياء التي ينطبق عليها هذا المفهوم. ضع في اعتبارك العلاقة بين نطاق ومحتوى المفهوم. إذا كان المحتوى يتوافق مع الواقع ولا يتضمن علامات متناقضة ، فإن المجلد ليس مجموعة فارغة ، وهو أمر مهم لإظهاره للطلاب عند تقديم مفهوم ما. يحدد المحتوى الحجم تمامًا والعكس صحيح. هذا يعني أن التغيير في أحدهما يستلزم تغييرًا في الآخر: إذا زاد المحتوى ، ينخفض \u200b\u200bالحجم.

o يجب أن تتم على أساس واحد ؛

o يجب ألا تتداخل الفئات ؛

o يجب أن يعطي اتحاد جميع الطبقات المجموعة الكاملة ؛

o يجب أن يكون التصنيف مستمرًا (يجب أن تكون الفئات هي أقرب مفاهيم الأنواع فيما يتعلق بالمفهوم الذي يخضع للتصنيف).

تتميز أنواع التصنيف التالية:

1. على أساس معدل. يمكن أن تحتوي الكائنات المراد تصنيفها على عدة خصائص ، بحيث يمكن تصنيفها بطرق مختلفة.

مثال. مفهوم "المثلث".

2. ثنائي التفرع. تقسيم نطاق المفهوم إلى نوعين من المفاهيم ، أحدهما له هذه الميزة والآخر لا.

دعنا نلقي الضوء على أهداف تصنيف التدريس:

1) تنمية التفكير المنطقي.

2) من خلال دراسة الاختلافات بين الأنواع ، نشكل فكرة أوضح عن المفهوم العام.

يتم استخدام كلا النوعين من التصنيف في المدرسة. كقاعدة عامة ، يكون أولاً ثنائي التفرع ، ثم وفقًا لشخصية معدلة.

التربية المدنية في مرحلة ما قبل المدرسة

ظهرت كلمة "باتريوت" لأول مرة خلال الثورة الفرنسية 1789 - 1793. في ذلك الوقت ، كان المقاتلون من أجل الشعب ، المدافعون عن الجمهورية ، على عكس الخونة ، خونة للوطن من المعسكر الملكي ، يسمون أنفسهم بالوطنيين ...

تقسيم المفاهيم

لاستخدام المفاهيم بشكل هادف ، لاستخدامها بشكل صحيح في حل المشكلات النظرية والعملية ، من الضروري أن تكون قادرًا على تحديد خاصيتين منطقيتين رئيسيتين: نطاق المفهوم ومضمونه ...

تقسيم المفاهيم

التصنيف - توزيع الأشياء في مجموعات (فئات) ، حيث يكون لكل فئة مكانها الدائم. التصنيف نوع من تقسيم المفهوم ...

بحث في فاعلية استخدام الواجبات المنزلية في عملية التربية الرياضية

يُفهم النشاط المستقل على أنه مجموعة من الإجراءات التي يوحدها هدف مشترك وتؤدي وظيفة اجتماعية معينة (V.N.Shaulin ، 1986). في حالتنا ، نحن نتعامل مع النشاط البدني ، أي النشاط ...

اتصالات متعددة التخصصات في التعلم

يمكن أن تساعد الروابط متعددة التخصصات تلاميذ المدارس على فهم العالم من حولهم وخصائصه والظواهر والعمليات الرئيسية التي تحدث فيه والقوانين التي يلتزمون بها. هكذا...

طرق وتقنيات تدريس لغة أجنبية في المرحلة العليا

في الآونة الأخيرة ، جاذبية الباحثين المحليين والأجانب ، مثل A.A. شتشوكين ، ا. بودلاسي ، م. دانيلوف ، ا. بيدكاسيستي ، آي يا. ليرنر وآخرون.

تنظيم أنشطة المشروع الطلابي عن طريق الاتصالات

لأول مرة استخدم كلمة "مشروع" عام 1908 من قبل رئيس قسم التربية بالمدارس الزراعية د. سنيزدن في التعليم الزراعي. المشاريع المقترحة لربط العمل المدرسي باحتياجات الإنتاج الزراعي ...

تعمل ميزات علاج النطق على التغلب على عسر الكتابة النمطي لدى طلاب المدارس الثانوية

للمرة الأولى ، أشار أ. كوسماول إلى انتهاكات القراءة والكتابة باعتبارها علم أمراض مستقل لنشاط الكلام في عام 1877. ثم ظهرت العديد من الأعمال التي قدمت فيها أوصافًا للأطفال الذين يعانون من اضطرابات مختلفة في القراءة والكتابة ...

ملامح تكوين المفاهيم الرياضية في الصفوف 5-6

لتعريف كائن - للاختيار من بين خصائصه الأساسية كذا وكثير جدًا بحيث يكون كل واحد منهم ضروريًا ، وكلها معًا كافية لتمييز هذا الكائن عن الآخرين. يتم تسجيل نتيجة هذا الإجراء في التعريف ...

في البحث التربوي الحديث المتعلق بمشاكل تحسين أداء النظم التربوية ، وزيادة كفاءة العملية التعليمية ، أحد الجوانب الأكثر أهمية ...

الجوانب النفسية والتربوية لحل مشاكل العلاقات الشخصية للمراهقين

كل عصر جيد بطريقته الخاصة. وفي الوقت نفسه ، لكل عصر خصائصه وصعوباته. المراهقة ليست استثناء. المراهقة جزء معين من الحياة بين الطفولة والنضج ...

العمل مع الأطفال الموهوبين

28. المثلث - الأشكال الهندسية البنتاغون: يمكن نطق أزواج المفاهيم بصوت عالٍ ، أو يمكن تقديمها في شكل بطاقات أو طباعتها على ورقة منفصلة. يمكن للأطفال الإجابة شفويا أو كتابيا. المهمة 4 ...

المشاكل الحديثة في تربية الأبناء في الأسرة وطرق حلها

في المعجم الموسوعي الصغير ، يفسر مفهوم الأسرة على أنه "مجموعة صغيرة تقوم على الزواج أو القرابة ، يرتبط أفرادها بحياة مشتركة ، ومساعدة متبادلة ، ومسؤولية أخلاقية وقانونية". ويلاحظ مي ديمكوف ...

تشكيل الإجراءات التعليمية الشاملة المعرفية القائمة على التفرد والتمايز في تدريس الكيمياء في المدرسة الثانوية الرئيسية

مثل أي مؤسسة اجتماعية ، تخضع مدرسة التعليم العام لتحديث دائم. في الوقت الحالي ، يعد الطلب الاجتماعي والسياسي لمدرسة التعليم العام بمثابة بناء لعملية التعلم ...

دراسة تجريبية لروح المواطنة لدى أطفال ما قبل المدرسة

إن المعلم الذي يبدأ في التعامل مع مشكلة تكوين الكفاءة المدنية يحتاج أولاً إلى معرفة المصطلحات والمفاهيم الأساسية للتربية المدنية والوطنية ...

عدد المحاضرة 2

الرياضيات

الموضوع: "مفاهيم رياضية"

مفاهيم رياضية

تعريف المفاهيم

متطلبات التعريف

بعض أنواع التعريفات

1. مفاهيم رياضية

عادة ما يتم تقديم المفاهيم التي يتم دراستها في الدورة الابتدائية للرياضيات في شكل أربع مجموعات. الأول يتضمن المفاهيم المتعلقة بالأرقام والعمليات عليها: العدد ، الجمع ، الجمع ، أكبر ، إلخ. الثاني يشمل المفاهيم الجبرية: التعبير ، المساواة ، المعادلة ، إلخ. ويتكون الثالث من المفاهيم الهندسية: الخط ، المقطع ، المثلث ، إلخ. المجموعة الرابعة تتكون من مفاهيم تتعلق بالكميات وقياسها.

كيف يمكن للمرء دراسة مثل هذه الوفرة من المفاهيم المختلفة للغاية؟

بادئ ذي بدء ، يجب أن يكون لديك فكرة عن المفهوم كفئة منطقية وخصائص المفاهيم الرياضية.

في المنطق ، تعتبر المفاهيم شكلاً من أشكال التفكير ، تعكس الأشياء (الأشياء أو الظواهر) في خصائصها الأساسية والعامة. الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة أو مجموعة كلمات.

إن تكوين مفهوم حول كائن يعني القدرة على تمييزه عن الكائنات الأخرى المشابهة له. المفاهيم الرياضية لديها عدد من الميزات. العامل الرئيسي هو أن الأشياء الرياضية التي من الضروري تشكيل مفهوم عنها لا توجد في الواقع. الأشياء الرياضية يصنعها العقل البشري. هذه أشياء مثالية تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال ، في الهندسة ، يتم دراسة شكل وحجم الأشياء ، دون مراعاة خصائصها الأخرى: اللون ، والكتلة ، والصلابة ، إلخ. إنهم يصرفون عن كل هذا ، مجردة. لذلك ، في الهندسة ، بدلاً من كلمة "كائن" يقولون "شكل هندسي".

ينتج عن التجريد مفاهيم رياضية مثل "العدد" و "القيمة".

بشكل عام ، الأشياء الرياضية موجودة فقط في التفكير البشري وفي تلك العلامات والرموز التي تشكل لغة رياضية.

إلى ما قيل ، يمكن للمرء أن يضيف أنه أثناء دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم المادي ، لا تستخدم الرياضيات طرقًا مختلفة للتجريد فحسب ، بل تستخدم التجريد نفسه كعملية متعددة المراحل. في الرياضيات ، فهم لا يأخذون فقط في الاعتبار المفاهيم التي ظهرت في دراسة الأشياء الحقيقية ، ولكن أيضًا المفاهيم التي نشأت على أساس الأول. على سبيل المثال ، المفهوم العام للوظيفة كمراسلة هو تعميم لمفاهيم وظائف محددة ، أي التجريد من التجريد.

لإتقان المناهج العامة لدراسة المفاهيم في المقرر الابتدائي للرياضيات ، يحتاج المعلم إلى معرفة حجم ومحتوى المفهوم ، وحول العلاقة بين المفاهيم وأنواع تعريفات المفاهيم.

2. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

كل كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال ، للمربع أربعة جوانب ، أربع زوايا قائمة تساوي القطر. يمكنك تحديد خصائص أخرى كذلك.

من بين خصائص الكائن ، يتم تمييز الأساسي وغير المهم. تعتبر الخاصية ضرورية للكائن إذا كانت متأصلة في هذا الكائن وبدونها لا يمكن أن توجد. على سبيل المثال ، جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية للمربع. الخاصية "الجانب AD أفقي" لا علاقة لها بالمربع ABCD. إذا قلبت المربع ، فسيتم تحديد موقع الجانب AD بطريقة مختلفة (الشكل 26).

لذلك ، من أجل فهم ماهية كائن رياضي معين ، يجب على المرء أن يعرف خصائصه الأساسية.

عندما يتحدثون عن مفهوم رياضي ، فإنهم عادة ما يقصدون مجموعة من الأشياء يُشار إليها بمصطلح واحد (كلمة أو مجموعة كلمات). لذا ، عند الحديث عن مربع ، فإنهم يقصدون كل الأشكال الهندسية التي تكون مربعة. من المعتقد أن مجموعة كل المربعات هي نطاق مفهوم "المربع".

عموما نطاق المفهوم هو مجموعة كل الأشياء المعينة بمصطلح واحد.

أي مفهوم لا يحتوي فقط على الحجم ، ولكن أيضًا المحتوى.

تأمل ، على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل".

نطاق المفهوم هو مجموعة من المستطيلات المختلفة ، ويتضمن محتواها خصائص المستطيلات مثل "لها أربع زوايا قائمة" ، "لها جوانب متقابلة متساوية" ، "لها أقطار متساوية" ، إلخ.

هناك علاقة بين حجم المفهوم ومحتواه: إذا زاد حجم المفهوم ، ينخفض \u200b\u200bمحتواه ، والعكس صحيح. لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل" ، ومحتوى مفهوم "مربع" يحتوي على خصائص أكثر من محتوى مفهوم "المستطيل" ("جميع الجوانب متساوية" ، "الأقطار متعامدة بشكل متبادل" ، إلخ.).

لا يمكن تعلم أي مفهوم دون إدراك علاقته بالمفاهيم الأخرى. لذلك ، من المهم معرفة ما يمكن أن تكون عليه مفاهيم العلاقات ، وأن تكون قادرًا على إنشاء هذه الروابط.

ترتبط العلاقة بين المفاهيم ارتباطًا وثيقًا بالعلاقة بين أحجامها ، أي مجموعات.

دعونا نتفق على الإشارة إلى المفاهيم بأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية: أ ، ب ، ج ، ... ، ض.

دعونا نعطي مفهومين أ و ب. سيتم الإشارة إلى أحجامهم بواسطة A و B.

اذا كان ب (أ ≠ ب) ، ثم يقولون أن المفهوم أ - محدد فيما يتعلق بالمفهومبوالمفهوم ب - عام فيما يتعلق بالمفهوم أ.

على سبيل المثال ، إذا كان a عبارة عن "مستطيل" ، و b "رباعي الزوايا" ، فإن المجلدين A و B مرتبطان بالتضمين (A B و A ≠ B) ، لأن كل مستطيل هو رباعي الزوايا. لذلك ، يمكن القول إن مفهوم "المستطيل" محدد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا" ، ومفهوم "رباعي الزوايا" عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

إذا كان A \u003d B ، فيقولون ذلك المفاهيم أ وب متطابقة.

على سبيل المثال ، مفهوما "مثلث متساوي الأضلاع" و "مثلث متساوي الأضلاع" متطابقان ، لأن أحجامهما تتطابق.

إذا كانت المجموعتان A و B غير مرتبطين بعلاقة التضمين ، فإنهما يقولان أن المفهومين أ و ب ليسا متعلقين بالجنس والأنواع وليسا متطابقين. على سبيل المثال ، لا ترتبط مفهومي "المثلث" و "المستطيل" بمثل هذه العلاقات.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في علاقة الجنس والأنواع بين المفاهيم. أولاً ، مفاهيم الجنس والأنواع نسبية: يمكن أن يكون المفهوم نفسه عامًا فيما يتعلق بمفهوم واحد ومحدّدًا بالنسبة إلى الآخر. على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل" عام فيما يتعلق بمفهوم "مربع" ومحدد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا".

ثانيًا ، يمكن غالبًا تحديد العديد من المفاهيم العامة لمفهوم معين. لذلك ، بالنسبة لمفهوم "المستطيل" العام ، توجد مفاهيم "رباعي الزوايا" ، "متوازي أضلاع" ، "مضلع". من بينها ، يمكنك الإشارة إلى الأقرب. لمفهوم "المستطيل" الأقرب هو مفهوم "متوازي الأضلاع".

ثالثًا ، مفهوم محدد له كل خصائص المفهوم العام. على سبيل المثال ، المربع ، كونه مفهومًا محددًا فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل" ، له جميع الخصائص الكامنة في المستطيل.

نظرًا لأن نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة ، فمن الملائم ، عند إنشاء العلاقات بين نطاق المفاهيم ، تصويرها باستخدام دوائر أويلر.

دعونا نؤسس ، على سبيل المثال ، العلاقة بين أزواج المفاهيم التالية أ و ب ، إذا:

1) أ - "مستطيل" ، ب - "معين" ؛

2) أ - "مضلع" ، ب - "متوازي الأضلاع" ؛

3) أ - "خط مستقيم" ، ب - "مقطع".

في الحالة 1) تتقاطع أحجام المفاهيم ، ولكن ليست مجموعة واحدة ليست مجموعة فرعية من أخرى (الشكل 27).

لذلك ، يمكن القول أن هذين المفهومين (أ) و (ب) لا يرتبطان بالجنس والأنواع.

في الحالة 2) تكون أحجام بيانات المفهوم مرتبطة بالتضمين ، ولكنها لا تتطابق - كل متوازي أضلاع هو مضلع ، ولكن ليس العكس (الشكل 28). لذلك ، يمكن القول إن مفهوم "متوازي الأضلاع" محدد فيما يتعلق بمفهوم "المضلع" ، ومفهوم "المضلع" عام فيما يتعلق بمفهوم "متوازي الأضلاع".

في الحالة 3) لا تتقاطع أحجام المفاهيم ، حيث لا يمكن القول أن أي مقطع هو خط مستقيم ، ولا يمكن تسمية أي خط مستقيم بمقطع (الشكل 29).

وبالتالي ، فإن هذه المفاهيم لا تتعلق بالجنس والأنواع.

حول مفهومي "الخط" و "المقطع" يمكننا القول أنهما تتعلق بالكل والجزء: الجزء هو جزء من خط مستقيم ، وليس نوعه. وإذا كان لمفهوم معين كل خصائص المفهوم العام ، فلن يكون للجزء بالضرورة جميع خصائص الكل. على سبيل المثال ، لا يحتوي المقطع على نفس خاصية الخط المستقيم مثل اللانهاية.

من بين المهارات التي تعلمها الرياضيات والتي تحتاج جميعًا لتعلمها ، القدرة على ذلك صنف المفاهيم.

الحقيقة هي أن الرياضيات ، مثل العديد من العلوم الأخرى ، لا تدرس أشياء أو ظواهر مفردة ، ولكنها تدرس جسيم... لذلك ، عندما تدرس المثلثات ، فإنك تدرس خصائص أي مثلثات ، وهناك عدد لا حصر له منها. بشكل عام ، نطاق أي مفهوم رياضي ، كقاعدة عامة ، لا نهائي.

من أجل التمييز بين كائنات المفاهيم الرياضية ، ودراسة خصائصها ، يتم عادةً تقسيم هذه المفاهيم إلى أنواع ، فئات. في الواقع ، بالإضافة إلى الخصائص العامة ، فإن أي مفهوم رياضي له العديد من الخصائص الأكثر أهمية المتأصلة ليس في جميع كائنات هذا المفهوم ، ولكن فقط للكائنات من نوع ما. إذن ، المثلثات قائمة الزاوية ، بالإضافة إلى الخصائص العامة لأي مثلثات ، لها العديد من الخصائص المهمة جدًا للممارسة ، على سبيل المثال نظرية فيثاغورس ، النسب بين الزوايا والجوانب ، إلخ.

في عملية دراسة المفاهيم الرياضية التي استمرت لقرون ، في عملية تطبيقاتها العديدة في الحياة ، في العلوم الأخرى ، من حجمها ، تم تمييز بعض الأنواع الخاصة عن حجمها ، والتي لها أكثر الخصائص إثارة للاهتمام ، والتي توجد في أغلب الأحيان وتطبق في الممارسة. لذلك ، هناك عدد لا نهائي من الأشكال الرباعية المختلفة ، ولكن من الناحية العملية ، في التكنولوجيا ، يتم استخدام أنواع معينة فقط منها: المربعات ، المستطيلات ، متوازي الأضلاع ، المعينات ، شبه المنحرف.

تصنيف هذا المفهوم هو تقسيم حجم المفهوم إلى أجزاء. بتعبير أدق ، يُفهم التصنيف على أنه توزيع كائنات أي مفهوم في فئات مترابطة (أنواع وأنواع) وفقًا لأهم السمات (الخصائص). يتم استدعاء السمة (الخاصية) التي يتم من خلالها تصنيف (تقسيم) المفهوم إلى أنواع (فئات) أساس تصنيف.

يعكس التصنيف الذي تم إنشاؤه بشكل صحيح للمفهوم أهم الخصائص والصلات بين كائنات المفهوم ، ويساعد على التنقل بشكل أفضل في مجموعة هذه الكائنات ، ويجعل من الممكن إنشاء مثل هذه الخصائص لهذه الكائنات الأكثر أهمية لتطبيق هذا المفهوم في العلوم الأخرى والممارسة اليومية.

يتم تصنيف المفهوم بناءً على واحد أو أكثر من الأسباب الأكثر أهمية.

لذلك ، يمكن تصنيف المثلثات حسب الزوايا. نحصل على الأنواع التالية: الزاوية الحادة (جميع الزوايا حادة) ، مستطيلة (زاوية واحدة مستقيمة ، والباقي حاد) ، زاوية منفرجة (زاوية منفرجة ، والباقي حاد). إذا أخذنا العلاقة بين الأطراف كأساس لتقسيم المثلثات ، فسنحصل على الأنواع التالية: متعددة الاستخدامات ، متساوية الساقين وصحيحة (متساوية الأضلاع).

يكون الأمر أكثر صعوبة عندما يتعين عليك تصنيف مفهوم على عدة أسس. لذلك ، إذا تم تصنيف المربعات المحدبة وفقًا لتوازي الجوانب ، فإننا في جوهرها نحتاج إلى تقسيم جميع المربعات المحدبة في وقت واحد وفقًا لمعيارين: 1) زوج من الأضلاع المتقابلة متوازي أم لا ؛ 2) الزوج الثاني من الأضلاع المتقابلة موازية أم لا. نتيجة لذلك ، نحصل على ثلاثة أنواع من المربعات المحدبة: 1) رباعي الزوايا مع جوانب غير متوازية ؛ 2) رباعي الزوايا مع زوج واحد من الجوانب المتوازية - شبه المنحرف ؛ 3) رباعي الزوايا مع زوجين من الجوانب المتوازية - متوازي الأضلاع.

في كثير من الأحيان ، يتم تصنيف المفهوم على مراحل: أولاً على أساس واحد ، ثم يتم تقسيم بعض الأنواع إلى سلالات فرعية على أساس مختلف ، إلخ. ومن الأمثلة على ذلك تصنيف المربعات. في المرحلة الأولى ، يتم تقسيمهم حسب التحدب. ثم يتم تقسيم المربعات المحدبة وفقًا لتوازي الجانبين. في المقابل ، يتم تقسيم متوازي الأضلاع وفقًا لوجود الزوايا القائمة ، إلخ.

عند إجراء التصنيف ، يجب اتباع قواعد معينة. دعونا نشير إلى أهمها.

1. كأساس للتصنيف ، يمكن للمرء أن يأخذ فقط سمة مشتركة لجميع كائنات مفهوم معين. لذلك ، على سبيل المثال ، من المستحيل أخذ علامة ترتيب المصطلحات حسب درجات بعض المتغيرات كأساس لتصنيف التعبيرات الجبرية. هذه الميزة ليست شائعة في جميع التعبيرات الجبرية ، على سبيل المثال ، لا معنى للتعبيرات الكسرية أو الأحادية. تمتلك كثيرات الحدود فقط هذه الميزة ، لذلك يمكن تصنيف كثيرات الحدود وفقًا لأعلى درجة من المتغير الرئيسي.
2. يجب أن يؤخذ أساس التصنيف بالخصائص الأساسية (السمات) للمفاهيم. لنتأمل مجددًا في مفهوم التعبير الجبري. تتمثل إحدى خصائص هذا المفهوم في أن المتغيرات المضمنة في التعبير الجبري يتم الإشارة إليها ببعض الأحرف. هذه الخاصية عامة ، لكنها ليست ضرورية ، لأن طابع التعبير لا يعتمد على الحرف الذي تم تعيينه لمتغير معين. وهكذا ، التعبيرات الجبرية س + ص و أ + ب هو في الأساس نفس التعبير. لذلك ، لا ينبغي تصنيف التعبيرات على أساس تحديد المتغيرات بالحروف. إنها مسألة أخرى إذا أخذنا كأساس لتصنيف التعبيرات الجبرية سمة نوع الإجراءات التي ترتبط بها المتغيرات ، أي الإجراءات التي يتم تنفيذها على المتغيرات. هذه الميزة المشتركة ضرورية للغاية ، وسيكون التصنيف المستند إلى هذه الميزة صحيحًا ومفيدًا.
3. في كل مرحلة من مراحل التصنيف ، يمكن تطبيق نوع واحد فقط من الأساس.من المستحيل تصنيف مفهوم في وقت واحد على أساسين مختلفين. على سبيل المثال ، من المستحيل تصنيف المثلثات دفعة واحدة من حيث الحجم والنسبة بين الأضلاع ، لأنه نتيجة لذلك نحصل على فئات من المثلثات التي لها عناصر مشتركة (على سبيل المثال ، الزاوية الحادة ومتساوية الساقين أو المنفرجة والمتساوية الساقين ، إلخ. .). تم هنا انتهاك متطلبات التصنيف التالية: نتيجة للتصنيف في كل مرحلة ، يجب ألا تتقاطع الفئات (الأنواع) الناتجة.
4. في نفس الوقت يجب أن يكون التصنيف لأي سبب من الأسباب شاملاً ويجب أن يقع كل موضوع في المفهوم نتيجة التصنيف في فئة واحدة وفئة واحدة فقط.

لذلك ، فإن تقسيم جميع الأعداد الصحيحة إلى موجب وسالب غير صحيح ، لأن العدد الصحيح صفر لم يقع في أي من الفئات. يجب أن نقول هذا: الأعداد الصحيحة تنقسم إلى ثلاث فئات - موجب وسالب والعدد صفر.

في كثير من الأحيان ، عند تصنيف المفاهيم ، يتم تمييز بعض الفئات بشكل واضح فقط ، والباقي ضمني فقط. لذلك ، على سبيل المثال ، في دراسة التعبيرات الجبرية ، عادة ما يتم تمييز هذه الأنواع منها: أحادية ، متعددة الحدود ، تعبيرات كسرية ، غير منطقية. لكن هذه الأنواع لا تستنفد جميع أنواع التعبيرات الجبرية ، وبالتالي فإن هذا التصنيف هو غير مكتمل.

يمكن إجراء التصنيف الصحيح الكامل للتعبيرات الجبرية على النحو التالي.

في المرحلة الأولى من تصنيف التعبيرات الجبرية ، يتم تقسيمها إلى فئتين: عقلاني وغير عقلاني. في المرحلة الثانية ، يتم تقسيم التعبيرات المنطقية إلى تعابير صحيحة وجزئية. في الخطوة الثالثة ، يتم تقسيم التعبيرات الكاملة إلى عبارات أحادية ومتعددة الحدود وتعبيرات كاملة معقدة.

يمكن تمثيل هذا التصنيف على النحو التالي

التكليف 7

7.1. لماذا لا يمكن تصنيف الأعداد المنطقية حسب تساويها؟

7.2. حدد ما إذا كان تقسيم المفهوم صحيحًا:

أ) يمكن أن تكون القيم متساوية أو غير متساوية.

ب) الوظائف تتزايد وتتناقص.

ج) يمكن أن تكون المثلثات متساوية الساقين حادة الزاوية ومستطيلة ومنفرجة الزاوية.

د) المستطيلات عبارة عن مربعات ومعينات.

7.3. قسّم مفهوم "الشكل الهندسي" على الخاصية لتحتل جزءًا من المستوى مع إعطاء أمثلة لكل نوع.

7.4. بناء مخططات تصنيف ممكنة للأرقام المنطقية.

7.5. قم ببناء مخطط تصنيف للمفاهيم التالية:

أ) رباعي الزوايا.

ب) زاويتين.

7.6. صنف المفاهيم التالية:

أ) مثلث ودائرة.

ب) الزوايا في دائرة.

ج) دائرتان.

د) خط مستقيم ودائرة.

ه) المعادلات التربيعية.

و) نظام من معادلتين من الدرجة الأولى مع مجهولين.

المحاضرة 7. مفاهيم رياضية

1. مجموعات المفاهيم المدروسة في مقرر الرياضيات الابتدائي. ملامح المفاهيم الرياضية.

2. نطاق ومحتوى المفهوم.

3. العلاقات بين المفاهيم.

4. العمليات بالمفاهيم: التعميم ، التحديد ، التعريف وتقسيم المفاهيم.

5. القواعد اللازمة لصياغة تعريف المفاهيم من خلال اختلاف الجنس والأنواع.

6. التعاريف السياقية والظاهرية. الوصف والمقارنة.

مجموعات المفاهيم التي تمت دراستها في المقرر الابتدائي للرياضيات. ملامح المفاهيم الرياضية.

عادة ما يتم تقديم المفاهيم التي يتم دراستها في مقرر الرياضيات الابتدائية في شكل أربع مجموعات. الأول يتضمن مفاهيم تتعلق بالأرقام والعمليات عليها: العدد ، الجمع ، الجمع ، المزيد ، إلخ. الثاني يتضمن مفاهيم جبرية: التعبير ، المساواة ، المعادلة ، إلخ. الثالث تكوين مفاهيم هندسية: خط مستقيم ، مقطع ، مثلث ، إلخ. الرابعة تتكون المجموعة من مفاهيم تتعلق بالكميات وقياسها.

كيف يمكن للمرء دراسة مثل هذه الوفرة من المفاهيم المختلفة للغاية؟

بادئ ذي بدء ، يجب أن يكون لدى المرء فكرة عن المفهوم كفئة منطقية وخصائص المفاهيم الرياضية.

في منطق المفهوم يعتبر كشكل من أشكال الفكر, كائنات عاكسة (أشياء أو ظواهر) في خصائصها الأساسية والعامة... الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة أو مجموعة كلمات.

اصنع مفهومًا عن الشيء - تعني القدرة على تمييزه عن الأشياء الأخرى المشابهة له.

تحتوي المفاهيم الرياضية على عدد من الميزات... الشيء الرئيسي هو أن الأشياء الرياضية التي من الضروري صياغة مفهوم عنها غير موجودة في الواقع. الأشياء الرياضية يصنعها العقل البشري. هذه هي الأشياء المثالية التي تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال ، في الهندسة ، يتم دراسة شكل وحجم الأشياء ، دون مراعاة خصائصها الأخرى: اللون ، والكتلة ، والصلابة ، إلخ. إنهم يصرفون عن كل هذا ، مجردة. لذلك ، في الهندسة ، بدلاً من كلمة "كائن" يقولون "شكل هندسي".

نتيجة التجريد هي أيضًا مفاهيم رياضية مثل "العدد" و "الحجم".

عموما الأشياء الرياضية موجودة فقط في التفكير البشري وفي تلك العلامات والرموز التي تشكل اللغة الرياضية.

إلى ما قيل ، يمكننا أن نضيف ذلك ، دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية العالم المادي والرياضيات لا تستخدم فقط مختلف تقنيات التجريد، لكن التجريد نفسه يعمل كعملية متعددة المراحل. في الرياضيات ، لا ينظرون فقط في المفاهيم التي ظهرت في دراسة الأشياء الحقيقية ، ولكن أيضًا المفاهيم التي نشأت على أساس الأول. على سبيل المثال ، المفهوم العام للوظيفة كمراسلة هو تعميم لمفاهيم وظائف محددة ، أي التجريد من التجريد.

لإتقان المناهج العامة لدراسة المفاهيم في المقرر الابتدائي للرياضيات ، يحتاج المعلم إلى معرفة حجم ومحتوى المفهوم ، وحول العلاقة بين المفاهيم وأنواع تعريفات المفاهيم.

2. نطاق ومحتوى المفهوم

كل كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال ، للمربع أربعة جوانب ، أربع زوايا قائمة تساوي القطر. يمكنك تحديد خصائص أخرى كذلك.

ضمن خصائص الموضوع تميز ضروري و عرضي.

عدد الممتلكات ضروريلكائن ، إذا كان متأصلاً في هذا الكائن وبدونه لا يمكن أن يوجد. على سبيل المثال ، جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية للمربع. الخاصية "الجانب AD أفقي" لا علاقة لها بالمربع ABCD. إذا قمت بقلب المربع ، فسيتم تحديد موقع الجانب AD بطريقة مختلفة (الشكل 26). لذلك ، من أجل فهم ماهية كائن رياضي معين ، يجب على المرء أن يعرف خصائصه الأساسية.

عندما يتحدثون عن مفهوم رياضي ، فإنهم عادة ما يقصدون مجموعة من الأشياء يُشار إليها بمصطلح واحد (كلمة أو مجموعة كلمات). لذا ، عند الحديث عن مربع ، فإنهم يقصدون كل الأشكال الهندسية التي تكون مربعة. من المعتقد أن مجموعة كل المربعات هي نطاق مفهوم "المربع".

أي مفهوم يتميز بكلمة وحجم ومحتوى.

نطاق المفهوم و هي مجموعة كل الكائنات التي يمكن استدعاؤها بكلمة معينة (مصطلح)

مثال. دعونا نلقي الضوء على حجم ومحتوى مفهوم "المستطيل".

نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة من المستطيلات المختلفة وفيها المحتوى يتضمن خصائص المستطيلات مثل "لها أربع زوايا قائمة" ، "لها جوانب متقابلة متساوية" ، "لها أقطار متساوية" ، إلخ.

هناك علاقة بين نطاق المفهوم ومحتواه.: إذا زاد حجم المفهوم ، ينخفض \u200b\u200bمحتواه ، والعكس صحيح. لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل" ، ومحتوى مفهوم "مربع" يحتوي على خصائص أكثر من محتوى مفهوم "المستطيل" ("جميع الجوانب متساوية" ، "الأقطار متعامدة بشكل متبادل" ، إلخ.).

لا يمكن تعلم أي مفهوم دون إدراك علاقته بالمفاهيم الأخرى. لذلك ، من المهم معرفة ما يمكن أن تكون عليه مفاهيم العلاقات ، وأن تكون قادرًا على إنشاء هذه الروابط.

المحاضرة 5. مفاهيم رياضية

1. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

2. تعريف المفاهيم. مفاهيم محددة وغير محددة.

3. طرق تحديد المفاهيم.

4. النتائج الرئيسية

عادة ما يتم تقديم المفاهيم التي يتم دراستها في مقرر الرياضيات الابتدائية في شكل أربع مجموعات. الأول يتضمن المفاهيم المتعلقة بالأرقام والعمليات عليها: العدد ، الجمع ، الجمع ، المزيد ، إلخ. الثاني يشمل المفاهيم الجبرية: التعبير ، المساواة ، المعادلات ، إلخ. المجموعة الثالثة تتكون من مفاهيم هندسية: خط ، مقطع ، مثلث ، إلخ. د. المجموعة الرابعة تتكون من مفاهيم تتعلق بالكميات وقياسها.

لدراسة كل مجموعة متنوعة من المفاهيم ، يجب أن يكون لديك فكرة عن المفهوم كفئة منطقية وخصائص المفاهيم الرياضية.

في المنطق المفاهيمينظر إليها على أنها شكل الفكرتعكس الأشياء (الأشياء والظواهر) في خصائصها الأساسية والعامة. الشكل اللغوي للمفهوم هو كلمة (مصطلح) أو مجموعة كلمات.

لتكوين فكرة عن كائن - يعني أن تكون قادرًا على تمييزه عن الأشياء الأخرى المشابهة له. للمفاهيم الرياضية عدد من الخصائص المميزة. النقطة الأساسية هي أن الأشياء الرياضية ، التي من المهم للغاية تكوين مفهوم بشأنها ، لا توجد في الواقع. الأشياء الرياضية يصنعها العقل البشري. هذه أشياء مثالية تعكس أشياء أو ظواهر حقيقية. على سبيل المثال ، في الهندسة ، يتم دراسة شكل وحجم الأشياء ، دون مراعاة الخصائص الأخرى: اللون ، والكتلة ، والصلابة ، إلخ. كل هذا مجرّد. لهذا السبب ، في الهندسة ، بدلاً من كلمة "كائن" يقولون "شكل هندسي".

نتيجة التجريد هي أيضًا مفاهيم رياضية مثل "العدد" و "الحجم".

بشكل عام ، الأشياء الرياضية موجودة فقط في التفكير البشري وفي تلك العلامات والرموز التي تشكل لغة رياضية.

إلى ما قيل ، يمكننا أن نضيف ذلك ، دراسة الأشكال المكانية والعلاقات الكمية للعالم المادي، لا تستخدم الرياضيات فقط طرقًا مختلفة للتجريد ، ولكن التجريد نفسه يعمل كعملية متعددة المراحل. في الرياضيات ، لا يأخذون فقط في الاعتبار المفاهيم التي ظهرت في دراسة الأشياء الحقيقية ، ولكن أيضًا المفاهيم التي نشأت على أساس الأول. على سبيل المثال ، المفهوم العام للوظيفة كمراسلات هو تعميم لمفاهيم وظائف محددة ، ᴛ.ᴇ. التجريد من التجريد.

1. نطاق ومحتوى المفهوم. العلاقات بين المفاهيم

كل كائن رياضي له خصائص معينة. على سبيل المثال ، للمربع أربعة جوانب ، أربع زوايا قائمة تساوي القطر. يمكنك تحديد خصائص أخرى كذلك.

من بين خصائص الكائن مهم وغير مهم... عدد الممتلكات ضروري لكائن إذا كان متأصلاً في هذا الكائن وبدونه لا يمكن أن يوجد... على سبيل المثال ، بالنسبة للمربع ، تعتبر جميع الخصائص المذكورة أعلاه ضرورية. الخاصية "الجانب AB أفقي" ليست ضرورية للمربع ABCD.

عندما يتحدثون عن مفهوم رياضي ، فإنهم عادة ما يقصدون مجموعة من الأشياء ، يُشار إليها بواحد مصطلح(كلمة أو مجموعة كلمات). لذا ، عند الحديث عن مربع ، فإنهم يقصدون كل الأشكال الهندسية التي تكون مربعة. ويعتقد أن مجموعة كل المربعات هي حجم مفهوم "المربع".

عموما، نطاق المفهوم - ϶ᴛᴏ مجموعة من جميع الأشياء المعينة بمصطلح واحد.

أي مفهوم لا يحتوي فقط على الحجم ، ولكن أيضًا المحتوى.

تأمل ، على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل".

نطاق المفهوم ϶ᴛᴏ مجموعة من المستطيلات المختلفة ، ويتضمن محتواها خصائص المستطيلات مثل "لها أربع زوايا قائمة" ، "لها جوانب متقابلة متساوية" ، "لها أقطار متساوية" ، إلخ

بين نطاق المفهوم ومحتواه هناك العلاقة: إذا زاد حجم المفهوم ، ينخفض \u200b\u200bمحتواه ، والعكس صحيح... لذلك ، على سبيل المثال ، نطاق مفهوم "مربع" هو جزء من نطاق مفهوم "المستطيل" ، ومحتوى مفهوم "مربع" يحتوي على خصائص أكثر من محتوى مفهوم "المستطيل" ("جميع الجوانب متساوية" ، "الأقطار متعامدة بشكل متبادل" وما إلى ذلك).

لا يمكن تعلم أي مفهوم دون إدراك علاقته بالمفاهيم الأخرى. لهذا السبب ، من المهم معرفة ما يمكن أن تكون عليه مفاهيم العلاقات ، وأن تكون قادرًا على إقامة هذه العلاقات.

ترتبط العلاقة بين المفاهيم ارتباطًا وثيقًا بالعلاقة بين أحجامها ، ᴛ.ᴇ. مجموعات.

دعونا نتفق على الإشارة إلى المفاهيم بأحرف صغيرة من الأبجدية اللاتينية: أ ، ب ، ج ، د ، ... ، ض.

دعونا نعطي مفهومين أ و ب. سيتم الإشارة إلى أحجامهم بواسطة A و B.

إذا كان أ ⊂ ب (أ ≠ ب) ، فإنهم يقولون إن المفهوم أ محدد فيما يتعلق بالمفهوم ب ، والمفهوم ب عام فيما يتعلق بالمفهوم أ.

على سبيل المثال ، إذا كان a "مستطيلًا" ، و b "رباعي الزوايا" ، فإن مجلديهما A و B مرتبطان بعلاقة التضمين (A ⊂ B و A ≠ B) ، في هذا الصدد ، أي مستطيل هو رباعي الزوايا. لهذا السبب ، يمكن القول أن مفهوم "المستطيل" محدد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا" ، ومفهوم "رباعي الزوايا" عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

إذا كان A \u003d B ، فيقولون أن المفهومين A و B متطابقان.

على سبيل المثال ، مفاهيم "المثلث متساوي الأضلاع" و "المثلث متساوي الساقين" متطابقتان ، لأن أحجامهما تتطابق.

دعونا نفكر بمزيد من التفصيل في علاقة الجنس والأنواع بين المفاهيم.

1. أولاً وقبل كل شيء ، مفاهيم الجنس والأنواع نسبية: يمكن أن يكون المفهوم نفسه عامًا فيما يتعلق بمفهوم واحد ومحدّدًا بالنسبة إلى الآخر. على سبيل المثال ، مفهوم "المستطيل" عام فيما يتعلق بمفهوم "مربع" ومحدّد فيما يتعلق بمفهوم "رباعي الزوايا".

2. ثانيًا ، بالنسبة لمفهوم معين ، يمكن غالبًا تحديد العديد من المفاهيم العامة. لذلك ، بالنسبة لمفهوم "المستطيل" العام ، توجد مفاهيم "رباعي الزوايا" ، "متوازي أضلاع" ، "مضلع". من بين المشار إليها ، يمكنك تحديد أقرب. لمفهوم "المستطيل" الأقرب هو مفهوم "متوازي الأضلاع".

3. ثالثًا ، يمتلك المفهوم المحدد كل خصائص المفهوم العام. على سبيل المثال ، المربع ، كونه مفهومًا محددًا فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل" ، له جميع الخصائص الكامنة في المستطيل.

نظرًا لأن نطاق المفهوم عبارة عن مجموعة ، فمن الملائم ، عند إنشاء العلاقات بين نطاق المفاهيم ، تصويرها باستخدام دوائر أويلر.

دعونا نؤسس ، على سبيل المثال ، العلاقة بين أزواج المفاهيم التالية أ و ب ، إذا:

1) أ - "مستطيل" ، ب - "معين" ؛

2) أ - "مضلع" ، ب - "متوازي الأضلاع" ؛

3) أ - "خط" ، ب - "مقطع".

تظهر العلاقات بين المجموعات في الشكل ، على التوالي.

2. تعريف المفاهيم. مفاهيم محددة وغير محددة.

إن ظهور مفاهيم جديدة في الرياضيات ، وبالتالي المصطلحات الجديدة التي تشير إلى هذه المفاهيم ، يفترض تعريفها مسبقًا.

حسب التعريفتسمى عادة جملة توضح جوهر مصطلح جديد (أو تسمية). كقاعدة عامة ، يقومون بذلك على أساس المفاهيم المقدمة مسبقًا. على سبيل المثال ، يمكن تعريف المستطيل على النحو التالي: "يُطلق على المستطيل عادةً الشكل الرباعي ، حيث تكون جميع أركانه مستقيمة". هناك جزءان لهذا التعريف - المفهوم الذي يتم تعريفه (المستطيل) والمفهوم المحدد (رباعي الزوايا مع جميع الزوايا على اليمين). إذا أشرنا إلى المفهوم الأول بواسطة a والثاني بـ b ، فيمكن تمثيل هذا التعريف بالشكل التالي:

أ هو (بالتعريف) ب.

عادةً ما يتم استبدال الكلمات "هو (بالتعريف)" بالرمز ⇔ ، ومن ثم يبدو التعريف كما يلي:

قرأوا: "أ يساوي ب بحكم التعريف". يمكنك أيضًا قراءة هذا الإدخال على النحو التالي: "ولكن إذا وفقط إذا ب.

تسمى التعاريف مع هذا الهيكل صريح... دعونا ننظر فيها بمزيد من التفصيل.

دعنا ننتقل إلى الجزء الثاني من تعريف "المستطيل".

يمكن تمييزها:

1) مفهوم "رباعي الزوايا" ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ عام فيما يتعلق بمفهوم "المستطيل".

2) الخاصية "لها جميع الزوايا مستقيمة" ، تسمح لك بتحديد نوع واحد من جميع المربعات الممكنة - المستطيلات ؛ في هذا الصدد ، يطلق عليه اختلاف الأنواع.

بشكل عام ، التمييز المحدد هو ϶ᴛᴏ خصائص (واحدة أو أكثر) التي تجعل من الممكن تمييز الكائنات المحددة من نطاق مفهوم عام.

يمكن تقديم نتائج تحليلنا في شكل رسم بياني:

يتم استخدام علامة "+" كبديل عن "و" الجسيم.

نحن نعلم أن أي مفهوم له حجم. إذا تم تعريف المفهوم أ من خلال اختلاف الجنس والأنواع ، فعندئذٍ حول حجمه - المجموعة أ - يمكننا القول أنه يحتوي على كائنات تنتمي إلى المجموعة C (حجم المفهوم العام ج) ولها الخاصية P:

A \u003d (x / x ∈ C و P (x)).

نظرًا لأن تعريف المفهوم من حيث الجنس واختلاف الأنواع هو في الأساس اتفاق مشروط على إدخال مصطلح جديد ليحل محل أي مجموعة من المصطلحات المعروفة ، فمن المستحيل القول عن التعريف ما إذا كان صحيحًا أم خطأ ؛ لم يثبت ولا يدحض. لكن عند صياغة التعريفات ، فإنها تلتزم بعدد من القواعد. دعنا نسميهم.

1. يجب أن يكون التعريف متناسب... هذا يعني أن أحجام المفاهيم المحددة والمحددة يجب أن تتطابق.

2. في التعريف (أو نظامهم) يجب ألا تكون هناك حلقة مفرغة... هذا يعني أنه لا يمكنك تحديد مفهوم من خلال نفسه.

3. التعريف يجب أن يكون صافي... من الضروري ، على سبيل المثال ، أن تكون معاني المصطلحات المدرجة في المفهوم التعريفي معروفة بحلول الوقت الذي يتم فيه تقديم تعريف المفهوم الجديد.

4 - يتم تعريف نفس المفهوم من خلال اختلاف الجنس والأنواع ، مع مراعاة القواعد التي تمت صياغتها أعلاه ، يمكن القيام به بطرق مختلفة... لذلك ، يمكن تعريف المربع على أنه:

أ) مستطيل تتساوى أضلاعه المجاورة ؛

ب) مستطيل أقطارها متعامدة بشكل متبادل ؛

ج) معين له زاوية قائمة ؛

د) متوازي الأضلاع ، حيث جميع الجوانب متساوية ، والزوايا مستقيمة.

من الممكن وجود تعريفات مختلفة لنفس المفهوم بسبب العدد الكبير من الخصائص المضمنة في محتوى المفهوم ، ولم يتم تضمين سوى عدد قليل منها في التعريف. وبعد ذلك يتم اختيار أحد التعريفات الممكنة ، انطلاقا من أي منها أبسط وأكثر ملاءمة لمزيد من بناء النظرية.

دعنا نسمي تسلسل الإجراءات التي يجب أن نتبعها إذا أردنا إعادة إنتاج تعريف مفهوم مألوف أو بناء تعريف لمفهوم جديد:

1. اسم المفهوم المحدد (المصطلح).

2. أشر إلى أقرب مفهوم عام (فيما يتعلق بالمفهوم المحدد).

3. ضع قائمة بالخصائص التي تميز الكائنات المحددة عن الحجم العام ، أي صياغة اختلاف الأنواع.

4. تحقق مما إذا كانت قواعد تعريف المفهوم مستوفاة (سواء كانت متناسبة ، أو ما إذا كانت هناك حلقة مفرغة ، وما إلى ذلك).