Золотий перетин у природі. Золотий перетин - божественна міра краси, створена в природі Природа та золотий перетин

Ця гармонія вражає своїми масштабами.

Привіт, друзі!

Ви щось чули про Божественну гармонію чи Золотий перетин? Чи замислювалися про те, чому нам щось здається ідеальним та красивим, а щось відштовхує?

Якщо ні, то ви вдало потрапили на цю статтю, тому що в ній ми обговоримо золотий перетин, дізнаємося, що це таке, як воно виглядає в природі та людині. Поговоримо про його принципи, дізнаємося що таке ряд Фібоначчі та багато іншого, включаючи поняття золотий прямокутник і золота спіраль.

Так, у статті багато зображень, формул, як-не-як, золотий перетин - це ще й математика. Але все описано досить простою мовою, наочно. А ще, наприкінці статті, ви дізнаєтеся, чому всі так люблять котиків.

Що таке золотий перетин?

Якщо по-простому, то золотий перетин – це певне правило пропорції, яке створює гармонію? Тобто якщо ми не порушуємо правила цих пропорцій, то у нас виходить дуже гармонійна композиція.

Найбільш ємне визначення золотого перерізу говорить, що менша частина відноситься до більшої, як більша до всього цілого.

Але, крім цього, золотий перетин - це математика: він має конкретну формулу і конкретне число. Багато математиків взагалі вважають його формулою божественної гармонії і називають «асиметричною симетрією».

До наших сучасників золотий перетин сягнув часів Стародавню Грецію, проте, існує думка, що самі греки вже підглянули золотий перетин в єгиптян. Тому що багато витворів мистецтва Стародавнього Єгипту чітко побудовані за канонами цієї пропорції.

Вважається, що першим запровадив поняття золотого перерізу Піфагор. До наших днів дійшли праці Евкліда (він за допомогою золотого перетину будував правильні п'ятикутники, саме тому такий п'ятикутник названий «золотим»), а число золотого перетину названо на честь давньогрецького архітектора Фідія. Тобто, це у нас число «фі» (позначається грецькою літерою φ), і воно дорівнює 1.6180339887498948482… Природно, це значення округляють: φ = 1,618 або φ = 1,62, а у відсотковому співвідношенні золотий перетин виглядає, як 38%.

У чому ж унікальність цієї пропорції (а вона, повірте, є)? Давайте спочатку спробуємо розібратися на прикладі відрізка. Отже, беремо відрізок і ділимо його на нерівні частини таким чином, щоб його менша частина відносилася до більшої, як більша до всього. Розумію, не дуже поки ясно, що до чого, спробую проілюструвати наочніше на прикладі відрізків:

Отже, беремо відрізок і ділимо його на два інших, таким чином, щоб менший відрізок а ставився до більшого відрізка b, так само, як і відрізок b відноситься до цілого, тобто до всієї лінії (a + b). Математично це виглядає так:

Це правило працює нескінченно, ви можете ділити відрізки скільки завгодно довго. І бачите, як це просто. Головне один раз зрозуміти і все.

Але тепер розглянемо складніший приклад, який трапляється дуже часто, тому що золотий переріз ще представляють у вигляді золотого прямокутника (співвідношення сторін якого φ = 1,62). Це дуже цікавий прямокутник: якщо від нього «відрізати» квадрат, ми знову отримаємо золотий прямокутник. І так багато разів. Дивіться:

Але математика була б математикою, якби у ній був формул. Тож, друзі, зараз буде трішки «боляче». Вирішення золотої пропорції сховала під спойлер, дуже багато формул, але без них не хочу залишати статтю.

Ряд Фібоначчі та золотий перетин

Продовжуємо творити та спостерігати за магією математики та золотого перетину. У середні віки був такий товариш – Фібоначчі (або Фібоначі, скрізь по-різному пишуть). Любив математику і завдання, була в нього і цікаве завдання з розмноженням кроликів =) Але не в цьому суть. Він відкрив числову послідовність, числа в ній так і звуться "числа Фібоначчі".

Сама послідовність виглядає так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... і далі до нескінченності.

Якщо словами, то послідовність Фібоначчі - це така послідовність чисел, де кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.

До чого тут золотий перетин? Зараз побачите.

Спіраль Фібоначчі

Щоб побачити і відчути зв'язок числового ряду Фібоначчі та золотого перерізу, потрібно знову поглянути на формули.

Іншими словами, з 9-го члена Фібоначчі послідовності ми починаємо отримувати значення золотого перерізу. І якщо візуалізувати всю цю картину, то ми побачимо, як послідовність Фібоначчі створює прямокутники дедалі ближче до золотого прямокутника. Ось такий зв'язок.

Тепер поговоримо про спіраль Фібоначчі, її ще називають «золотою спіраллю».

Золота спіраль - логарифмічна спіраль, коефіцієнт зростання якої дорівнює φ4 де φ - золотий перетин.

Загалом і загалом, з погляду математики, золотий перетин - ідеальна пропорція. Але на цьому її чудеса лише починаються. Принципам золотого перерізу майже весь світ, цю пропорцію створила сама природа. Навіть езотерики, і ті, бачать у ній числову міць. Але про це точно не в цій статті говоритимемо, тому щоб нічого не пропустити, можете підписатися на оновлення сайту.

Золотий перетин у природі, людині, мистецтві

Перш ніж ми почнемо, хотілося б уточнити низку неточностей. По-перше, саме визначення золотого перерізу в даному контексті не зовсім правильне. Справа в тому, що саме поняття «перетин» - це термін геометричний, що завжди означає площину, але ніяк не послідовність чисел Фібоначчі.

І, по-друге, числовий ряд і співвідношення одного до іншого, звичайно, перетворили на трафарет, який можна накладати на все, що здається підозрілим, і дуже радіти, коли є збіги, але все ж таки, здоровий глузд втрачати не варто.

Однак «все змішалося в нашому королівстві» і одне стало синонімом іншого. Тож загалом і в цілому сенс від цього не загубився. А тепер до діла.

Ви здивуєтеся, але золотий перетин, точніше пропорції максимально наближені до нього, можна побачити практично скрізь, навіть у дзеркалі. Не вірите? Давайте з цього й почнемо.

Знаєте, коли я вчилася малювати, то нам пояснювали, як простіше будувати обличчя людини, її тіло та інше. Все треба розраховувати щодо чогось іншого.

Все, абсолютно все пропорційно: кістки, наші пальці, долоні, відстані на обличчі, відстань витягнутих рук до тіла і так далі. Але навіть це не все, внутрішня будова нашого організму, навіть вона прирівнюється або майже прирівнюється до золотої формули перерізу. Ось які відстані та пропорції:

від плечей до верхівки до розміру голови = 1:1.618

від пупка до верхівки до відрізка від плечей до верхівки = 1:1.618

від пупка до колін і від колін до ступнів = 1:1.618

від підборіддя до крайньої точки верхньої губи та від неї до носа = 1:1.618

Хіба це не дивно! Гармонія у чистому вигляді, як усередині, так і зовні. І саме тому, на якомусь підсвідомому рівні, деякі люди не здаються нам красивими, навіть якщо у них міцне підтягнуте тіло, оксамитова шкіра, красиве волосся, очі та інше і все інше. Але, все одно, найменше порушень пропорцій тіла, і зовнішність вже трохи «ріже очі».

Коротше кажучи, чим красивіша здається нам людина, тим ближче її пропорції до ідеальних. І це, до речі, не лише до людського тіла можна зарахувати.

Золотий переріз у природі та її явищах

Класичним прикладом золотого перерізу в природі є раковина молюска Nautilus pompilius та амоніту. Але це далеко не все, є ще багато прикладів:

у завитках людського вуха ми можемо побачити золоту спіраль;

її ж (або наближену до неї) у спіралях, якими закручуються галактики;

та в молекулі ДНК;

по ряду Фібоначчі влаштований центр соняшника, ростуть шишки, середина квітів, ананас та багато інших плодів.

Друзі, прикладів настільки багато, що я просто залишу відеоролик (він трохи нижче), щоб не перевантажувати текстом статтю. Тому що, якщо цю тему копати, то можна заглибитися в такі нетрі: ще давні греки доводили, що Всесвіт і взагалі весь простір - сплановано за принципом золотого перетину.

Ви здивуєтеся, але ці правила можна знайти навіть у звуці. Дивіться:

Найвища точка звуку, що викликає біль та дискомфорт у наших вухах, дорівнює 130 децибелам.

Ділимо пропорцією 130 на число золотого перерізу = 1,62 і отримуємо 80 децибел - звук людського крику.

Продовжуємо пропорційно ділити і отримуємо, скажімо так, нормальну гучність людської мови: 80/φ = 50 децибелів.

Ну а останній звук, який отримаємо завдяки формулі – приємний звук шепоту = 2,618.

За цим принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне та максимальне число температури, тиску, вологості. Я не перевіряла і не знаю, наскільки ця теорія вірна, але, погодьтеся, звучить вражаюче.

Абсолютно у всьому живому і не живому можна прочитати найвищу красу та гармонію.

Головне, тільки не захоплюватися цим, адже якщо ми хочемо щось побачити, то побачимо, навіть якщо цього там немає. Ось я, наприклад, звернула увагу на дизайн PS4 і побачила там золотий перетин =) Втім, ця консоль настільки класна, що не здивуюся, якщо дизайнер і справді щось там мудрував.

Золотий перетин у мистецтві

Також дуже велика і велика тема, яку варто розглянути окремо. Тут лише відзначу кілька базових моментів. Найпримітніше, що багато витворів мистецтва та архітектурні шедеври давнини (і не тільки) зроблені за принципами золотого перетину.

Єгипетські та піраміди Майя, Нотр-Дам де Парі, грецький Парфенон і так далі.

У музичних творах Моцарта, Шопена, Шуберта, Баха та інших.

У живопису (там це видно): всі найвідоміші картини відомих художників зроблені з урахуванням правил золотого перетину.

Ці принципи можна зустріти і у віршах Пушкіна, і в бюсті красуні Нефертіті.

Навіть зараз правила золотої пропорції використовуються, наприклад, у фотографії. Ну, і звичайно, у всьому іншому мистецтві, включаючи кінематограф та дизайн.

Золоті котики Фібоначчі

Ну і, нарешті, про котиків! Ви замислювалися над тим, чому всі так люблять котейок? Адже вони заполонили Інтернет! Котики скрізь і це чудово =)

А вся річ у тому, що кішки – ідеальні! Не вірите? Зараз доведу вам це математично!

Бачите? Таємниця розкрита! Котейки ідеальні з точки зору математики, природи та Всесвіту =)

* Я жартую звичайно. Ні, кішки дійсно ідеальні) Але математично їх ніхто не вимірював, напевно.

На цьому, загалом, усі, друзі! Ми побачимось у наступних статтях. Удачі вам!

PS.Зображення взято із сайту medium.com.

Людство за всю історію відкрило кілька унікальних закономірностей, які знайшли широке застосування у найрізноманітніших областях. Одна з них – золотий перетин.

Воно визначає поділ об'єкта на 2 частини у тому співвідношенні, в якому менша частина відноситься до більшої, так само як більшість відноситься до повного розміру об'єкта. Як приклад цього заплутаного визначення можна навести поділ прямокутного листа: відрізаючи від повного листочка менший прямокутник, у останнього виявиться те саме співвідношення сторін, що й у великого. Ще один приклад - зірка з п'ятьма кінцями: у цій геометричній фігурі кожен відрізок, що з'єднує її промені, розділяється за цим правилом відрізком, що його перетинає.

Як з'явилося правило золотого перетину?

Історія виникнення йде у далеке минуле. Його описував у праці «Початку» древній вчений та мислитель Евклід, це перші документальні згадки. Давньогрецький математик не єдиний, хто помітив та активно використав правило. Значно пізніше його застосовував і Леонардо да Вінчі, називаючи "божественною пропорцією", і Мартін Ом. Останній в 1835 році узвичаїв цей термін.

Де можна зустріти?

Золотий переріз у природі можна побачити в рослин: вони за зростання зберігають задані пропорції. А німецький учений Цейзинг встановив, що розподіл людського тіла у точці пупка також відповідає цьому правилу. Відзначено явище й у таких областях:

• архітектура – ​​єгипетські піраміди, побудовані багато століть тому;
• музика – твори Моцарта та Бетховена;
• скульптура – ​​пропорції багатьох споруд із каменю будуються відповідно до правила;
• живопис – художник Василь Суриков зазначав, що у написанні картин існує закон у тому, що у роботу нічого не можна додати, ні прибрати (використовуються ті самі математичні принципи).

Сфера використання досить велика, деяким властиво бачити його навіть у побутових дрібницях, що, звичайно, є сильним перебільшенням. Тим не менш, правило, відкрите ще в давні віки, активно використовується і в наші дні.

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Золотий перетин – гармонійна пропорція

В математиці пропорцією(лат. proportio) називають рівність двох відносин: a : b = c : d.

Відрізок прямий АВможна розділити на дві частини такими способами:

на дві рівні частини - АВ : АС = АВ : НД;





на дві нерівні частини у будь-якому відношенні (такі частини пропорції не утворюють);





таким чином, коли АВ : АС = АС : НД.

Остання і є золотий поділ або поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні.

Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього

a : b = b : cабо з : b = b : а.

Мал. 1.Геометричне зображення золотої пропорції

Практичне знайомство із золотим перерізом починають із розподілу відрізка прямої в золотій пропорції за допомогою циркуля та лінійки.

Мал. 2.Розподіл відрізка прямої по золотому перерізу. BC = 1/2 AB; CD = BC

З точки Увідновлюється перпендикуляр, що дорівнює половині АВ. Отримана точка Зз'єднується лінією з точкою А. На отриманій лінії відкладається відрізок НД, що закінчується точкою D. Відрізок ADпереноситься на пряму АВ. Отримана при цьому точка Еділить відрізок АВу співвідношенні золотої пропорції.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом AE= 0,618..., якщо АВприйняти за одиницю, ВЕ= 0,382... Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 та 0,38. Якщо відрізок АВприйняти за 100 частин, то більшість відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам.

Властивості золотого перерізу описуються рівнянням:

x 2 - x - 1 = 0.

Розв'язання цього рівняння:

Властивості золотого перерізу створили навколо цього романтичний ореол таємничості і мало не містичного поклоніння.

Другий золотий перетин

Болгарський журнал «Батьківщина» (№10, 1983 р.) опублікував статтю Цвєтана Цекова-Олівця «Про другий золотий перетин», який випливає з основного перерізу і дає інше відношення 44: 56.

Така пропорція виявлена ​​в архітектурі, а також має місце при побудові зображень композицій подовженого горизонтального формату.

Мал. 3.Побудова другого золотого перетину

Розподіл здійснюється в такий спосіб (див. рис.3). Відрізок АВділиться у пропорції золотого перерізу. З точки Звідновлюється перпендикуляр СD. Радіусом АВзнаходиться точка Dяка з'єднується лінією з точкою А. Прямий кут АСDділиться навпіл. З точки Зпроводиться лінія до перетину з лінією AD. Крапка Еділить відрізок ADщодо 56: 44.

Мал. 4.Розподіл прямокутника лінією другого золотого перерізу

На рис. 4 показано положення лінії другого золотого перерізу. Вона знаходиться посередині між лінією золотого перерізу та середньою лінією прямокутника.

Золотий трикутник

Для знаходження відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів можна користуватися пентаграмою.

Мал. 5.Побудова правильного п'ятикутника та пентаграми

Для побудови пентаграми потрібно побудувати правильний п'ятикутник. Спосіб його побудови розробив німецький живописець та графік Альбрехт Дюрер (1471...1528). Нехай O- центр кола, A- точка на колі та Е- середина відрізка ОА. Перпендикуляр до радіусу ОА, відновлений у точці Про, перетинається з колом у точці D. Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок CE = ED. Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює DC. Відкладаємо на колі відрізки DCі отримаємо п'ять точок для написання правильного п'ятикутника. З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями та отримуємо пентаграму. Усі діагоналі п'ятикутника ділять одне одного на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а основа, відкладена на бік, ділить її в пропорції золотого перерізу.

Мал. 6.Побудова золотого трикутника

Проводимо пряму АВ. Від точки Авідкладаємо на ній тричі відрізок Продовільної величини, через отриману точку Рпроводимо перпендикуляр до лінії АВ, на перпендикулярі вправо та вліво від точки Рвідкладаємо відрізки Про. Отримані точки dі d 1 з'єднуємо прямими з точкою А. Відрізок dd 1 відкладаємо на лінію Ad 1 , отримуючи точку З. Вона розділила лінію Ad 1 у пропорції золотого перерізу. Лініями Ad 1 та dd 1 користуються для побудови золотого прямокутника.

Історія золотого перерізу

Прийнято вважати, що поняття про золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. І справді, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту та прикрас із гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстри користувалися співвідношеннями золотого поділу під час їх створення. Французький архітектор Ле Корбюзьє виявив, що у рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі та в рельєфі, що зображує фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величинам золотого поділу. Зодчий Хесіра, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає у руках вимірювальні інструменти, у яких зафіксовано пропорції золотого поділу.

Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.

Мал. 7.Динамічні прямокутники

Платон (427...347 рр. е.) також знав про золотому розподілі. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу.

У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. Під час його розкопок виявлено циркулі, якими користувалися архітектори та скульптори античного світу. У Помпейському циркулі (музей у Неаполі) також закладено пропорції золотого поділу.

Мал. 8.Античний циркуль золотого перерізу

У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда. У 2-й книзі «Початок» дається геометрична побудова золотого поділу Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін У середньовічній Європі із золотим розподілом познайомилися з арабськими перекладами "Початок" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (ІІІ ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.

В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед учених і художників у зв'язку з його застосуванням як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що італійські художники мають емпіричний досвід великий, а знань мало . Він задумав і почав писати книгу з геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Лукі Пачолі, і Леонардо залишив свою витівку. На думку сучасників та істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі та Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческі, який написав дві книги, одна з яких називалася «Про перспективу у живописі». Його вважають творцем нарисної геометрії.

Лука Пачолі чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираз божественного триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога батька, а весь відрізок - бога духа святого).

Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивченню золотого поділу. Він робив перерізи стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і щоразу отримував прямокутники з стосунками сторін у золотому розподілі. Тому він дав цьому поділу назву Золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніше.

У той же час на півночі Європи, у Німеччині, над тими самими проблемами працював Альбрехт Дюрер. Він робить начерки вступу до першого варіанту трактату про пропорції. Дюрер пише. «Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цьому інших, які цього потребують. Це я й захотів зробити».

Судячи з одного з листів Дюрера, він зустрічався із Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер детально розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце у своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотому перерізу. Зростання людини ділиться в золотих пропорціях лінією пояса, і навіть лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижню частину особи - ротом тощо. Відомий пропорційний циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI ст. Йоган Кеплер назвав золотий перетин одним із скарбів геометрії. Він перший звертає увагу до значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин та його будова).

Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе «Влаштована вона так, - писав він, - що два молодших члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності».

Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна робити як у бік збільшення (зростаючий ряд), і у бік зменшення (низхідний ряд).

Якщо на прямій довільній довжині, відкласти відрізок mпоруч відкладаємо відрізок M. На підставі цих двох відрізків вибудовуємо шкалу відрізків золотої пропорції висхідного та низхідного рядів

Мал. 9.Побудова шкали відрізків золотої пропорції

У наступні століття правило золотої пропорції перетворилося на академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічною рутиною, у запалі боротьби «разом із водою виплеснули і дитину». Знову «відкрито» золотий перетин був у середині ХІХ ст. У 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва. Цейзінг мав численні послідовники, але були й противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Мал. 10.Золоті пропорції у частинах тіла людини

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо.

Мал. 11.Золоті пропорції у фігурі людини

Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш детально він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Зазнали дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перерізу, показав, як воно виражається у відрізках прямої та у цифрах. Коли цифри, що виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до безкінечності в один і інший бік. Наступна його книга мала назву «Золотий поділ як основний морфологічний закон у природі та мистецтві». У 1876 р. у Росії було видано невелику книжку, майже брошуру, з викладом цієї праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жодного твору живопису.

Наприкінці XIX – на початку XX ст. з'явилося чимало суто формалістичної теорії про застосування золотого перерізу у витворах мистецтва та архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дія закону золотого перерізу поширилася на конструювання машин, меблів тощо.

Ряд Фібоначчі

З історією золотого перерізу непрямим чином пов'язане ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував Сходом, познайомив Європу з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р. вийшов у світ його математична праця «Книга про абак» (рахунковій дошці), в якій були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань гласила «Скільки пар кроликів за один рік від однієї пари народиться». Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі збудував такий ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел у тому, кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3 = 5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13 + 21 = 34 і т.д., а відношення суміжних чисел ряду наближається до відношення золотого поділу. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Це ставлення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618: 0,382 - дає безперервне розподіл відрізка прямої в золотій пропорції, збільшення його або зменшення до нескінченності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

Фібоначчі також займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16...

Узагальнений золотий переріз

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинному та тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу.

Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі та золотого перерізу. Ю. Матіясевич із використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ту проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі та золотого перерізу. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 випускає спеціальний журнал.

Одним із досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі та узагальнених золотих перерізів.

Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же «двійковий» ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови дуже схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа із самим собою 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2 ..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2 .... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і « двійковий» ряд, і ряд Фібоначчі? А може, ця формула дасть нам нові числові множини, які мають якісь нові унікальні властивості?

Дійсно, поставимо числовий параметр S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S+ 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього та віддаленого від попереднього на Sкроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначимо через S ( n), то отримаємо загальну формулу S ( n) = S ( n- 1) + φ S ( n - S - 1).

Очевидно, що при S= 0 з цієї формули ми отримаємо «двійковий» ряд, при S= 1 - ряд Фібоначчі, при S= 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі.

Загалом золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину x S+1 - x S - 1 = 0.

Неважко показати, що при S= 0 виходить розподіл відрізка навпіл, а при S= 1 -знайомий класичний золотий перетин.

Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі із золотими S-Пропорціями! Математики у таких випадках кажуть, що золоті S-перетину є числовими інваріантами S-чисел Фібоначчі.

Факти, що підтверджують існування золотих S-січень у природі, наводить білоруський вчений Е.М. Сороко у книзі «Структурна гармонія систем» (Мінськ, «Наука та техніка», 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави мають особливі, яскраво виражені функціональні властивості (стійкі в термічному відношенні, тверді, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним однією з золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти систем, що самоорганізуються. Будучи підтвердженою експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в системах, що самоорганізуються.

За допомогою кодів золотий S-пропорції можна виразити будь-яке дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій із цілими коефіцієнтами.

Принципова відмінність такого способу кодування чисел полягає в тому, що підстави нових кодів, що є золотими S-пропорції, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами ніби ставлять «з голови на ноги» ієрархію відносин, що історично склалася, між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були відкриті числа натуральні; потім їх відносини – числа раціональні. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, п'ятирічній, двійковій та інших класичних позиційних системах числення як своєрідну першооснову було обрано натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструювалися всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.

Свого роду альтернативою існуючим способам числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснова, початку числення якої обрано ірраціональне число (що є, нагадаємо, коренем рівняння золотого перерізу); через нього вже виражаються інші дійсні числа.

У такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевої - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-якого із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому «ірраціональна» арифметика, володіючи дивовижною математичною простотою та витонченістю, ніби увібрала в себе найкращі якості класичної двійкової та «Фібоначчієвої» арифметик.

Принципи формоутворення у природі

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах - зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі.

Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Спіралі дуже поширені у природі. Подання про золотий переріз буде неповним, якщо не сказати про спіраль.

Мал. 12.Спіраль Архімеда

Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Він вивчав її та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди поступово. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили у розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці (філотаксис), насіння соняшнику, шишок сосни проявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується буревій. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНК закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок.

Мал. 13.Цикорій

Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Мал. 14.Ящірка живородна

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напряму зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання.

Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

Мал. 15.Яйце птаха

Великий Гете, поет, натураліст і художник (він малював і писав аквареллю), мріяв про створення єдиного вчення про форму, освіту та перетворення органічних тіл. Це він ввів у науковий ужиток термін морфологія.

П'єр Кюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища.

Закономірності «золотої» симетрії проявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються в біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

Золотий переріз та симетрія

Золотий перетин не можна розглядати саме собою, окремо, без зв'язку з симетрією. Великий російський кристалограф Г.В. Вульф (1863...1925) вважав золотий перетин одним із проявів симетрії.

Золотий поділ не є проявом асиметрії, чогось протилежного симетрії Згідно з сучасними уявленнями золотий поділ - це асиметрична симетрія. У науку про симетрію увійшли такі поняття, як статичнаі динамічна симетрія. Статична симетрія характеризує спокій, рівновагу, а динамічна – рух, зростання. Так, у природі статична симетрія представлена ​​будовою кристалів, а мистецтво характеризує спокій, рівновагу і нерухомість. Динамічна симетрія виражає активність, характеризує рух, розвиток, ритм, вона – свідчення життя. Статичній симетрії властиві рівні відрізки, рівні величини. Динамічній симетрії властиве збільшення відрізків або їх зменшення, і воно виражається у величинах золотого перерізу зростаючого або спадного ряду.

Яковлєва Олена

Мета роботи – вивчити поняття «Золотий перетин», розглянути, як Золотий переріз використовується природою.

У рефераті докладно розглядаються поняття Золотого перерізу, Золотого прямокутника, Золотий спіралі та його застосування у природі. Описуються дослідження, проведені у класі.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальний загальноосвітній заклад

«Середня загальноосвітня школа №48»

МІСЬКА НАУКОВО-ПРАКТИЧНА КОНФЕРЕНЦІЯ

Секція: математика, біологія

«Золотий перетин у природі».

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

8 "Б" клас.

Наукові керівники:Якущенко

Тетяна Олександрівна

Вчитель біології,

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

Баєва Лілія Миколаївна,

МОУ м. Кургана «ЗОШ №48»,

Учитель математики.

Курган,

2010 р.

1. Вступ стор.
2. Поняття золотого перерізу стор.5
3. Історія Золотого перерізу стор.
4. Золотий прямокутник стор.7
5. Золота спіраль
6. Золоті спіралі у живій природі стор.9
7. Усюдисущий філотаксис стор.10
8. Золотий переріз у природі стор.11
9. Золоті пропорції у тілі людини стор.12
10. Мої дослідження стор.13
11. Висновок стор.13
12. Додаток стор.
13. Список литературы стр.15

Вступ. Про живу та неживу природу.

Природа, що розуміється як увесь світ у різноманітті його форм, складається ніби з двох частин: жива та нежива природа. У чому різниця між ними?Для творінь неживої природи характерна висока стійкість, слабка мінливість, якщо судити у масштабах життя. Людина народжується, живе, старіє, вмирає, а гранітні гори (додаток 1) залишаються такими ж і планети обертаються навколо Сонця так само, як і за часів Піфагора.

Світ живої природи постає маємо зовсім іншим - рухливим, мінливим і напрочуд різноманітним. Життя демонструє нам фантастичний карнавал різноманітності та неповторності творчих комбінацій! (Додаток 2)Світ неживої природи - це насамперед світ симетрії, що надає його витворам стійкості та краси. Світ живої природи – це насамперед світ гармонії, у якій діє закон Золотого перетину.

Ціль моєї роботи – вивчити поняття Золотий перетин, розглянути, як Золотий перетин використовується природою.

З мети випливаютьзавдання:

Вивчити літературу з цієї теми;

Вивчити поняття "Золотий перетин", розглянути як "Золотий перетин" використовується природою;

Джерелами дослідженняз'явилися:

1. бібліотечні фонди;
2. інтернет;
3. бібліотека мого наукового керівника.

Методи дослідження:

1. вивчення матеріалів на тему;
2. робота із класом;

Поняття золотого перерізу

Золотий переріз (золота пропорція, поділ у крайньому та середньому відношенні, гармонійний поділ, φ) - поділ відрізка на частини в такому співвідношенні, при якому менша частина відноситься до більшої, як велика до всього в цілому. Наприклад, розподіл відрізка АС на дві частини таким чином, що більша його частина АВ відноситься до меншої ВС так, як весь відрізок АС відноситься до АВ (тобто | АВ | / | ВС | = | АС | / | АВ |) . (дод.3) Цю пропорцію прийнято позначати грецькою літерою, і вона дорівнює: 1.618 (дод.4)

Відрізки золотої пропорції виражаються ірраціональним нескінченним дробом 0,618... якщо c прийняти за одиницю, a = 0,382. Числа 0.618 та 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні постаті.

Якщо ви підходите до порожньої лави і сідаєте на неї, то ви сядете не посередині лави (якось нескромно, хоча зустрічаються і такі, яскраво виражені характери) і, звичайно, не на край. Якщо ви непомітно заміряєте довжини, на які своїм тілом розділили лавку, то виявите, що відношення більшого відрізка до меншого дорівнює відношенню всієї довжини до більшого відрізка і приблизно 1,62. Це число, яке називається Золотим перетином, входить до трійки найвідоміших ірраціональних чисел, тобто таких чисел, десяткові уявлення яких нескінченні та неперіодичні.

Історія золотого перерізу.

Прийнято вважати, що поняття про Золотий поділ ввів у науковий побут Піфагор, давньогрецький філософ та математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян та вавилонян. Греки були вправними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора та діагональ цього квадрата були основою для побудови динамічних прямокутників.
Платон (додаток 5) (427...347 рр. до н.е.) також знав про золотий поділ. Його діалог «Тімей» присвячений математичним та естетичним поглядам школи Піфагора і, зокрема, питанням золотого поділу. У фасаді давньогрецького храму Парфенона є золоті пропорції. У античній літературі, що дійшла до нас, золотий поділ вперше згадується в «Початках» Евкліда (прил.6) У 2-й книзі «Початок» дається геометричне побудова золотого поділу. Після Евкліда дослідженням золотого поділу займалися Гіпсікл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III ст.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно оберігалися, зберігалися у суворій таємниці. Вони були відомі лише присвяченим.
В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених та художників у зв'язку з його застосуванням, як у геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі.
Лука Пачолі (дод.7) чудово розумів значення науки для мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро тоді працював і Леонардо да Вінчі (дод.8). У 1509 р. у Венеції було видано книгу Луки Пачолі «Божественна пропорція» з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книжка була захопленим гімном Золотої пропорції. Серед багатьох достоїнств Золотої пропорції чернець Лука Пачолі не преминув назвати і її «божественну суть» як вираз божественної триєдності бог син, бог батько і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина)

Золотий прямокутник

Золотий переріз широко використовується в геометрії. Ми розпочнемо нашу подорож геометричними властивостями Золотого перерізу із Золотого прямокутника, які має наступне геометричне визначення. Золотим прямокутником називається такий прямокутник, у якому відношення більшої сторони до меншої дорівнює золотій пропорції (дод.9) Розглянемо випадок найпростішого Золотого прямокутника, коли AB = і BC = 1. (дод.10)

Золотий прямокутник має багато незвичайних властивостей. Відрізавши від золотого прямокутника квадрат, сторона якого дорівнює меншій стороні прямокутника, ми знову отримаємо Золотий прямокутник менших розмірів. Продовжуючи відрізати квадрати, ми отримуватимемо все менші та менші Золоті прямокутники. Причому вони розташовуватимуться по логарифмічній спіралі (додаток 11), що має важливе значення в математичних моделях природних об'єктів (наприклад, раковинах равликів). Полюс спіралі лежить на перетині діагоналей початкового прямокутника BD і першого вертикального, що відрізається AC. Причому діагоналі всіх наступних Золотих прямокутників, що зменшуються, лежать на цих діагоналях (прил.12)

Золотий перетин був відомий давнім грекам. Навряд чи можна сумніватися в тому, що деякі давньогрецькі архітектори та скульптори свідомо використовували його у своїх творах. Прикладом може бути хоча б Парфенон. Саме ця обставина і мав на увазі американський математик Марк Барр, коли запропонував називати ставлення двох відрізків, що утворюють золотий перетин, числом. Буква (фі) - перша літера імені великого Фідія.

У той час як Золотий перетин і Золотий прямокутник представляють статичні форми природної та створеної людиною краси та діяльності, уявлення естетично привабливого динамізму, організованого руху зростання та розвитку може бути виконане лише найпрекраснішою формою у Всесвіті – Золотою спіраллю.

Золота спіраль

Золотий прямокутник можна використовувати для побудови золотої спіралі. Будь-який Золотий прямокутник можна розділити на квадрат і менший Золотий прямокутник. Цей процес теоретично можна продовжувати до безкінечності. Ці прямокутники, які ми намалювали і які, як виявилося, скручуються всередину, промарковані A, B, C, D, E, F і G (прил.13) Пунктирні лінії, які самі знаходяться в золотому співвідношенні одна до одної, розтинають прямокутники по діагоналі і точно позначають теоретичний центр, що скручуються квадратів. Приблизно з центральної точки ми можемо накреслити спіраль (прил.14), з'єднуючи точки перетину кожного квадрата, що скручується, в порядку зростання розміру. Так як квадрати скручуються всередину та назовні, їх точки з'єднання виписують Золоту спіраль. Для побудови Золотої спіралі може застосовуватися такий же процес, але з використанням трикутників, що скручуються.

У будь-якій точці розвитку Золотої спіралі, відношення довжини дуги до її діаметра дорівнює 1.618. Діаметр і радіус у свою чергу співвідносяться з діаметром і радіусом, що віддаляються на кут в 90 градусів, з коефіцієнтом 1.618 (додаток 15).

постійною формою. З будь-якої точки спіралі можна рухатися нескінченно або у напрямку всередину або назовні. Центральна частина логарифмічної спіралі, розглянута через мікроскоп, мала б той самий вигляд, що й найширша видима її частина видалення багатьох світлових років.

Золоті спіралі у живій природі

Золоті спіралі широко поширені у біологічному світі. Як зазначалося вище, роги тварин ростуть лише з одного кінця. Це зростання здійснюється по логарифмічній спіралі. У книзі «Криві лінії у житті» Т. Кук досліджує різні види спіралей, що проявляються в рогах (прил.16) баранів, кіз, антилоп та інших тварин. Серед багатьох спіралей він вибирає Золоту спіраль (криву гармонійного зростання) і розглядає її як символ еволюції та зростання.

Спіралі широко виявляють себе у живій природі. Спірально закручуються вусики рослин (прил.17), по спіралі відбувається зростання тканин у стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні рухи (нутації) спостерігаються при зростанні коренів та пагонів. Очевидно, у цьому проявляється спадковість організації рослин, а її коріння слід шукати на клітинному та молекулярному рівні.

Спіралеподібну форму мають більшість раковин (дод.18-19). Вивчаючи конструкції раковин, вчені звернули увагу доцільність форм і поверхонь раковин: внутрішня поверхня гладка, зовнішня - рифлена. Всередині лежить тіло молюска - внутрішня поверхня має бути гладкою. Зовнішні ребра збільшують жорсткість раковини і таким чином підвищують її міцність. Форма раковин вражає своєю досконалістю та економічністю коштів, витрачених на її створення. Ідея спіралі в раковинах виражена не наближено, а в досконалій геометричній формі, в напрочуд красивій, «відточеній» конструкції.

Російський вчений С.В. Півень, вивчаючи схеми будови опорно-рухового апарату у різних хребетних тварин, дійшов висновку про те, що побудова їх кінцівок відбувалася під впливом двох факторів: законів Золотої пропорції та пристосування організму до способу життя:

"Закони Золотої пропорції визначили основний план, основну ідею конструкції кінцівок, а конкретні умови існування кожної тварини зумовили відхилення - флуктуації від цього плану все різноманіття будови існуючих форм".

Всюдисущий філлотаксис.

Характерною рисою будови рослин та їх розвитку є

спіральність. Ще Гете, який був не лише великим поетом, а й

природовипробувачем, вважав спіральність однією з характерних ознак всіх організмів, проявом найпотаємнішої сутності життя. Спірально закручуються вусики рослин, по спіралі відбувається зростання тканини в стовбурах дерев, по спіралі розташовані насіння в соняшнику, спіральні рухи (нутації) спостерігаються при зростанні коренів та пагонів. Очевидно, у цьому проявляється спадковість організації рослин, а її коріння слід шукати на клітинному та молекулярному рівнях.

Немає сумнівів, що спадкова спіральність є одним із

Основні властивості організмів, вона відображає одну з істотних ознак живого. На погляд здається, що у кристалах неорганічних речовин спіральність чи гвинтова структура відсутні. Однак більш глибокі дослідження показали, що гвинтове розташування атомів спостерігається і в деяких кристалах і виражається в утворенні про гвинтових дислокацій. Такі кристали складаються з єдиної гвинтоподібної вигнутої атомної площини. При кожному обороті навколо осі ця площина піднімається

на один крок гвинта, що дорівнює міжатомній відстані. Слід додати, що кристали з такою гвинтовою структурою мають надміцність. Від гвинтової структури молекул ДНК до закручування вусиків рослин – такі форми прояви спіральності різних рівнях організації рослин.

Виразно проявляється ця особливість організації рослин у

закономірностях листорозташування.

Існує кілька способів листорозташування. У першому листі

пагони розташовуються строго один під одним, утворюючи вертикальні ряди - ортостихи. Умовна спіраль, що з'єднує місця розташування листя на втечі, називається генетичною, або основною спіраллю, точніше гвинтовою лінією і ділиться на ряд листових циклів. Генетичним цей гвинт називається тому, що розташування листя у ньому відповідає порядку появи у ньому листя. Проекція на площину листорозташування дозволяє в частках кола виразити кут розходження листя.

Розглянуту закономірність розташування листя, лусочок, насіння

називають філотаксісом. Встановлено, що при розташуванні

листя під ідеальним кутом жоден лист не розташовуватиметься точно над іншим, ніж створюються кращі умови для фотосинтезу

Золотий перетин у природі.

Все, що набувало якоїсь форми, утворювалося, зростало, прагнуло зайняти місце у просторі та зберегти себе. Це прагнення знаходить здійснення переважно у двох варіантах - зростання вгору чи розстилання поверхні землі і закручування по спіралі.

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій (дод.20). Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій - 38, четвертий - 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована Золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції Золотого перетину.

У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини решти тіла, як 62 до 38 (прил.21).

Золоті пропорції у тілі людини.

У 1855 р. німецький дослідник Золотого перетину професор Цейзінг опублікував свою працю «Естетичні дослідження». З Цейзинг сталося саме те, що й мало неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизував пропорцію Золотого перетину, оголосивши її універсальною всім явищ природи та мистецтва.

Цейзінг мав численні послідовники, але були й противники, які оголосили його вчення про пропорції «математичної естетикою».

Цейзинг виконав колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл і дійшов висновку, що Золотий перетин виражає середній статистичний закон. Розподіл тіла точкою пупу - найважливіший показник золотого перерізу. Пропорції чоловічого тіла коливаються в межах середнього відношення 13: 8 = 1,625 і дещо ближче підходять до Золотого перерізу, ніж пропорції жіночого тіла, щодо якого середнє пропорції виражається у співвідношенні 8: 5 = 1,6. У новонародженого пропорція становить відношення 1: 1, до 13 років вона дорівнює 1,6, а до 21 року дорівнює чоловічій. Пропорції Золотого перерізу виявляються і щодо інших частин тіла - довжина плеча, передпліччя та кисті, кисті та пальців тощо. (Додаток 22).

Мої дослідження.

Я розглянула кімнатні квіти в школі та вдома і виділила ті, що ростуть за законами Золотого перетину (Додатки 23 – 29) та ті, що ростуть за законами Золотої спіралі (Додатки 30 – 34).

У класі я провела наступне дослідження – запропонувала хлопцям сісти на лаву. Усі дані зведені в таблицю (Додаток 35), проведено розрахунки відносин довжини лави до більшої частини та більшої частини до меншої. Вийшло приблизно 1,6. Це і є Золотий перетин.

Висновок.

Людина розрізняє навколишні предмети формою. Інтерес до форми будь-якого предмета то, можливо продиктований життєвої необхідністю, і може бути викликаний красою форми. Форма, в основі побудови якої лежать поєднання симетрії та Золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та появі відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини перебувають у певному відношенні один до одного та до цілого. Принцип Золотого перерізу – найвищий прояв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.

Список літератури

1. М. Васютинський "Золота пропорція" -М., "Молода гвардія", 1990
2. А. Азевич "Двадцять уроків гармонії" -М., "Школа-Прес", 1998
3. М. Гарднер "Математичні головоломки та розваги" -М., "Світ", 1971
4. Д. Підоу "Геометрія та мистецтво" - М., "Світ", 1989
5. Енциклопедичний словник молодого математика -М., 1989
6. Журнал "Квант", 1973 № 8
7. Журнал "Математика в школі", 1994, № 2, № 3

Учні 9 "А" класу

Ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне та викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій. Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам. Даний проект присвячений одному з таких математичних співвідношень, там, де воно є, відчувається гармонія та краса.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Суть та застосування золотого перерізу в житті людини

Актуальність теми Яка роль золотого перерізу у житті людини? Ми неоднаково ставимося до предметів та явищ навколишньої дійсності. Безладність, безформність, непомірність сприймаються нами як потворне і справляють відразливе враження. А предмети та явища, яким властива міра, доцільність та гармонія сприймаються як гарне і викликають у нас почуття захоплення, радості, піднімають настрій. Людей з давніх-давен хвилювало питання, чи підпорядковуються такі невловимі речі як краса і гармонія, будь-яким математичним розрахункам. Даний проект присвячений одному з таких математичних співвідношень, там, де воно є, відчувається гармонія та краса.

Проблемні питання Де у житті зустрічається золотий перетин? У яких областях застосовується золотий перетин?

Мета: 1. Розширити кругозір учнів, сприяти розвитку пізнавального інтересу. 2. Показати школярам загальноінтелектуальне значення математики. 3. Сприяти пізнанню законів краси та гармонії навколишнього світу.

1. Вивчити геометричне визначення "золотого перерізу"; 2. Вивчити властивості алгебри золотої пропорції; 3. Дізнатись про застосування золотого перерізу в математиці; 4. Вивчити застосування золотого перерізу у житті; 5. Сприяти пізнанню законів краси та гармонії навколишнього світу; 6. Показати школярам загальноінтелектуальне значення математики. Завдання

Методи 1.Обробка інформації 2.Анкетування учнів 3.Робота з різними джерелами 4.Робота з комп'ютером

План дослідження 1. Поняття «Золотий переріз» 2. Історична довідка 3. Геометрична побудова «золотого перерізу» 4. Поняття Золотого трикутника 5. Поняття Золотого прямокутника 6. Поняття Золотої спіралі 7. Побудова правильного п'ятикутника 8. Символ «золотого перерізу». «Золотий перетин» у: - природі - мистецтві - архітектурі

Хід роботи над проектом Організаційний момент 2. Визначення мети та завдань 3. Висунення гіпотези 4. Розподіл на групи 5. Збір теоретичного матеріалу 6. Анкетування 7. Аналіз та обробка інформації 8. Демонстрація проекту

Опитування: Чи знаєте Ви про «Золотий перетин»? Чи хотіли Ви більше дізнатися про «золотий перетин»? Чи хочете Ви дізнатися про «Золотий перетин»?

Геометрія володіє двома скарбами: один з них – теорема Піфагора, інше- розподіл відрізка в середньому та крайньому відношенні. І. Кеплер

Що таке золотий перетин?

з: b = b: a a: b = b: c Золотий переріз - це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

При золотому перерізі довжина більшого відрізка є середнє пропорційне довжини всього відрізка та його найменшої частини.

чисельне значення "золотого відношення"

Пентаграма постать утворена діагоналями правильного п'ятикутника, тобто. правильна п'ятикутна зірка. Діагоналями правильного п'ятикутника діляться точкою перетину " золотої пропорції " , тобто. виконується вже відома нам рівність:

Золоті трикутники Кожен кінець п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Властивості кут при вершині дорівнює 36; основа, відкладена на бік ділить її в пропорції "золотого перерізу"   АС: С D = CD: AD CD = BC

Числа Фібоначчі З золотою пропорцією тісно пов'язаний ряд чисел Фібоначчі: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д Фібоначчі: "… кожен член ряду, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх " Кеплер: " ... відношення поруч чисел у межі прагне до золотої пропорції Фібоначчі. Ця властивість властива не тільки числам Фібоначчі "

Основні пропорції в людській фігурі та обличчі

висота обличчя (до коріння волосся) відноситься до вертикальної відстані між дугами брів і нижньою частиною підборіддя, як відстань між нижньою частиною носа та нижньою частиною підборіддя

Золота пропорція застосовувалася багатьма античними скульпторами. Відома золота пропорція статуї Аполлона Бельведерського: зростання зображеної людини ділиться пупковою лінією у золотому перерізі.

Аполлон Бельведерський

Зевс Афіна Олімпійський Парфенос

Вимірювання кількох тисяч людських тіл дозволили виявити: - для немовлят це відношення дорівнює - 1/1 для дорослих чоловіків - 13/8 = 1,625 для дорослих жінок - 8/5 = 1,6 Отже пропорції чоловіків ближче до "золотого перетину" ніж пропорції жінок .

«Золотий перетин» у живописі

Один із найвідоміших творів мистецтва – портрет Мони Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка ґрунтується на золотих трикутниках, що є частинами правильного зірчастого п'ятикутника.

Портрет Монни Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, що є частинами правильного п'ятикутника.

Скінчивши казку, Леонардо глянув на Монну Лізу, її обличчя осяяло світло, очі сяяли. Потім, ніби прокинувшись від сну, вона зітхнула, провела по обличчю рукою і без слів пішла на своє місце, склала руки і прийняла звичайну позу. Але справа була зроблена – художник пробудив байдужу статую; посмішка блаженства, повільно зникаючи з її обличчя, залишилася в куточках рота і тремтіла, надаючи обличчю дивовижний, загадковий і трохи лукавий вираз, як у людини, яка дізналася про таємницю і, дбайливо її зберігаючи, не може стримати торжество. Леонардо мовчки працював, боячись прогаяти цей момент, цей промінь сонця, що висвітлив його нудну модель...

Шишкін - "Сосновий Гай" На цій знаменитій картині І. І. Шишкіна з очевидністю проглядаються мотиви золотого перетину.

Ще в епоху Відродження художники відкрили, що будь-яка картина має певні точки, які мимоволі приковують нашу увагу, так звані зорові центри. При цьому абсолютно неважливо, який формат має картина – горизонтальний чи вертикальний. Таких точок всього чотири, вони поділяють величину зображення горизонталлю і вертикалі в золотому перерізі, тобто. розташовані вони на відстані приблизно 3/8 та 5/8 від відповідних країв площини.

«Золотий перетин» в архітектурі

" Архітектура - найголовніші має три предмети: красу, спокійність і міцність будівлі ... До досягнення цього служить керівництвом знання пропорції, перспектива, механіка або взагалі фізика, а всім їм спільним вождем є свідомість." В.Баженов

Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е.)

На малюнках видно низку закономірностей, пов'язаних із золотим перетином. Пропорції будівлі можна виразити через різні ступені числа Ф=0,618... На плані підлоги Парфенона можна помітити «золоті прямокутники».

Пантеон Архітектурні будинки виконані на основі "золотого перерізу"

Золоте співвідношення ми можемо побачити і в будівлі собору Паризької Богоматері (Нотр-Дам де Парі):

Архітектурні будівлі виконані на основі "золотого перерізу"

Будинок Пашкова в Москві Архітектурні будинки виконані на основі "золотого перерізу"

Алгебра музики Музика - мистецтво звуку, ...звук - сама матерія музики... звук має бути закутаний в тишу, звук має спочивати в тиші, як дорогоцінний камінь у оксамитовій скриньці. Генріх Нейгауз

Найбільше музичних творів, мають " золотий перетин " , у геніальних авторів Гайдна (97%), Аренського (95%), Скрябіна (90%), Шопена (92%) . Бетховен (97%) Моцарт (91%) Шуберт (91%)

У 1770 творах 42 композиторів спостерігалося 3275 золотих перерізів. У 27 етюдах Шопена виявлено 154 золоті перерізи, всього в трьох етюдах золотий перетин був відсутній.

Математика віршів У будові багатьох художніх творів проявляються золота пропорція та числа Фібоначчі. А.С.Пушкін. 1829-1836 р.р. 109 віршів – 4 до 116 рядків. Середній розмір цих віршів становив 88 рядків. Вірші Вирізняються найбільш поширені розміри – 5,8,13,21,34 – близькі до числа ряду Фібоначчі

В.Я. Брюсов. 18 82 -1 912 р.р. 360 вірш творів по 8 – 36 рядків. Середній розмір цих віршів становив 1 8 рядків. Виділяються найбільш поширені розміри - 8,13,21,34 - близькі до числа рядів Фібоначчі

Проза А.С.Пушкін. "Пікова дама" 6 розділ 853 рядків. Кульмінація – 535-й рядок  853:535 =1,6 1 розділ 110 рядків. Кульмінація – 68-й рядок  110:68 =1,62 2 розділ 219 рядків. Кульмінація – 135-й рядок  219:135 =1,62 3 розділ 212 рядків. Кульмінація – 131-й рядок  212:131 =1,62 4 розділ 113 рядків. Кульмінація – 70-й рядок  113:70 =1,614 5 розділ 75 рядків. Кульмінація – 46-й рядок  75:46 =1,63 6 розділ 124 рядки. Кульмінація – 77-й рядок  124:77 =1,62 Золота пропорція – це гармонія. Таким чином почуття гармонії у А.С.Пушкіна було розвинене надзвичайно, що підтверджує геніальність великого поета та письменника

Геометрія володіє двома скарбами: один з них - це теорема Піфагора, а інше - розподіл відрізка в крайньому та середньому відношенні. Перше можна порівняти із мірою золота; друге ж нагадує дорогоцінний камінь. Йоганн Кеплер

Висновок Ми простежили і побачили, що “золотий перетин” широко застосовується у багатьох галузях науки. Тому воно "золоте".