Математичні поняття види і структура визначень приклади. Методика вивчення математичних понять. Записи виду: називають звичайними дробами
дипломна робота
1.1 Математичні поняття, їх зміст та обсяг, класифікація понять
Поняття - форма мислення про цілісну сукупності істотних і несуттєвих властивостей об'єкта.
Математичні поняття мають свої особливості: вони часто виникають з потреби науки і не мають аналогів в реальному світі; вони володіють великою ступенем абстракції. В силу цього бажано показати учням виникнення досліджуваного поняття (або з потреби практики, або з потреби науки).
Кожне поняття характеризується обсягом і змістом. зміст- безліч істотних ознак поняття. Об `єм- безліч об'єктів, до яких може бути застосовано дане поняття. Розглянемо зв'язок між обсягом і змістом поняття. Якщо зміст відповідає дійсності і не включає суперечливих ознак, то обсяг - це не порожня множина, що важливо показати учням при введенні поняття. Зміст цілком визначає обсяг і навпаки. Значить, зміна одного тягне зміну іншого: якщо вміст збільшується, то обсяг зменшується.
o має проводиться за однією ознакою;
o класи повинні бути не пересічними;
o об'єднання всіх класів повинно давати все безліч;
o класифікація повинна бути безперервною (класами повинні бути найближчі видові поняття по відношенню до поняття, яке підлягає класифікації).
Виділяють наступні види класифікації:
1. За видозміненим ознакою. Об'єкти, що підлягають класифікації, можуть володіти декількома ознаками, тому можна класифікувати по-різному.
Приклад. Поняття «трикутник».
2. Дихотомический. Розподіл обсягу поняття на два видових поняття, одне з яких володіє даними ознакою, а інше немає.
Виділимо мети навчання класифікації:
1) розвиток логічного мислення;
2) вивчаючи видові відмінності, ми складаємо більш чітке уявлення про родове поняття.
Обидва види класифікації використовуються в школі. Як правило, спочатку дихотомический, а потім по видозміненій ознакою.
Виховання у дошкільника почуття громадянськості
Вперше слово «патріот» з'явилося в період Французької революції 1789 - 1793гг. Патріотами тоді себе називали себе борці за народну справу, захисники республіки на противагу зрадникам, зрадникам батьківщини з табору монархістів ...
поділ понять
Щоб осмислено оперувати поняттями, правильно їх використовувати в рішенні теоретичних і практичних завдань необхідно вміти виявляти дві основні логічні характеристики: обсяг і зміст поняття ...
поділ понять
Класифікація - розподіл предметів по групах (класам), при якому кожен клас має своє постійне місце. Класифікація є різновидом розподілу поняття ...
Дослідження ефективності використання домашніх завдань у процесі фізичного виховання
Під самостійною діяльністю розуміється сукупність дій, об'єднаних спільною метою і виконують певну суспільну функцію (В.Н. Шаулін, 1986). У нашому випадку, ми маємо справу з фізкультурної діяльністю, тобто діяльністю ...
Міжпредметні зв'язки в навчанні
Міжпредметні зв'язки можуть допомогти школярам зрозуміти навколишній світ, його властивості, основні явища і процеси, що відбуваються в ньому і ті закономірності, яким вони підкоряються. Таким чином...
Методи і прийоми навчання іноземної мови на старшому етапі
Останнім часом дуже актуальним стає звернення вітчизняних і зарубіжних дослідників, таких як А.А. Щукін, І.П. Підласий, М.А. Данилов, І.П. Підкасистий, І.Я. Лернер і ін ...
Організація проектної діяльності учнів по коштах телекомунікацій
Вперше вжив слово «проект» в 1908 році завідувач відділом виховання сельхозшкол Д. Снезден в сільськогосподарському навчанні. За допомогою проектів пропонувалося пов'язати роботу шкіл до потреб сільськогосподарського виробництва ...
Особливості логопедичної роботи з подолання аграмматіческой дисграфии в учнів загальноосвітньої школи
Вперше на порушення читання і письма як на самостійну патологію мовленнєвої діяльності вказав А. Куссмауль в 1877 р Потім з'явилося багато робіт, в яких давалися опису дітей з різними порушеннями читання і письма ...
Особливості формування математичних понять в 5-6 класах
Визначити об'єкт - вибрати з його істотних властивостей такі і стільки, щоб кожне з них було необхідним, а все разом достатніми для відмінності цього об'єкта від інших. Результат цієї дії фіксується у визначенні ...
У сучасних педагогічних дослідженнях, пов'язаних з проблемами вдосконалення функціонування педагогічних систем, підвищення ефективності освітнього процесу, одним з аспектів, що викликають найбільший інтерес ...
Психолого-педагогічні аспекти вирішення проблем міжособистісних відносин підлітків
Кожен вік хороший по-своєму. І в той же час, кожен вік має свої особливості і складності. Не є винятком і підлітковий вік. Підлітковий вік - певний відрізок життя між дитинством і зрілістю ...
Робота з обдарованими дітьми
28. Трикутник - п'ятикутник геометричні фігури Пари понять можна вимовляти вголос, а можна пред'являти у вигляді карток або надрукованими на окремому аркуші. Відповідати діти можуть усно або письмово. Завдання 4 ...
Сучасні проблеми виховання дітей у сім'ї та шляхи їх вирішення
У Малому енциклопедичному словнику поняття сім'ї трактується як «заснована на шлюбі або кровній спорідненості мала група, члени якої пов'язані спільністю побуту, взаємною допомогою, моральною та правовою відповідальністю». М.І.Демков відзначає ...
Формування пізнавальних універсальних навчальних дій на основі індивідуалізації і диференціації навчання хімії в основній загальноосвітній школі
Як і будь-який соціальний інститут, загальноосвітня школа схильна до перманентної модернізації. На даний момент суспільно-політичний запит до загальноосвітньої школі полягає в такій побудові процесу навчання ...
Експериментальне дослідження почуття громадянськості у дітей дошкільного віку
Педагогу, починаючому займатися проблемою формування громадянської компетентності, перш за все необхідно знання термінології, ключових понять цивільного і патріотичного освіти ...
лекція №2
по математиці
Тема: «Математичні поняття»
математичні поняття
визначення понять
Вимоги до визначення понять
Деякі види визначень
1. Математичні поняття
Поняття, що вивчаються в початковому курсі математику, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. В першу включаються поняття, пов'язані з числами і операціями над ними: число, додавання, доданок, більше і ін. До другої входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння і ін. Третю складають геометричні поняття: пряма, відрізок, трикутник і т. д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами і їх вимірюванням.
Як же вивчити таку велику кількість самих різних понять?
Перш за все, треба мати уявлення про поняття як логічної категорії та особливості математичних понять.
У логіці поняття розглядають як форму думки, що відображає об'єкти (предмети або явища) в їх істотних і загальних властивостях. Мовний формою поняття є слово або група слів.
Скласти поняття про об'єкт - це означає вміти відрізнити його від інших подібних до нього об'єктів. Математичні поняття мають ряд особливостей. Головна полягає в тому, що математичні об'єкти, про які необхідно скласти поняття, в реальності не існує. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відображають реальні предмети або явища. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не беручи до уваги інші їх властивості: колір, масу, твердість і т.д. Від усього цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова «предмет» кажуть «геометрична фігура».
Результатом абстрагування є і такі математичні поняття, як «число» і «величина».
Взагалі математичні об'єкти існують лише в мисленні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.
До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відношення матеріального світу, математика не тільки користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування виступає як багатоступінчастий процес. В математиці розглядають не тільки поняття, що з'явилися при вивченні реальних предметів, але і поняття, що виникли на основі перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності є узагальненням понять конкретних функцій, тобто абстракцією від абстракцій.
Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять в початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями і про видах визначень понять.
2. Обсяг і зміст поняття. Відносини між поняттями
Всякий математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші його властивості.
Серед властивостей об'єкта розрізняють істотні і несуттєві. Властивість вважають істотним для об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата істотними є всі властивості, названі вище. Несуттєво для квадрата ABCD властивість «сторона AD горизонтальна». Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованої по-іншому (рис. 26).
Тому, щоб розуміти, що являє собою даний математичний об'єкт, треба знати його істотні властивості.
Коли говорять про математичному понятті, то зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадраті, мають на увазі всі геометричні фігури, які є квадратами. Вважають, що безліч всіх квадратів становить обсяг поняття «квадрат».
взагалі обсяг поняття - це безліч всіх об'єктів, що позначаються одним терміном.
Будь-яке поняття має не тільки обсяг, але і зміст.
Розглянемо, наприклад, поняття «прямокутник».
Обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а в його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» і т.д.
Між обсягом поняття і його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст, і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а в змісті поняття «квадрат» міститься більше властивостей, ніж в змісті поняття «прямокутник» ( «всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» і ін. ).
Будь-яке поняття не можна засвоїти, що не усвідомивши його взаємозв'язку з іншими поняттями. Тому важливо знати, в яких стосунках можуть перебувати поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.
Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їх обсягами, тобто множинами.
Домовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, с, ..., z.
Нехай задані два поняття а й b. Обсяги їх позначимо відповідно А і В.
якщо А 
В (А ≠ В), то говорять, що поняття а - видове по відношенню до поняттяb, А поняття b - родове по відношенню до поняття а.
Наприклад, якщо а - «прямокутник», b - «чотирикутник», то їх обсяги А і В знаходяться у відношенні включення (А 
В і А ≠ В), оскільки всякий прямокутник є чотирикутником. Тому можна стверджувати, що поняття «прямокутник» - видове по відношенню до поняття «чотирикутник», а поняття «чотирикутник» - родове по відношенню до поняття «прямокутник».
Якщо А \u003d В, то говорять, що поняття а йb тотожні.
Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» і «рівнокутний трикутник», так як їх обсяги співпадають.
Якщо множини А і В не пов'язані ставленням включення, то кажуть, що поняття а й b не перебувають у відношенні роду і виду і не тотожні. Наприклад, не пов'язані такими відносинами поняття «трикутник» і «прямокутник».
Розглянемо докладніше відношення роду і виду між поняттями. По-перше, поняття роду і виду відносні: одне і те ж поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття і видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття «прямокутник» - родове по відношенню до поняття «квадрат» і видове по відношенню до поняття «чотирикутник».
По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька родових понять. Так, для поняття «прямокутник» родовими є поняття «чотирикутник», «паралелограм», «багатокутник». Серед них можна вказати найближчим. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».
По-третє, видове поняття має всі властивості родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям по відношенню до поняття «прямокутник», має всі властивості, властивими прямокутника.
Так як обсяг поняття - безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх за допомогою кіл Ейлера.
Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять a і b, якщо:
1) а - «прямокутник», b - «ромб»;
2) а - «багатокутник», b - «паралелограм»;
3) а - «пряма», b - «відрізок».
У разі 1) обсяги понять перетинаються, але не одне безліч не є підмножиною іншого (рис. 27).
Отже, можна стверджувати, що дані поняття а й b не перебувають у відношенні роду і виду.
У разі 2) обсяги даних понятті перебувають у відношенні включення, але не збігаються - всякий паралелограм є багатокутником, але не навпаки (рис. 28). Отже, можна стверджувати, що поняття «паралелограм» - видове по відношенню до поняття «багатокутник», а поняття «багатокутник» - родове по відношенню до поняття «паралелограм».
У разі 3) обсяги понять не перетинаються, так як ні про один відрізок можна сказати, що він є прямою, і жодна пряма не може бути названа відрізком (рис. 29).
Отже, дані поняття не перебувають у відношенні роду і виду.
Про поняттях «пряма» і «відрізок» можна сказати, що вони перебувають у відношенні цілого і частини: отрезок- частина прямої, а не її вид. І якщо видове поняття має всі властивості родового поняття, то частина не обов'язково має всі властивості цілого. Наприклад, відрізок не володіє такою властивістю прямої, як її нескінченність.
Серед умінь, яких навчає математика і яким всім вам потрібно вчитися, велике значення має вміння класифікувати поняття.
Справа в тому, що математика, як і багато інших наук, вивчає не поодинокі предмети або явища, а масові. Так, коли ви вивчаєте трикутники, то вивчаєте властивості будь-яких трикутників, а їх безліч. Взагалі обсяг будь-якого математичного поняття, як правило, нескінченний.
Для того щоб розрізняти об'єкти математичних понять, вивчити їх властивості, як правило, ці поняття ділять на види, класи. Адже, крім загальних властивостей, будь-математичне поняття має ще багатьма важливими властивостями, властивими не всім об'єктам цього поняття, а лише об'єктам деякого виду. Так, прямокутні трикутники, крім загальних властивостей будь-яких трикутників, мають багато властивостей, вельми важливими для практики, наприклад теоремою Піфагора, співвідношеннями між кутами і сторонами і т. д.
В процесі багатовікового вивчення математичних понять, в процесі їх численних застосувань в житті, в інших науках з їх обсягу були виділені якісь особливі види, що мають найбільш цікаві властивості, які найчастіше зустрічаються і застосовуються в практиці. Так, різних чотирикутників існує нескінченно багато, але в практиці, в техніці найбільше застосування мають лише певні їх види: квадрати, прямокутники, паралелограми, ромби, трапеції.
Розподіл обсягу деякого поняття на частини і є класифікація цього поняття. Більш точно під класифікацією розуміють розподіл об'єктів будь-якого поняття на взаємопов'язані класи (види, типи) по найбільш істотним ознаками (властивостями). Ознака (властивість), за яким про-диться класифікація (поділ) поняття на види (класи), називається підставою класифікації.
Правильно побудована класифікація поняття відображає найбільш істотні властивості і зв'язки між об'єктами поняття, допомагає краще орієнтуватися в безлічі цих об'єктів, дає можливість встановлювати такі властивості цих об'єктів, які найбільш важливі для застосування цього поняття в інших науках і життєвій практиці.
Класифікація поняття проводиться по одному або декільком найбільш істотних підставах.
Так, трикутники можна класифікувати за величиною кутів. Отримуємо такі види: гострокутні (всі кути гострі), прямокутні (один кут прямий, решта гострі), тупо-вугільні (один кут тупий, інші гострі). Якщо ж за основу поділу трикутників прийняти співвідношення між сторонами, то отримуємо такі види: різнобічні, рівнобедрені і правильні (рівносторонній).
Складніше, коли доводиться класифікувати поняття за кількома підставами. Так, якщо опуклі чотирикутники класифікувати по паралельності сторін, то по суті нам потрібно розділити все опуклі чотирикутники одночасно за двома ознаками: 1) одна пара протилежних сторін паралельна чи ні; 2) друга пара протилежних сторін паралельна чи ні. Отримуємо в результаті три види опуклих чотирикутників: 1) чотирикутники з не паралельними сторонами; 2) чотирикутники з однією парою паралельних сторін - трапеції; 3) чотирикутники з двома парами паралельних сторін - паралелограми.
Вельми часто виробляють класифікацію поняття поетапно: спочатку по одній підставі, потім деякі види ділять на підвиди з іншого підставі і т. Д. Прикладом може бути класифікація чотирикутників. На першому етапі їх ділять за ознакою опуклості. Потім опуклі чотирикутники ділять за ознакою паралельності протилежних, сторін. У свою чергу паралелограми ділять за ознакою наявності прямих кутів і т. Д.
При проведенні класифікації необхідно дотримуватися певних правил. Зазначимо головні з них.
- В якості підстави класифікації можна брати лише загальний ознака всіх об'єктів даного поняття. Так, наприклад, не можна в якості підстави класифікації алгебраїчних виразів брати ознака розташування членів за ступенями якийсь змінної. Ця ознака не є загальним для всіх алгебраїчних виразів, наприклад для дрібних виразів або одночленним він не має сенсу. Цією ознакою володіють лише багаточлени, тому многочлени можна класифікувати за найвищою мірою головною змінною.
- Підставою для класифікації треба брати істотні властивості (ознаки) понять. Розглянемо знову поняття алгебраїчного виразу. Одним з властивостей цього поняття є те, що змінні, що входять до вираження алгебри, позначаються якимись літерами. Ця властивість є загальним, але не є суттєвим, бо від того, якою буквою позначена та чи інша змінна, характер вираження не залежить. Так, алгебраїчні вирази х + у і а + b - це по суті справи одне і те ж вираз. Тому класифікувати вирази за ознакою позначення змінних буквами не слід. Інша справа, якщо за основу класифікації алгебраїчних виразів взяти ознака виду дій, за допомогою яких змінні з'єднані, т. Е. Дії, які відбуваються над змінними. Цей загальний ознака досить істотний, і класифікація за цією ознакою буде правильною і корисною.
- На кожному етапі класифікації можна застосовувати лише одне якусь підставу.Не можна одночасно класифікувати поняття за двома різними ознаками. Наприклад, не можна класифікувати трикутники відразу і по величині і по співвідношенню між сторонами, бо в результаті ми отримаємо класи трикутників, які мають спільні елементи (наприклад, гострокутні і рівнобедрені або тупоугольние і рівнобедрений і т. Д.). Тут порушено наступну вимогу до класифікації: в результаті класифікації на кожному етапі одержувані класи (види) не повинні перетинатися.
- В той же час класифікація по якого-небудь підстави повинна бути вичерпною і кожен об'єкт поняття повинен потрапити в результаті класифікації в один і тільки один клас.
Тому поділ всіх цілих чисел на позитивні і негативні невірно, бо ціле число нуль при цьому не потрапило ні в один з класів. Треба говорити так: цілі числа діляться на три класи - позитивні, негативні і число нуль.
Часто при класифікації понять явно виділяються лише деякі класи, а решта тільки маються на увазі. Так, наприклад, при вивченні алгебраїчних виразів зазвичай виділяють лише такі їх види: одночлени, многочлени, дробові вирази, ірраціональні. Але ці види не вичерпують всіх видів алгебраїчних виразів, тому така класифікація є неповною.
Повна правильна класифікація алгебраїчних виразів може бути проведена в такий спосіб.
На першому місці класифікації алгебраїчних виразів вони діляться на два класи: раціональні та нераціональні. На другому ступені раціональні вирази поділяються на цілі і дробові. На третьому щаблі цілі вирази поділяються на одночлени, многочлени і складні цілі вирази.
Цю класифікацію можна представити у вигляді такої
завдання 7
7.1. Чому не можна класифікувати раціональні числа по їх парності?
7.2. Встановіть, чи правильно зроблено поділ поняття:
а) Величини можуть бути рівними і нерівними.
б) Функції бувають зростаючі і спадні.
в) рівнобедреного трикутника можуть бути гострокутними, прямокутними і тупоугольного.
г) Прямокутники бувають квадрати і ромби.
7.3. Проведіть поділ поняття "геометрична фігура" по властивості займати частину площині і наведіть приклади кожного виду.
7.4. Побудуйте можливі схеми класифікації раціональних чисел.
7.5. Побудуйте схему класифікації наступних понять:
а) чотирикутник;
б) два кути.
7.6. Проведіть класифікацію таких понять:
а) трикутник і коло;
б) кути в окружності;
в) два кола;
г) пряма і окружність;
д) квадратні рівняння;
е) система двох рівнянь першого ступеня з двома невідомими.
Лекція 7. Математичні поняття
1. Групи понять, що вивчаються в початковому курсі математики. Особливості математичних понять.
2. Обсяг і зміст поняття.
3. Відносини між поняттями.
4. Операції з поняттями: узагальнення, обмеження, визначення та розподіл поняття.
5. Правила, необхідні при формулюванні визначення понять через рід і видову відмінність.
6. Контекстуальні та остенсівние визначення. Опис, порівняння.
Групи понять, що вивчаються в початковому курсі математики. Особливості математичних понять.
Поняття, що вивчаються в початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. В першу включаються поняття пов'язані з числами і операціями над ними: число, додавання, доданок, більше і ін. у другу входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння і ін. третю складають геометричні поняття: пряма, відрізок, трикутник і т.д. четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами і їх вимірюванням.
Як же вивчати таку велику кількість самих різних понять?
Перш за все, треба мати уявлення про поняття як логічної категорії та особливості математичних понять.
У логіці поняття розглядають як форму думки, відображає об'єкти (Предмети або явища) в їх істотних і загальних властивостях. Мовний формою поняття є слово або група слів.
Скласти поняття про об'єкт - це означає вміти відрізнити його від інших подібних до нього об'єктів.
Математичні поняття мають ряд особливостей. Головна полягає в тому, що математичні об'єкти, про які необхідно скласти поняття, в реальності не існує. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відображають реальні предмети або явища. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не беручи до уваги інші їх властивості: колір, масу, твердість і т.д. Від усього цього відволікаються, абстрагуються. Тому в геометрії замість слова «предмет» кажуть «геометрична фігура».
Результатом абстрагування є і такі математичні поняття, як «число» і «величина».
взагалі математичні об'єкти існують лише в мисленні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.
До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відношення матеріального світу, математика не тільки користується різними прийомами абстрагування, А й саме абстрагування виступає як багатоступінчастий процес. B математики розглядають не тільки поняття, що з'явилися при вивченні реальних предметів, але і поняття, що виникли на основі перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності є узагальненням понять конкретних функцій, тобто абстракцією від абстракцій.
Щоб оволодіти загальними підходами до вивчення понять в початковому курсі математики, вчителю необхідні знання про обсяг і зміст поняття, про відносини між поняттями і про видах визначень понять.
2. Обсяг і зміст поняття
Всякий математичний об'єкт має певні властивості. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші його властивості.
серед властивостей об'єкта розрізняють істотні і несуттєві.
властивість вважають істотнимдля об'єкта, якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата істотними є всі властивості, названі вище. Несуттєво для квадрата ABCD властивість «сторона AD горизонтальна». Якщо квадрат повернути, то сторона AD виявиться розташованої по-іншому (рис. 26). Тому, щоб розуміти, що являє собою даний математичний об'єкт, треба знати його істотні властивості.
Коли говорять про математичному понятті, то зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном (словом або групою слів). Так, говорячи про квадраті, мають на увазі всі геометричні фігури, які є квадратами. Вважають, що безліч всіх квадратів становить обсяг поняття «квадрат».
Будь-яке поняття характеризується словом, обсягом і змістом.
обсяг поняття а - це безліч всіх об'єктів, які можна назвати цим словом (терміном)
Приклад. Виділимо обсяг і зміст поняття «прямокутник».
обсяг поняття - це безліч різних прямокутників, а в його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» і т. д.
Між обсягом поняття і його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст, і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а в змісті поняття «квадрат» міститься більше властивостей, ніж в змісті поняття «прямокутник» ( «всі сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» і ін. ).
Будь-яке поняття не можна засвоїти, що не усвідомивши його взаємозв'язку з іншими поняттями. Тому важливо знати, в яких стосунках можуть перебувати поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.
Лекція 5. Математичні поняття
1. Обсяг і зміст поняття. Відносини між поняттями
2. Визнач ення понять. Обумовлені і невизначені поняття.
3. Способи определ ення понять.
4. Основні висновки
Поняття, що вивчаються в початковому курсі математики, зазвичай представляють у вигляді чотирьох груп. В першу включаються поняття, пов'язані з числами і операціями над ними: число, додавання, доданок, більше і ін. До другої входять алгебраїчні поняття: вираз, рівність, рівняння і ін. Третю групу складають геометричні поняття: пряма, відрізок, трикутник і т . Д. Четверту групу утворюють поняття, пов'язані з величинами і їх вимірюванням.
Щоб вивчати нд е різноманітність понять, потрібно мати уявлення про поняття як логічної категорії та особливості математичних понять.
У логіці поняттярозглядають як форму думки, Яка відображатиме об'єкти (предмети і явища) в їх істотних і загальних властивостях. Мовний формою поняття є слово (термін) або група слів.
Скласти поняття про об'єкт - ϶ᴛᴏ означає вміти відрізнити його від інших подібних до нього об'єктів. Математичні поняття мають ряд особливостей. Головна складається по суті в тому, що математичні об'єкти, про які вкрай важливо скласти поняття, в реальності не існує. Математичні об'єкти створені розумом людини. Це ідеальні об'єкти, що відображають реальні предмети або явища. Наприклад, в геометрії вивчають форму і розміри предметів, не беручи до уваги інші властивості: колір, масу, твердість і т.д. Від нд його цього абстрагуються. З цієї причини в геометрії замість слова «предмет» кажуть «геометрична фігура».
Результатом абстрагування є і такі математичні поняття, як «число» і «величина».
Взагалі математичні об'єкти існують лише в мисленні людини і в тих знаках і символах, які утворюють математичну мову.
До сказаного можна додати, що, вивчаючи просторові форми і кількісні відношення матеріального світу, Математика не тільки користується різними прийомами абстрагування, а й саме абстрагування виступає як багатоступінчастий процес. В математиці розглядають не тільки поняття, що з'явилися при вивченні реальних предметів, але і поняття, що виникли на основі перших. Наприклад, загальне поняття функції як відповідності є узагальненням понять конкретних функції, ᴛ.ᴇ. абстракцією від абстракцій.
- Обсяг і зміст поняття. Відносини між поняттями
Всякий математичний об'єкт має определ еннимі властивостями. Наприклад, квадрат має чотири сторони, чотири прямих кута, рівні діагоналі. Можна вказати і інші його властивості.
Серед властивостей об'єкта розрізняють істотні і несуттєві. властивість вважають істотним для об'екта͵ якщо воно притаманне цьому об'єкту і без нього він не може існувати. Наприклад, для квадрата істотними є вс е властивості, названі вище. Несуттєво для квадрата АВСD властивість «сторона АВ горизонтальна».
Коли говорять про математичному понятті, то зазвичай мають на увазі безліч об'єктів, що позначаються одним терміном(Словом або групою слів). Так, говорячи про квадраті, мають на увазі вс е геометричні фігури, які є квадратами. Вважають, що безліч нд ех квадратів становить обсяг поняття «квадрат».
взагалі, обсяг поняття - ϶ᴛᴏ безліч нд ех об'єктів, що позначаються одним терміном.
Будь-яке поняття має не тільки обсяг, але і зміст.
Розглянемо, наприклад, поняття «прямокутник».
Обсяг поняття - ϶ᴛᴏ безліч різних прямокутників, а в його зміст входять такі властивості прямокутників, як «мати чотири прямих кута», «мати рівні протилежні сторони», «мати рівні діагоналі» і т.д.
Між обсягом поняття і його змістом існує взаємозв'язок: якщо збільшується обсяг поняття, то зменшується його зміст, і навпаки. Так, наприклад, обсяг поняття «квадрат» є частиною обсягу поняття «прямокутник», а в змісті поняття «квадрат» міститься більше властивостей, ніж в змісті поняття «прямокутник» ( «вс е сторони рівні», «діагоналі взаємно перпендикулярні» та ін.).
Будь-яке поняття не можна засвоїти, що не усвідомивши його взаємозв'язку з іншими поняттями. З цієї причини важливо знати, в яких стосунках можуть перебувати поняття, і вміти встановлювати ці зв'язки.
Відносини між поняттями тісно пов'язані з відносинами між їх обсягами, ᴛ.ᴇ. множинами.
Домовимося поняття позначати малими літерами латинського алфавіту: а, b, c, d, ..., z.
Нехай задані два поняття а й b. Обсяги їх позначимо відповідно А і В.
У разі якщо А ⊂ В (А ≠ В), то говорять, що поняття а - видове по відношенню до поняття b, а поняття b - родове по відношенню до поняття а.
Наприклад, якщо а - «прямокутник», b - «чотирикутник», то їх обсяги А і В знаходяться у відношенні включення (А ⊂ В і А ≠ В), в зв'язку з цим будь-прямокутник є чотирикутником. З цієї причини можна стверджувати, що поняття «прямокутник» - видове по відношенню до поняття «чотирикутник», а поняття «чотирикутник» - родове по відношенню до поняття «прямокутник».
У разі якщо А \u003d В, то говорять, що поняття А і В тотожні.
Наприклад, тотожні поняття «рівносторонній трикутник» і «трикутник», так як їх обсяги співпадають.
Розглянемо докладніше відношення роду і виду між поняттями.
1. В першу чергу, поняття роду і виду відносні: одне і те ж поняття може бути родовим по відношенню до одного поняття і видовим по відношенню до іншого. Наприклад, поняття «прямокутник» - родове по відношенню до поняття «квадрат» і видове по відношенню до поняття «чотирикутник».
2. По-друге, для цього поняття часто можна вказати кілька родових понять. Так, для поняття «прямокутник» родовими є поняття «чотирикутник», «паралелограм», «багатокутник». Серед зазначених можна вказати найближчим. Для поняття «прямокутник» найближчим є поняття «паралелограм».
3. По-третє, видове поняття має вс ємі властивостями родового поняття. Наприклад, квадрат, будучи видовим поняттям по відношенню до поняття «прямокутник», володіє нд ємі властивостями, властивими прямокутника.
Так як обсяг поняття - безліч, зручно, встановлюючи відносини між обсягами понять, зображати їх за допомогою кіл Ейлера.
Встановимо, наприклад, відносини між наступними парами понять а й b, якщо:
1) а - «прямокутник», b - «ромб»;
2) а - «багатокутник», b - «паралелограм»;
3) а - «пряма», b - «відрізок».
Відносини між множинами відображені на малюнку відповідно
2. Визнач ення понять. Обумовлені і невизначені поняття.
Поява в математиці нових понять, а значить, і нових термінів, що позначають ці поняття, передбачає їх определ ение.
Визнач еніемзазвичай називають пропозицію, роз'яснює суть нового терміна (або позначення). Як правило, роблять це на основі раніше введених понять. Наприклад, прямокутник можна визначити так: «Прямокутником прийнято називати чотирикутник, у якого вс е кути прямі». У цьому определ еніі є дві частини - визначається поняття (прямокутник) і що б поняття (чотирикутник, у якого вс е кути прямі). У разі якщо позначити через а перше поняття, а через b - друге, то дане определ ение можна уявити в такому вигляді:
а є (по определ енію) b.
Слова «є (по определ енію)» зазвичай заміняють символом ⇔, і тоді розцінка ення виглядає так:
Читають: «а рівносильно b по определ енію». Можна прочитати цей запис ще й так: «а тоді і тільки тоді, коли b.
Визнач ення, що мають таку структуру, називаються явними. Розглянемо їх докладніше.
Звернемося до другої частини определ ення «прямокутник».
У ньому можна виділити:
1) поняття «чотирикутник», ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ є родовим по відношенню до поняття «прямокутник».
2) властивість «мати вс е кути прямі», ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ дозволяє виділити з нд евозможних чотирикутників один вид - прямокутники; в зв'язку з цим його називають видовим відзнакою.
Взагалі видове відмінність - ϶ᴛᴏ властивості (одне або декілька), які дозволяють виділити визначаються об'єкти з обсягу родового поняття.
Підсумки нашого аналізу можна представити у вигляді схеми:
Знак «+» використовується як заміна частка «і».
Нам відомо, що будь-яке поняття має обсяг. У разі якщо поняття а розцінка ено через рід і видову відмінність, то про його обсязі - безлічі А - можна сказати, що в ньому містяться такі об'єкти, які належать множині С (обсягом родового поняття с) і мають властивість Р:
А \u003d (х / х ∈ С і Р (х)).
Так як определ ение поняття через рід і видову відмінність є по суті умовним угодою про введення нового терміна для заміни будь-якої сукупності відомих термінів, то про определ еніі не можна сказати, вірне воно або неправильне; його недоводять і не спростовують. Але, формулюючи определ ення, дотримуються ряду правил. Назвемо їх.
1. Визнач ення має бути пропорційним. Це означає, що обсяги визначається і визначального понять повинні збігатися.
2. У определ еніі (або їх системі) не повинно бути порочного кола. Це означає, що не можна визначати поняття через саме себе.
3. Визнач ення має бути ясним. Потрібно, наприклад, щоб значення термінів, що входять в що б поняття, були відомі до моменту введення определ ення нового поняття.
4. Одне і те ж поняття визначити через рід і видову відмінність, дотримуючись сформульовані вище правила, можна по-різному. Так, квадрат можна визначити як:
а) прямокутник, у якого сос едніе сторони рівні;
б) прямокутник, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні;
в) ромб, у якого є прямий кут;
г) паралелограм, у якого вс е сторони рівні, а кути прямі.
Різні определ ення одного і того ж поняття можливі тому, що з великого числа властивостей, що входять в зміст поняття, в определ ение включаються тільки деякі. І тоді з можливих определ еній вибирають одне, виходять з того, яке з них простіше і цілий есообразнее для подальшої побудови теорії.
Назвемо ту послідовність дій, яку ми повинні дотримуватися, якщо хочемо відтворити определ ение знайомого поняття або побудувати определ ение нового:
1. Назвати визначається поняття (термін).
2. Вказати найближче родове поняття (по відношенню до обумовленому) поняття.
3. Перерахувати властивості, що виділяють визначаються об'єкти з обсягу родового, тобто сформулювати видову відмінність.
4. Перевірити, чи виконані правила определ ення поняття (пропорційно воно, чи немає порочного кола і т.д.).
